“形似質異”的函數問題

在數學函數的學習中，常常會犯一些錯誤，這可能是對于題義理解不清上產生的，也可能是對數學概念的理解不到位產生的，等等。是能對這些題目作對比處理，可使學生擺脫負遷移，走出思維誤區，提高數學學習的能力及自信心。文通過對幾組易錯問題進行比對分析，對學生以后的解題起到一種“警示”作用。

一、對數函數的定義域和值域

【例1】（1）函數的定義域為R，求 a的取值范圍

（2）的值域為R，求a的取值范圍。

【分析】上述例題是關于定義域和值域的問題，一詞之差，相隔萬里，含義截然不同。

（1）要求的值域必須為正實數集的子集，而（2）則要求正實數集應該為值域的子集，學生對于題干的理解模糊，很容易出現錯誤，解析如下。

【解析】（1）根據題意得，對于一切的x∈R均成立，所以不等式對應的方程的

（2）根據題意得，只需函數取遍（0，+）上的所有值即可，所以方程的，即或.

【點評】對于對數函數定義域和值域為R的不同情況，應該注意區分。

二、二次函數中二次項系數含有參數

【例2】（1）若函數有負值，求實數a的取值范圍

（2）若函數有負值，則實數a的取值范圍。

【分析】這兩道例題看似相似，卻有著質的區別。題（1）中要求二次函數可以取到負值，結合二次函數的開口方向，只需要函數與x軸有兩個交點即可，即對應方程的△>0即可。題（2）中對參數a需要進行分類討論。

【解析】（1）根據題意得，有負值，

即對應二次方程的，即或

（2）根據題意得，對參數a的取值進行分類討論

①當時，

為一次函數，值域為R，可以取到負值，滿足題意

②當時，

為開口方向朝上的二次函數，要使二次函數可以取到負值，及對應方程的，即。

③當時，

為開口方向朝下的二次函數，可以取到負值，滿足題意。

綜上，a的取值范圍為。

【點評】若二次函數二次項系數含有參數，必須對參數進行分類討論。

三、區間與對稱軸的位置關系

【例3】（1）若函數的定義域和值域均為 ，求的值

（2）若函數的定義域和值域均為，求b的值。

【分析】這組例題都是二次函數定軸動區間的問題，這也作為二次函數學習的重點和難點，需要對對稱軸和區間的位置進行討論。

【解析】

（1）依題意得，是開口方向朝上的二次函數，對稱軸為x=1，

定義域在對稱軸的右邊，函數在定義域上為單調遞增函數，

所以，

解得，，。

（2）依題意得，是開口方向朝上的二次函數，對稱軸為，定義域在對稱軸的右邊，函數在定義域上為單調遞減函數，

所以，

解得，。

【點評】若二次函數是定軸動區間，必須對對稱軸和區間的位置進行討論。

四、復合函數的解析式

【例4】（1）若，求的解析式

（2）若，求的解析式。

【分析】這兩道題均是求解函數解析式的問題，這兩種求函數解析式的題型極易混淆，做題時容易產生錯誤，需要引起注意。

【解析】

（1）依題意得，已知的解析式，要求 。可在解析式的右邊拼湊出“”，即把 當做整體來處理，在解析式兩邊將用代替。

所以，

用x代替等號兩邊的3x+1，故。

（2）依題意得，已知的解析式，要求。可以用代入法求解

所以，

故。

【點評】要求復合函數的解析式，必須將內層函數作為新的變量帶入原來的函數解析式中。

綜上，在平時的教學過程之中，正確地處理一些形似而本質不同的問題時，一方面，可以加深學生對基本概念、基本知識、基本解題技能的掌握 ?另一方面，也可以通過習題來擴充學生邏輯思維的嚴謹性，增加學生識別題目的能力，這樣才能更好的掌握知識。

作者簡介：

侯麗莎，女，2013年7月畢業于陜西師范大學數學與應用數學專業，2017年6月取得陜西師范大學學科教學（數學）碩士學

位。