一題多解巧用正余弦定理

尚祎程

【摘 要】正、余弦定理是在三角形解決邊角關系問題中的重要定理。本文從一道習題出發(fā)，討論了應用正、余弦定理的不同解法，有效地擴寬了解題思路，為高中數學學習提供經驗和借鑒。

【關鍵詞】正弦定理；余弦定理；一題多解

中圖分類號： G633.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）09-0176-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.084

Multiple solutions to a problem using the sine cosine theorem

SHANG Yi-cheng

（The First Middle School of Tai'an City， Shandong Province， Taian 271000， Shandong， China）

【Abstract】Sine and cosine theorems are important theorems for solving the problems of relationship between edges and corners in a triangle. This paper， starting from an exercise， discusses the different solutions using positive and cosine theorems， which effectively widens the idea of solving the problem and provides experience and reference for high school mathematics learning.

【Key words】Sine theorem； Cosine theorem； Multi-answer question

正、余弦定理在解三角形問題時可以將已知條件統(tǒng)一為邊或角的關系，通過推導得到相應結果。在應用正、余弦定理解題時，根據條件和結論構造不同邊角關系形式，能有效地找到解決問題的切入點，從而獲得不同的解法。

下面給出一個解題實例。

例：已知ΔABC中，內角A、B、C對應的邊分別是a、b、c，且a2=b（b+c），求證A=2B。

解法一：通過已知條件邊的等式，運用正弦定理，構造兩角的三角函數關系，尋找數量對應關系。

因為，由正弦定理，得到，根據要證明的結論，觀察等式，若 ，結論得以證明。

由余弦定理，cosB=，由已知a2=b（b+c），可得

cosB===

符合要求，因為三角形內角在（0，π），存在A=2B或A=π-2B，根據A+B+C=π及已知條件，均可得A=2B，結論得證。

解法二：已知條件中，只含有邊的關系，無角度關系，通過正弦定理轉化為三角函數關系，設法消掉無關項，證明結論。

對已知條件a2=b（b+c）進行變形，變?yōu)閍2-b2=bc，應用正弦定理，

可得sin2A-sin2B=sinBsinC，因為C=π-（A+B），sinC=sin（A+B）

上式變?yōu)閟in2A-sin2B=sinBsin（A+B），對平方差進行分解

（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinBsin（A+B），再進行和差化積，

2sincos×2sincos=sinBsin（A+B）由倍角公式可得，

sin（A-B）sin（A+B）=sinBsin（A+B）

等式化簡，得sin（A-B）=sinB，因為三角形內角在（0，π），存在A-B=B和A=π-（A-B），分類討論，可得A=2B，結論得證。

解法三：由結論通過公式變形，得到邊的關系，結合已知，應用正、余弦定理，證明結論。

由結論A=2B可得sinA=2sinBcosB，根據正弦定理，得a=2bcosB，故選擇上式作為證明切入點。

由已知a2=b（b+c），結合余弦定理，可得cosB=，

則2bcosB=2b=，再根據已知得2bcosB=a

應用正弦定理得，2sinBcosB=sinA，因為三角形內角在（0，π），討論如解法一，故A=2B，結論得證。

解法一和解法三雖然形式上相似，但解題切入點不同：解法一利用了邊化角的方式，解法三采用是角化邊的方法。本例題靈活應用了正、余弦定理，通過對已知條件和結論的恒等變形，形成不同的解題方法。

通過上述例題，可以發(fā)現，對于三角形中涉及的邊、角問題，根據所求結論和已知條件，選擇適合的形式進行邊、角轉換，尋找對應關系，能有效地解決問題。