對高中數列求和問題的探究

高山山　樸勇杰

摘 要 數列求和問題是高中數學中一個非常重要的部分，一直都是高考的重點和熱點內容，下面總結了數列求和的常用方法，以期開闊學生處理數列問題的視野，幫助學生在高考中靈活處理數列求和問題。

關鍵詞 數列求和 錯位相減 倒序相加

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

縱觀近年來高考試題，數列求和逐步轉變為對一般數列求和，而這些數列求和都有一定的技巧，下面筆者將介紹一些高中數列求和的主要方法，并給出具體的高考題實例。

1常用公式法

直接利用公式求和是數列求和的基本方法，除了等差數列和等比數列的求和公式，常用的數列求和公式還有：

（1）

（2）

2錯位相減法

錯位相減法主要適用于當是等差數列，是等比數列時求或者時，通過兩邊乘以等比數列的公比來列出一個式子，然后將兩個式子錯位相減可得到。需要注意的是等比數列的公比等于1就不適用了。

例1：設，求數列的前項和。

解：

兩式相減可得，

所以

3倒序相加法

倒序相加法適用于與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和的數列，運用這種方法首先需要將一個數列倒過來進行排列，再與原數列相加得到，利用數列特點最終求得數列之和。

例2：已知，則的值為多少？

解：因為，

，相加得

，即。

4裂項相消法

裂項相消法就是將已知數列的通項拆成兩項之差，通過一些正負項相互抵消，就可以獲得該數列的前n項和轉變為首尾少數項的和，這是分解和組合思想在數列求和中的具體應用。一般地，通項分解形式常見的有如下兩種類型。

（1）

（2）

5分組求和法

這種方法一般適用于可化成等差加減等比形式的數列求和，然后進行分組，把等差數列放一起，等比數列放一起進行求和。

例3：求數列9， 99， 999，…，99…9（n個9），…的前n項和。

解：此數列是一個循環數列，我們可以將9轉換為1011，將99轉換為1021，以此類推，將99…9（n個9）轉換為10n1，再將其看成是兩個數列相加。

（n個9）

6數學歸納法

對于與自然數有關的數學命題，依據數學歸納法原理，可以得到可靠評析的一種歸納推理方法，把歸納和演繹結合起來，是一種完全歸納法。

數學歸納法原理：（1）已知命題P（1）成立；（2）若命題P（k）成立，則P（k+1）成立；由（1）（2）命題得P（n）成立。

注：第一，兩步缺一不可。第二，第二步證明必須利用歸納假設得出結論。

例4：已知，，求。

解：猜想，下面用數學歸納法證明

（1）當時，符合；

（2）假設時，成立。那么當時，

符合上式，綜上可得成立。

數列求和問題方法靈活多樣，以上所說的幾種求和方法，給出了很多解題的思路和方法，只有把握解題思路，才可以熟練掌握求和的方法。鑒于該知識點難度較大，需要學生在學習過程中加以理解記憶，靈活運用。

參考文獻

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[3] 吳琪.淺談數列求和的類型及解題方法分析[J].數學學習與研究，2014（11）.