解三角函數(shù)最值問題窺見數(shù)學(xué)素養(yǎng)

江蘇省海門中等專業(yè)學(xué)校 馮 霞

提高每個(gè)對(duì)口單招學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，教學(xué)中要加強(qiáng)思維訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)歸納，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)飛躍。在三角函數(shù)的知識(shí)體系當(dāng)中所包含的解題方法、公式等相對(duì)較多，這就為單招學(xué)生題目的解答提供了多元化選擇。同時(shí)，由于三角函數(shù)所覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，這也增加了解題的難度。在對(duì)最值問題進(jìn)行解答過程中，不僅需要運(yùn)用三角函數(shù)當(dāng)中的和差公式，同時(shí)還需要將方程思想、數(shù)形結(jié)合思想融入其中。

一、化簡成為一個(gè)角的三角函數(shù)

在三角函數(shù)的部分題目當(dāng)中，給定的已知條件或者需要解答的問題含有兩個(gè)甚至兩個(gè)以上角度的三角函數(shù)。此時(shí)，在對(duì)其進(jìn)行計(jì)算時(shí)，解答過程較為煩瑣，計(jì)算量相對(duì)較大，出現(xiàn)錯(cuò)誤的幾率也成倍增加。因此，將題目當(dāng)中不同角度的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的三角函數(shù)值，不但能夠降低解答難度，同時(shí)還能夠較為快速地得出答案。一般而言，在對(duì)給定角的三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，常用的方法為根據(jù)三角形內(nèi)角和或者其他角度之間的關(guān)系進(jìn)行。

例1：“在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝（2b＋c）sin B＋（2c＋b）sin C。（1）求A的大小；（2）求sin B＋sin C的最大值。”由于在第二個(gè)小問題中包含了兩個(gè)角度，且在第一小題當(dāng)中求出A=120°，因此在解答過程中需要根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”這一定理，得出B+C=60°，將角C以60°-B的形式代入，進(jìn)而達(dá)到化成一個(gè)角的三角函數(shù)的目的。具體解答方法如下：（1）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cos A＝，所以A＝120°。（2）由（1）得：sinB＋sinC＝sinB＋sin（60°－B）故當(dāng)B＝30°時(shí)，sinB＋sinC取得最大值為1。

二、利用三角函數(shù)公式化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)

對(duì)于部分三角函數(shù)題目而言，無論是在已知條件當(dāng)中或是設(shè)問當(dāng)中，均含有兩個(gè)甚至兩個(gè)以上的三角函數(shù)。常見的三角函數(shù)主要包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及正切函數(shù)三類。在實(shí)際解答的過程中，如果包含兩種或者兩種以上三角函數(shù)時(shí)，其計(jì)算過程將會(huì)較為復(fù)雜，無形中會(huì)增加題目難度。因此，化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)，對(duì)快速解題將起到畫龍點(diǎn)睛的效果。一般而言，該種計(jì)算過程主要依靠和差化積公式、積化和差公式兩類進(jìn)行。

例2：“已知函數(shù) f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx。（1）求的值；（2）求f（x）的最大值和最小值。”由于題目當(dāng)中包含了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)兩種，根據(jù)和差化積公式將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)，其解答過程如下：4cosx-1，x∈R。因?yàn)閏os x∈[－1，1]，所以當(dāng)cos x＝-1時(shí)，f（x）取最大值6；

三、以三角函數(shù)的極值與性質(zhì)為突破求最值

對(duì)三角函數(shù)最值問題進(jìn)行解答的過程中，運(yùn)用三角函數(shù)自身的極值與其他的性質(zhì)，也是求解三角函數(shù)最值的一個(gè)重要方法。對(duì)于正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)而言，其自身的值域均為[-1，1]，正切函數(shù)的值域?yàn)镽，還要特別注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值域的影響。同時(shí)，對(duì)于三角函數(shù)而言，其還具有周期性等性質(zhì)。運(yùn)用周期性等性質(zhì)解題，也能夠起到較好的效果。

四、利用二次函數(shù)的知識(shí)求解三角函數(shù)的最值

三角函數(shù)問題與二次函數(shù)相結(jié)合的題型相對(duì)較多，因此，運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)三角函數(shù)的最值進(jìn)行求解，也是常用的方法之一。在實(shí)際解題的過程中，中學(xué)生不僅需要熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)還應(yīng)對(duì)三角函數(shù)的基本變形方法等理解透徹。此外，在解題期間，還可能會(huì)運(yùn)用到換元法、配方法等常用的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行輔助解答。

例5：“求函數(shù)7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值。”該類問題不僅包含三角函數(shù)的題目，同時(shí)還與二次方程的知識(shí)相結(jié)合，同時(shí)，通過對(duì)題目的觀察可以發(fā)現(xiàn)，給定題目當(dāng)中的最高次冪為4次冪，在中學(xué)期間，學(xué)生通常不會(huì)接觸到4次冪題目的解答。因此，在做題時(shí)，應(yīng)運(yùn)用三角函數(shù)當(dāng)中的倍角公式對(duì)給定條件進(jìn)行降冪，變?yōu)槎魏瘮?shù)的最值問題，從而能夠降低解題的難度。其具體解題方法如下：

令u=sin2x，則函數(shù)z=（u-1）2+6z在[-1,1]中的最大值為zmax=（-1-1）2+6=10，最小值為zmin=（1-1）2+6=6，故當(dāng)sin2x=-1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin2x=1時(shí)，y取得最小值6。

總而言之，三角函數(shù)是單招數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要內(nèi)容，也是考試當(dāng)中的熱點(diǎn)問題。因此，對(duì)于單招學(xué)生而言，應(yīng)首先對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)了解清楚，掌握有關(guān)三角函數(shù)的最值的相關(guān)解題方法，包括運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)、計(jì)算公式、化簡方法等，提高三角函數(shù)的解題能力。在解題過程中通過觀察、分析找到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的共同點(diǎn)予以突破，進(jìn)而提煉方法、總結(jié)規(guī)律，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。