讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)啟迪學(xué)生學(xué)會(huì)思考

首都師范大學(xué)附屬育新學(xué)校 見海榮

葉圣陶先生曾說：教是為了不教。我的理解就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單地讓學(xué)生習(xí)得知識(shí)，更是讓學(xué)生習(xí)得學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。作為初中數(shù)學(xué)教師，就是要通過教師的課堂教學(xué)，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法教給學(xué)生,從而啟迪學(xué)生的思維發(fā)展。

一、傳授思維之道

教學(xué)，要講清知識(shí)的來龍去脈、知識(shí)的習(xí)得過程方法及思維的方法。要達(dá)成這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師深度理解數(shù)學(xué)，整體把握教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。章建躍先生曾說：理解數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，把握數(shù)學(xué)的基本方法。理解數(shù)學(xué)的水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。因此，做好教學(xué)設(shè)計(jì)的前提是教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解。

以《從分?jǐn)?shù)到分式》的教學(xué)為例，在教學(xué)設(shè)計(jì)前，教師就要達(dá)成對(duì)這一內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)。我們知道分式屬于代數(shù)的典型內(nèi)容，而代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，這就是教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)；我們還知道數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類比發(fā)現(xiàn)需研究的問題和方法，是基本且重要的數(shù)學(xué)方法。我們還知道代數(shù)運(yùn)算的過程和方法可以容易發(fā)展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)，這就是知識(shí)的延伸。基于這些認(rèn)識(shí)，教師將圍繞以下內(nèi)容引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：

1.起點(diǎn)：如何設(shè)計(jì)運(yùn)算創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象——分式？基于這個(gè)問題，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生用整式除法這種運(yùn)算在整式范圍內(nèi)的不封閉性引發(fā)學(xué)生認(rèn)知的沖突，從而創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象——分式。

2.理解：如何用運(yùn)算幫助學(xué)生理解新的數(shù)學(xué)對(duì)象——分式？基于這個(gè)問題，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生通過除法的性質(zhì)（除法運(yùn)算的使用條件）來理解分式有意義、分式值為0的條件。

3.方法：如何類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象——分式？基于這個(gè)問題，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生用由特殊到一般的方法達(dá)成這一目標(biāo)的學(xué)習(xí)：

層次一：由數(shù)系的擴(kuò)充到式的擴(kuò)充：由整數(shù)除法運(yùn)算產(chǎn)生分?jǐn)?shù)類比到整式除法運(yùn)算產(chǎn)生分式；

層次二：由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類比學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)（分式值為0、有意義的條件）。

4.延伸：如何在教學(xué)中滲透函數(shù)的觀點(diǎn)？基于這個(gè)問題，本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)分式的值是如何隨著分式中字母取值的變化而變化的，為初三反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生在瞻前——整式除法運(yùn)算的矛盾沖突中，自然產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)對(duì)象——分式，使學(xué)生在明白為什么學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)加深了整式與分式間的聯(lián)系。教學(xué)中用分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)類比學(xué)習(xí)解決分式問題的方法，讓學(xué)生深刻地體會(huì)到數(shù)式通性。教學(xué)中教師有意識(shí)地滲透，使學(xué)生可以顧后：對(duì)函數(shù)意識(shí)有了初步體會(huì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好伏筆。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)加深了知識(shí)各部分之間的聯(lián)系，使知識(shí)成為一個(gè)相互聯(lián)系的、密不可分的整體，易于形成知識(shí)系統(tǒng)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)更體現(xiàn)了代數(shù)運(yùn)算教學(xué)方法的一致性，即用運(yùn)算產(chǎn)生新對(duì)象，用運(yùn)算理解新對(duì)象，用數(shù)式通性，即類比的方法學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象。學(xué)生積累的這種學(xué)習(xí)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)有利于培養(yǎng)系統(tǒng)思維，讓學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，讓學(xué)生能“由木見林”，將來在面對(duì)新的代數(shù)運(yùn)算的其他內(nèi)容時(shí)，他們可以用同樣的方法認(rèn)識(shí)問題，解決問題，這就是思維之道。

二、傳授思維之法

俗話說：授之以魚不如授之以漁。教師要通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生獲得理解和解決問題的工具——“一般方法”。

在《平方差公式》的教學(xué)中，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧冪的運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)以及等腰三角形的性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生重拾原有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：冪的運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)是具體的數(shù)的冪的運(yùn)算到抽象的式的冪的運(yùn)算，這是用從特殊到一般的方法習(xí)得新知；等腰三角形的性質(zhì)的學(xué)習(xí)是先學(xué)習(xí)一般三角形的性質(zhì)，再到特殊的三角形——等腰三角形，從條件特殊化會(huì)引發(fā)什么結(jié)論特殊化，即從一般到特殊的方法習(xí)得新知。這樣的回顧為后面建構(gòu)平方差公式提供了解決問題的原型以及更好地理解和解決問題的工具——“一般方法”。這個(gè)“一般方法”讓學(xué)生擁有用數(shù)學(xué)的眼光在對(duì)舊知識(shí)的再認(rèn)識(shí)（上節(jié)課的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的練習(xí)）中提出新的問題：

方法一：學(xué)生可以把已有的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式公式（a+b）(c+d）=ac+ad+bc+bd特殊化，如：讓a=c,b=d或a=c,b=-d等。即從一般到特殊的方法得到新的公式，這種發(fā)現(xiàn)方法需要學(xué)生具備較高的認(rèn)知水平和較高的理性思考精神。

方法二：學(xué)生通過特殊形式的多項(xiàng)式相乘運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)某些運(yùn)算結(jié)果簡單，從中發(fā)現(xiàn)這種特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)構(gòu)特征，從特殊到一般地發(fā)現(xiàn)新的公式，并證明所發(fā)現(xiàn)的公式。這個(gè)過程中學(xué)生經(jīng)歷了觀察——思考——抽象——推理——?dú)w納的全過程，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的全過程。

這樣的設(shè)計(jì)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法分析問題，最終用數(shù)學(xué)的思維解決問題，從而獲得新知。這樣的過程使學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考問題，特別是有邏輯地思考問題，即習(xí)得思維的方法，容易使學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問題、善于解決問題的人才。

三、關(guān)注思維之度

教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該引發(fā)學(xué)生不同角度的思考，引發(fā)學(xué)生更深刻的思考，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性的思考，為學(xué)生搭建思維發(fā)展的空間。

1.開放性的教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注思維多樣性

在《平方差公式》一節(jié)，教師設(shè)計(jì)開放性問題：你能從前面多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的習(xí)題中發(fā)現(xiàn)新的問題嗎？你可以通過怎樣的不同途徑對(duì)你發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行解決？學(xué)生提出的問題可以是開放的，解決問題的路徑是開放的，讓學(xué)生可以從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，用不同方法解決問題。

在引導(dǎo)學(xué)生概括歸納平方差公式的階段，教師引導(dǎo)學(xué)生從符號(hào)語言、文字語言、圖形語言等不同方面多元理解平方差公式，這樣可以讓擁有不同特長智能的學(xué)生選擇他們更合適的方法，讓不同智能的學(xué)生優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，共同發(fā)展。

2.開放性教學(xué)設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生思維創(chuàng)新性

在《角的再認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)課》的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師讓學(xué)生畫一個(gè)角，使它等于已知角。問題的開放性帶來學(xué)生解答方式的多樣性：有直接應(yīng)用所學(xué)單一知識(shí)畫出已知角，從而完成知識(shí)梳理的基本方法，更有綜合所學(xué)知識(shí)，融會(huì)貫通運(yùn)用知識(shí)，創(chuàng)造性畫出已知角的創(chuàng)新型方法。正是教師開放性的問題設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思考，這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生有展示的空間和時(shí)間，讓學(xué)生獲得成功的快樂，從而樂學(xué)。

3.變式設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生思維深刻性

教師的教學(xué)設(shè)計(jì)均圍繞同一情境，通過變式教學(xué)提出不同層次的問題：有讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也能入手的基礎(chǔ)題，讓他覺得數(shù)學(xué)“不難”，我可以學(xué)，還有體現(xiàn)通法，關(guān)注大多數(shù)學(xué)生的典型題——讓他覺得數(shù)學(xué)“有律可循”，我可以做，更有思維深度讓優(yōu)秀學(xué)生有展示天地的提高題，讓他覺得數(shù)學(xué)“要攀登”，我可以做得更好。這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生達(dá)成對(duì)知識(shí)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)的理解，突破難點(diǎn)，一步步引發(fā)更深層次的思考。

如角的復(fù)習(xí)課中，教師設(shè)計(jì)如下習(xí)題：

（1）如圖1，AB∥CD，請(qǐng)你探究∠B、∠C、∠E的關(guān)系。

（2）如圖2，點(diǎn)E位置發(fā)生變化，其余條件不變，請(qǐng)你直接寫出∠B、∠C、∠E的關(guān)系。

（3）如圖3，點(diǎn)E位置發(fā)生變化，其余條件不變，請(qǐng)你直接寫出∠B、∠C、∠E之間的關(guān)系。

（4）如圖4，AB與CD交于點(diǎn)N，請(qǐng)你探究∠B、∠C、∠E、∠N的關(guān)系。

圖 1

圖 2

圖 3

圖 4

這樣的設(shè)計(jì),讓學(xué)生從復(fù)習(xí)平行線中的角到三角形中的角,知識(shí)從簡單到復(fù)雜，方法上深思有什么共通之處?有什么變化之處?為什么共通?為什么變化?這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生的思維步步深入，真正達(dá)成了對(duì)知識(shí)由厚到薄的學(xué)習(xí)過程。

綜上所述，教師的教學(xué)正如傅種孫先生在談到教學(xué)時(shí)所說的：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道。