基于PARETO模型的失獨家庭幸福感之研究

秦露琪　劉婷　龍欣　王仙云

【摘 要】影響失獨家庭幸福感的主要因素包括：失獨家庭參加文娛活動情況、失獨家庭經濟狀況以及希望政府采取的措施， 其中政府采取的措施為可控因素. 本文采用改進的PARETO模型， 運用貝爾曼原理進行求解， 從而得到政府采取措施的定量數據。

【關鍵詞】失獨家庭；改進的PARETO模型；貝爾曼原理

中圖分類號： C924.21 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）09-0045-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.020

Research on the Sense of Happiness of Family Members Who Left Sole Families Based on PARETO Model

QIN Lu-qi LIU Ting LONG Xin WANG Xian-yun

（College of Mathematics and Statistics， Jishou University， Jishou 416000， China）

【Abstract】There are several important factors that affect the happiness of the family with the loss of independence， including the family members participation in recreational activities， the economic situation of the families and the measures that the government hopes will be taken， where the measures taken by the government are controllable factors. In this paper， we first establish the improved PARETO model and then get the quantitative measures of the measures taken by the government by using the Bellmans principle.

【Key words】Family loss of independence； The improved PARETO model； Bellmans principle

0 引言

近年來， 隨著失獨家庭的增加， 政府對于失獨家庭的社會救助責任將會越來越重要. 因此， 從定量的角度來研究政府對失獨家庭所需要采取的具體措施有著重要的理論意義與應用價值.大量學者針對政府對失獨家庭采取的措施進行了深入研究[1-7]， 例如我國學者王麗君指出需加強經濟救濟， 逐步提高失獨老人的救助扶助標準[1]；李三梅指出要完善失獨家庭的制度保障， 重視失獨家庭老年人心理和精神關照等方面以及應關注失獨家庭養老對策的構建與完善[2]；馬瑄針對失獨老人的經濟狀況、精神慰藉狀況、社會關注情況等問題進行分析， 從政府、社會、社區等方面提出相應對策[3]；本文作者在文[4]中研究了影響失獨家庭幸福感的幾大重要因素分別為： 失獨家庭參加文娛活動， 失獨家庭經濟狀況以及希望政府采取的措施， 其中失獨家庭希望政府采取的措施是可以做出相應的改變和調整的。

注意到上述文獻大多采取的是定性分析. 而本文則從失獨家庭幸福感這一視角出發，采用改進的PARETO模型， 運用貝爾曼原理進行求解， 對政府采取的措施這一影響因素進行定定分析， 進而提出更為合理可行的建議.

1 PARETO改進模型

對于失獨家庭，我們要以增加失獨家庭的幸福感并且減少財政負擔為目標，將核心家庭分為兩種，即失獨家庭（失去獨生子女）和健全家庭（核心家庭完整）. 失獨家庭有政府的特殊家庭補助補助， 健全家庭沒有特殊補助， 生活費用主要靠自己的工作收入.假設t期健全家庭個數為Lt， 失獨家庭個數為Rt，t，期核心家庭與t+1期失獨家庭個數相同.因此Lt=Rt+1.假設政府對健全家庭的老政策和新政策在家庭t期平均收入水平保持不變， 記為Dt， 政府原來對失獨家庭的平均特殊補助和新政策下給予失獨家庭的特殊補助分別為Et和Ft， 政府每月支出在舊政策和新政策下分別為Gt和Ht， 其中t時期健全家庭的實際收入為It. 設人口增長率為n， 其中健全家庭收入增長率為g. 舊政策下t時期政府特殊補助對失獨家庭的補助與普通家庭收入的比例為λ， 即λDt=Et按照我國政府現有特殊家庭補助補助，t期政府支出為：Gt=RtEt由于健全家庭自身收入增長率為g，t+1期失獨家庭平均特殊補助為：

Et+1=λDt+1=λ（1+g）Dt=（1+g）Et

同年， 有子女家庭增長率為n，t+1期政府失獨家庭的補助補助支出為：

Gt+1=Rt+1It+1=RtEt（1+n）（1+g）

假設t期健全家庭年納稅費率為αt，則t期健全家庭個數繳費為αtDt，0期失獨家庭收到政府補助， 即I0=E0，t期政府為每個失獨家庭支出的基本保障金為Bt， 所以政府對失獨家庭的總支出補助為：

Ht=αtLtDt+RtBt

家庭的t+1期年收入費率不變， 但政府對家庭的補助基數上升， 家庭繳費為：

αtDt+1=αtDt（1+g）

此時，t期健全家庭變為失獨家庭， 其家庭收入由兩部分組成：政府給予失獨家庭特殊補助和原本是健全家庭的年金， 則t+1期失獨家庭領取的補助為：

Ft+1=Bt+1+2αtDt（1+J）（1）

其中， J為年金收益率. 收入效用函數為：

U=ln（It）+

θ為t+1期收入的貼現補償系數. 要保障改變了制度前后家庭的實際效率值沒有差異， 即有：

ln（Dt）+=ln[D（1-α）]+

整理可得：

Ft+1=（1-αt）-（1+θ）Et+1=（1-αt）-（1+θ）λDt+1（2）

由（1）式和（2）式整理得：

Bt+1=[（1-α）-（1+θ）λ（1+g）-2αt（1+J）]Dt（3）

在保持家庭的自身收入不變的情況下， 想要求政府特殊家庭補貼改制變量的取值， 使長期政府支出最小， 可以建立目標函數：

Min（αLD+RB）/（1+r）

其中， r為財務開銷的貼現率， 可將其視為存款積攢的基本利率. 整理可得：

MinL0βtαD+

β=（4）

2 貝爾曼最優性原理

我們采用貝爾曼最優性原理對問題求解，把Bt當做狀態變量，αt和Dt當成控制變量，（4）式則為這三個變量的轉移方程. 建立Bellman[5]方程：

V（Bt）=min{u（αt，Dt，Bt）+βV（Bt+1）}

u（αt，Dt，Bt）=αtDt+（5）

由貝爾曼最優原理，可知Bellman公式[6]為：

一階條件為：

（7）

由（6）式與（7）式可以解得：

整理可得到：

（8）式便是滿足政府轉變對失獨家庭政策前后消費者效率值不變的情況下， 形成政府持久開支的最小目標是αt，的路線. 將（8）式代入（3）式得到政府基礎補助金支出的最優路線：

改制后t期政府的支出為：

Ht=αtLtDt+BtRt=Rt[αt（1+n）Dt+Bt]

t+1期政府支出為：

Ht+1=Rt+1[αt+1（1+n）Dt+1+Bt+1]（10）

將（9）式代入（10）式中得：

政府對失獨家庭補助改制后，完整家庭補助效用不變，t期政府支出由原來的Ht變為Gtδ，

從（11）式可以看出， 政府對失獨家庭補助改革后， 支出增減， 主要由（11）式中多個參數改革后， 政府支出Ht和有子女家庭增長率n、家庭自身工資收入增長率g正相關， 與政府補助補助收益率R負相關， 就是家庭增長率得越快， 家庭自身收入增長率越快， 則政府對失獨家庭補助方面支出就越高， 家庭收益率越高， 政府支出就越低. 失獨家庭補助改革后， 如果實現δ<1， 那么就實現了家庭收入效用不變、政府負擔減少的帕累托改進目標. 失獨家庭補助改革后能夠實現帕累托改進目標. 失獨家庭補助改革后能夠實現帕累托改進的條件[7]即：

對這展望未來下期， 即對于t=1， 假定家庭個體增長率n每年為0. 02%， 每期自身收入增長率為1%， 假定1期后收入的政府補貼率為θ=0.7， 而政府特殊補助對失獨家庭的補助與普通家庭補助的比例λ是可控變量且每期失獨家庭補助收益率R從0.1%到15%的范圍波動，我們可以用MATLAB計算出不同的下政府的支出， 從而得出一個臨界值. 由計算結果可知， 當失獨家庭補助收益率R=0.1410且λ=1.1時政府支出為原來的0.8027倍，且不影響普通家庭的利益，即：Ht=0.8027Gt所以我們要盡量減少政府總支出， 增加對失獨家庭的特殊補貼， 從而可增加失獨家庭的富裕感方面來增加失獨家庭的幸福感。

【參考文獻】

[1]王麗君.解決失獨家庭養老問題的幾點建議[N].中國人口報，2018-04-06（003）.

[2]李三梅，劉姝名.失獨家庭養老方式的創新探討[J].時代金融，2018（05）：269-270.

[3]馬瑄，解春紅，曲思冰.失獨家庭養老問題及對策分析[J].四川勞動保障，2018（S1）：54-55.

[4]秦露琪，劉婷，龍欣，王仙云.基于熵權法的失獨家庭幸福感之研究[J].科技視界， 2018（02）：16-17+5.

[5]張大為.基于貝爾曼方程的對不確定投資的改進[J].才智， 2010（29）：36-37.

[6]羅遠詮.關于最佳控制貝爾曼方程解的連續可微性[J].數學研究與評論，1986（03）：89-92.

[7]安宇宏.帕累托改進與帕累托最優[J].宏觀經濟管理， 2013（03）：76.