3-P(4S)并聯平臺振動特性分析與實驗驗證

趙星宇 趙鐵石 徐雪寒 趙延治 李忠杰

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室, 秦皇島 066004；2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室, 秦皇島 066004)

0 引言

為了實現更好地振動模擬及測試，將并聯平臺應用到振動領域是國內外的研究熱點[1-7]。美國的MTS公司生產了多種類型的振動臺，其中354.2型六維振動臺可應用于大型設備的地震模擬，323.2型六維振動測試臺可應用于汽車零部件的振動測試[8-9]。美國TEAM公司生產的電液伺服驅動六自由度振動臺，可用于汽車組件的測試[10-11]。德國Instron公司生產的六自由度振動臺，采用電液驅動形式，可應用于整車的振動模擬以及疲勞測試[12-13]。日本IMV公司生產的大型六自由度振動臺可應用于地震模擬[14]。加拿大QUANSER公司生產的六自由度振動臺，主要應用于小型設備的低頻率振動測試[15]。中國水利水電科學研究院研制了一種三維平動的振動模擬臺，可應用于地震模擬以及大型設備的動力試驗[16]。中國科學院長春光學機械研究所基于傳統的Stewart構型設計了一款多維振動模擬平臺，可用來模擬空間環境中的多維擾動[17]。上海交通大學自主研發的多維電動振動臺，可用于多維振動模擬[18]。

本文在文獻[19]的研究基礎上，對3-P(4S)平臺的振動特性進行深入分析，首先建立機構的簡化振動模型，并應用仿真軟件進行驗證，然后對機構的固有頻率隨運動位置變化特性和靈敏度特性進行分析，并通過實驗進行驗證。

1 3-P(4S)機構振動模型

1.1 振動方程的簡化

圖1為3-P(4S)并聯平臺三維造型和結構簡圖[19]。該機構由上平臺、基座以及3個P(4S)分支組成，其中驅動部件為包含磁力彈簧的直線電機。機構簡圖中坐標系的建立以及結構參數的意義在文獻[19]中已闡明，該機構有沿著xp、yp、zp的3個平動自由度，且其動力學方程可表示為[19]

(1)

圖1 3-P(4S)并聯機構Fig.1 3-P(4S) parallel mechanism

式(1)出自文獻[19]中式(23)，為了避免符號重復，故本文中用E和F代替文獻[19]中式(23)的M和N。在振動分析過程中，只考慮電機的伺服剛度，假設其他構件為剛性件，則有

τA=Kq

(2)

其中K=diag(k1，k2，k3)

式中K——直線電機廣義剛度矩陣

ki——直線電機的伺服動剛度，i=1,2,3

其測定值為ki=2.19×106N/m。

由于τG為常數項，而求解機構的固有頻率的實質在于求解動力學方程拉普拉斯變換后的微分方程，常數項對其無影響，可忽略，則式(1)可表達為[19]

(3)

其中

則式(3)可化簡為

(4)

其中M=EJ-1

式中M——廣義質量矩陣

(5)

(6)

假設外界激勵為F，則振動方程可表示為

(7)

1.2 固有頻率及振型

對式(7)做拉普拉斯變換，可得

(s2M+K)q(s)=F(s)

(8)

式中q(s)、F(s)——振動響應和外界激勵的Laplace變換結果

令Z(s)=(s2M+K)，根據線性系統有s=jω，則Z(ω)=(K-ω2M)。則機構的振動特征方程為

Δ(ω2)=det(K-ω2M)=0

(9)

在無阻尼自由振動下，振動響應可列為

q(ω)=uqr

(10)

式中u——振型向量

qr——對應的坐標矩陣

(11)

式中un——機構第n階振型向量

ωn——機構第n階固有頻率

(12)

式中urr——機構的正則主振型

通過式(12)可得到機構的正則固有振型u=[u11u22u33]T。

1.3 數值算例

該機構的結構參數如表1所示，將結構參數代入1.2節，可求得機構在初始位置下的固有頻率及正則固有振型向量，如表2所示。

表1 結構參數Tab.1 Mechanism parameters

表2 固有頻率及固有振型Tab.2 Natural frequencies and natural modes

由表2可知，機構的1階和2階固有頻率的值均為45.424 1 Hz，并根據其固有振型，可將1階主振動視作為沿xp方向的平動，2階主振動作為沿yp向的平動。機構的3階固有頻率為87.122 7 Hz，其主振動為沿zp方向的平動。

為驗證振動臺的理論模型，應用ADAMS進行振動仿真分析。由于該直線電動機實際為欠阻尼，其阻尼數值對振動臺固有頻率的影響可忽略，并和理論推導保持一致，所以在驅動位置添加彈簧時只設定具體剛度，阻尼設為零，并假設振動臺的各構件是剛性的。首先定義機構激勵的輸入通道，在機構上平臺中心點P處，分別建立3個沿移動坐標軸方向上的正弦激振力，力的大小均為500 N，相角均設為零；其次，定義輸出響應通道，同樣輸出響應的拾振點選在上平臺的中心點P處，選擇沿3個移動坐標軸xp、yp、zp的方向為拾振方向，選擇測量類型為輸出位移，通過模態仿真，可以得到機構的各階模態，如圖2所示。

圖2 3-P(4S)平臺各階模態Fig.2 Sketches of modes of 3-P(4S) mechanism

通過給定仿真步長以及測量頻率的范圍，可分別測得的機構沿xp、yp、zp方向的輸出響應的幅頻特性曲線，并將其數據點導入Matlab中進行顯示，如圖3所示。

圖3 振動幅頻曲線Fig.3 Amplitude frequency curves of vibration

如表3所示，通過將理論計算以及ADAMS仿真所得到的機構固有頻率的結果相對比可知，兩者結果很接近，兩者誤差均在0.5%以內，說明應用振動方程得到的計算結果足夠精確，可以作為進一步計算的依據。

表3 固有頻率對比Tab.3 Contrast of natural frequencies

圖4 zp向運動時固有頻率變化Fig.4 Natural frequency variation of motion zp

2 振動特性分析

2.1 機構固有頻率隨位置變化分析

假設該平臺在中心線上沿zp向運動，根據式(9)可得，機構固有頻率變化如圖4所示，其1、2階固有頻率沿zp向位移的增加而遞減，3階固有頻率沿zp向位移的增加而遞增。

假設機構在初始高度下，沿xp和yp方向運動，根據式(9)，固有頻率的變化如圖5所示，其1階固有頻率在初始位置有最大值，向運動空間的四周擴散遞減，而2、3階固有頻率在初始位置最小，向運動空間的四周擴散遞增。

圖5 機構的固有頻率變化Fig.5 Changing charts of natural frequency of mechanism

2.2 機構固有頻率靈敏度分析

(13)

設x代表各結構參數，求導可得到

(14)

將式(14)展開并化簡，可得

(15)

圖6 固有頻率對各結構參數的靈敏度Fig.6 Sensitivity of natural frequency to various structural parameters

將機構固有頻率隨結構參數變化趨勢稱為靈敏度特性，其表達式為

(16)

式(16)表示了機構的結構參數對振動特性的影響程度。設機構處于初始位置,可得機構的固有頻率對各結構參數的靈敏度如圖6所示。

由圖6a可知，隨著ra的增大，機構的1、2階固有頻率的靈敏度為負值但其絕對值逐漸增加，而3階固有頻率靈敏度近似為恒定的正值。這說明隨著ra的增大，該機構的1、2階固有頻率逐漸減小，并且其減小的幅度越來越大，而3階固有頻率呈遞增趨勢，并且其與ra近似呈線性關系。由圖6b、6c可知，機構的1、2階固有頻率對d和L的靈敏度均為正，3階固有頻率對d和L的靈敏度均為負，但其變化趨勢相反。這說明隨著d和L的增大，機構的1、2階固有頻率不斷增加，但增加幅度不同，而3階固有頻率變化趨勢相反，兩者的靈敏度都逐漸減小，且減小幅度也不同。由圖6d可得，隨著rb的不斷增大，1、2階固有頻率靈敏度為正且遞減，而3階固有頻率靈敏度為負且保持不變。這說明隨著rb的增加，1、2階固有頻率逐漸增加，3階固有頻率單調減小，并且與rb呈線性關系。

對于振動臺而言，1階固有頻率對其振動特性以及振動臺的工作狀況影響最大。因此，根據式(16)，在圖7中得到了3-P(4S)振動臺在初始高度平面(zp=0)內，1階固有頻率對各結構參數的靈敏度的位置變化圖。

由圖7可以看出，3-P(4S)振動臺在初始位置(xp=0,yp=0,zp=0)對各結構參數的靈敏度最小，而越靠向運動空間的邊緣，其靈敏度則越來越大。而且，3-P(4S)振動臺只對ra的1階固有頻率靈敏度是負值，對其他結構參數的1階固有頻率靈敏度均是正值，這說明機構的1階固有頻率同結構參數ra呈反向變化，同其他結構參數則呈同向變化。

圖7 1階固有頻率對結構參數的靈敏度Fig.7 Sensitivity of the first order natural frequency to structural parameters

由圖7中還可看出，固有頻率對ra和rb的靈敏度高于對d和L的靈敏度，這說明ra和rb對機構的低階振動特性的影響更大，因此在實驗過程中，如果機構的固有頻率不符合工作條件要求，改變機構上下平臺的結構尺寸可以達到更好的效果。

3 模態實驗

模態實驗主要對機構進行激振測試，應用傳感器對激勵信號以及振動響應信號進行采集并處理，將信號輸入模態分析軟件中，得到系統的振動特性。模態測試包括激勵系統、測試系統及分析系統[20]。

激勵系統的激勵形式有穩態正弦激勵、隨機激勵和脈沖激勵，為了節約成本，提高實驗效率，選擇脈沖激振形式。通過帶有力傳感器的沖擊力錘進行敲擊，以施加給振動臺寬頻脈沖信號，從而實現脈沖激勵，進而激發振動臺的各階模態。

測試及分析系統主要包括力傳感器、加速度傳感器以及計算機分析系統，其中力傳感器可用來采集激勵信號，加速度傳感器可用來采集拾振點的振動響應信號。傳感器將采集到的模擬量信號通過電荷放大器、數據采集卡輸送到計算機，計算機通過數據處理，得到各階幅頻特性曲線，從而得到機構各階固有頻率。模態測試步驟框圖如圖8所示。所搭建的模態實驗系統如圖9所示。

圖8 振動臺模態實驗框圖Fig.8 Modal experiment diagram of vibration platform

圖9 模態實驗平臺Fig.9 Experimental platform of modal1.計算機 2.數據采集卡 3.控制柜 4.帶力傳感器的力錘 5.加速度傳感器 6.3-P(4S)振動臺 7.電荷放大器

實驗選用LC-1型電荷式模態力錘，其靈敏度為4.74 pC/N，適用范圍為0～5 kN，整體由錘體、錘帽以及力傳感器組成。加速度傳感器型號為YD81D電荷輸出型，安裝在上平臺的螺紋孔內，靈敏度為1.39 pC/(m·s-2)，其諧振響應頻率為27 kHz，遠高于測試頻率，可滿足實驗要求。

對于電荷型加速度傳感器所接的SD1436型電荷電壓積分放大器，需將撥碼開關上的數值設定成傳感器的靈敏度，并將功能轉換器設定為輸出加速度，采用低通濾波模式，并將輸出數值設為1 mV/(m·s-2)，然后，所采集到的電壓模擬量即可作為振動加速度。

圖12 輸出響應的時域波形Fig.12 Output response time domain waveform

最后數據采集卡選用USB-1608G十六位數據采集卡，模擬量信號通過USB接口傳給計算機，計算機經數據處理后得到振動分析結果。

上平臺激振點以及拾振點的位置布置如圖10所示，由于振動臺具有分別沿坐標軸X、Y、Z方向的模態，所以需要在每個模態方向上分別進行一次敲擊測試。圖中激振點1、2、3代表著力錘敲擊點的位置和方向，拾振點1、2、3則為加速度傳感器的布置位置及方向，拾振點處有螺紋孔，可將加速度傳感器旋入安裝。由于上平臺呈六邊形結構，所以對Y軸模態測試的激振點和拾振點不好布置，因此選擇六邊形兩組對應的鄰邊作為X軸和Y軸的激振點和拾振點的布置位置。

圖10 激振點以及拾振點布置Fig.10 Layout of exciting point and vibration point

測定的是機構在初始位置(X=0,Y=0,Z=0)下的各階模態參數，因此測試前需將機構調整到0位，分別沿激振點1、2、3進行敲擊測試，每個激振點測定3次，然后應用LabVIEW軟件采集每次測試的輸出信號。圖11為機構沿X軸方向的敲擊模態實驗過程。

圖11 沿X軸方向的模態敲擊測試Fig.11 Modal strike test along X direction

對測得的加速度傳感器的信號進行處理，可得振動臺輸出響應加速度的時域波形，共得3組，圖12所示為其中1組，由于實際中阻尼的存在，響應會逐漸衰減。

對3組時域信號分別進行傅里葉變換，然后求其平均值，可得到輸出響應的頻譜圖，如圖13所示。

將實驗結果和理論計算結果對比分析，由表4可知，理論與測定結果存在誤差，其原因有：理論模型的建立中忽略了阻尼以及非線性因素的影響；在實驗過程中，傳感器的測量以及頻譜分析都存在一定的誤差，但總誤差在3%以內，從而驗證了理論計算過程的正確性。

本實驗并未應用力錘的激勵信號，因為本次實驗是為了驗證固有頻率的理論求解，以確保共振頻率高于工作頻率范圍，通過對振動輸出響應的處理，并得到響應頻譜圖即可實現。應用力錘的激勵信號可求得系統傳遞函數，并對振動臺進行模態參數識別，本實驗系統的搭建為其奠定了基礎。

圖13 輸出響應的頻域波形Fig.13 Output response frequency domain waveform

表4 理論與實驗結果比較Tab.4 Contrast of theory and experiment results

4 結束語

對3-P(4S)振動臺的振動特性進行了深入分析，首先建立了機構的簡化振動模型，并應用仿真軟件進行驗證，其誤差在0.5%以內。然后對機構的固有頻率隨運動位置變化特性以及靈敏度特性進行了具體分析。最后進行了3-P(4S)振動臺的模態實驗。通過比較，振動臺的固有頻率的實驗測定值與理論計算值的誤差均在3%以內，從而證明了理論模型的正確性，對3-P(4S)機構的實際應用提供了可靠的基礎。