對高中數(shù)列求和問題的探究

高山山　樸勇杰

摘 要 數(shù)列求和問題是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的部分，一直都是高考的重點和熱點內(nèi)容，下面總結(jié)了數(shù)列求和的常用方法，以期開闊學(xué)生處理數(shù)列問題的視野，幫助學(xué)生在高考中靈活處理數(shù)列求和問題。

關(guān)鍵詞 數(shù)列求和 錯位相減 倒序相加

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

縱觀近年來高考試題，數(shù)列求和逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷σ话銛?shù)列求和，而這些數(shù)列求和都有一定的技巧，下面筆者將介紹一些高中數(shù)列求和的主要方法，并給出具體的高考題實例。

1常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和的基本方法，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，常用的數(shù)列求和公式還有：

（1）

（2）

2錯位相減法

錯位相減法主要適用于當(dāng)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列時求或者時，通過兩邊乘以等比數(shù)列的公比來列出一個式子，然后將兩個式子錯位相減可得到。需要注意的是等比數(shù)列的公比等于1就不適用了。

例1：設(shè)，求數(shù)列的前項和。

解：

兩式相減可得，

所以

3倒序相加法

倒序相加法適用于與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和的數(shù)列，運用這種方法首先需要將一個數(shù)列倒過來進(jìn)行排列，再與原數(shù)列相加得到，利用數(shù)列特點最終求得數(shù)列之和。

例2：已知，則的值為多少？

解：因為，

，相加得

，即。

4裂項相消法

裂項相消法就是將已知數(shù)列的通項拆成兩項之差，通過一些正負(fù)項相互抵消，就可以獲得該數(shù)列的前n項和轉(zhuǎn)變?yōu)槭孜采贁?shù)項的和，這是分解和組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。一般地，通項分解形式常見的有如下兩種類型。

（1）

（2）

5分組求和法

這種方法一般適用于可化成等差加減等比形式的數(shù)列求和，然后進(jìn)行分組，把等差數(shù)列放一起，等比數(shù)列放一起進(jìn)行求和。

例3：求數(shù)列9， 99， 999，…，99…9（n個9），…的前n項和。

解：此數(shù)列是一個循環(huán)數(shù)列，我們可以將9轉(zhuǎn)換為1011，將99轉(zhuǎn)換為1021，以此類推，將99…9（n個9）轉(zhuǎn)換為10n1，再將其看成是兩個數(shù)列相加。

（n個9）

6數(shù)學(xué)歸納法

對于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，可以得到可靠評析的一種歸納推理方法，把歸納和演繹結(jié)合起來，是一種完全歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法原理：（1）已知命題P（1）成立；（2）若命題P（k）成立，則P（k+1）成立；由（1）（2）命題得P（n）成立。

注：第一，兩步缺一不可。第二，第二步證明必須利用歸納假設(shè)得出結(jié)論。

例4：已知，，求。

解：猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時，符合；

（2）假設(shè)時，成立。那么當(dāng)時，

符合上式，綜上可得成立。

數(shù)列求和問題方法靈活多樣，以上所說的幾種求和方法，給出了很多解題的思路和方法，只有把握解題思路，才可以熟練掌握求和的方法。鑒于該知識點難度較大，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中加以理解記憶，靈活運用。

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