“121”三段四環導學課堂教學模式的課型研究

翟彩云　張勇　陳武釗

概念教學是數學教學中不可缺少的重要組成部分。概念教學是一個“重新建構”過程，是一個“意義賦予”過程。“121”三段四環導學課堂教學模式中概念課的教學過程可概括為下圖：

案例：函數的單調性（第一課時）

函數的單調性是函數的重要性質。其中增函數、減函數的概念是形式化定義，較為抽象，學生不易理解，可采用概念形成的教學方式。

一、概念的引入（約10分鐘）

（一）重現已有知識

師：在初中我們已經學習過一次函數、二次函數、反比例函數的圖象和性質。現在請同學們觀察下列函數的圖象，并說明函數值y隨x的增大而怎樣變化？

（1）y=2x+1 （2）y=-x+1 （3）y=x2 （4）y=

學生可能有以下回答：

（1）函數y=2x+1在定義域內y隨x的增大而增大。

（2）函數y=-x+1在定義域內y隨x的增大而減小。

（3）函數y=x2在[0，+∞）上y隨x的增大而增大，在（-∞，0]上y隨x的增大而減小。

（4）函數y=在（0，+∞）和（-∞，0）上y都隨x的增大而減少。

（設計意圖：觀察具體函數圖象特征，注重直觀感知）

師：這些例子都反映了自變量變化時函數值也會發生改變，有的變大，有的變小，這是函數的一個重要性質，稱為函數的單調性。同學們在初中對函數的這種性質雖然有所了解，但是沒有嚴格的定義，今天我們的學習任務就是建立函數單調性的嚴格定義。

（二）引入新的概念

問題1：你能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數？

學生可能回答：如果函數f（x）在某個區間隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f（x）在該區間上為增函數；如果函數f（x）在某個區間隨自變量x的增大，y反而越來越小，我們說函數f（x）在該區間上為減函數。

師：這種認識從圖象的直觀性很容易得到，即是從“形”的角度對函數單調性的直觀性認識。

（設計意圖：從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的感性認識。）

問題2：如何從“數”的角度，對“函數值y隨x的增大而增大（或減少）的特征”給予具體的定量刻畫呢？以y=x2在[0，+∞）上是增函數為例，你能列舉一些數據予以說明嗎？

學生可能回答：當x=0時，y=0；當x=1時，y=1；當x=2時，

y=4……

問題3：這樣的數據能列舉完嗎？你能用準確的數學符號語言表達出增函數的定義嗎？

學生回答：不能。

老師：為什么不能呢？

逐步啟發學生找到問題的根源：自變量不可能被窮舉，從而逐步回答出：對任意的兩個自變量x1，x2∈[0，+∞），x1

（設計意圖：引導學生思考討論，把對單調性的認識由感性認識上升到理性認識的高度。事實上也給出了證明單調性的方法，為典例1的學習做好鋪墊。）

（三）形成概念定義

（教師用投影展示）一般地，設函數f（x）的定義域為I：

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2），那么就說f（x）在區間D是減函數。區間D為y=f（x）的單調減區間。（圖3）

如果函數y=f（x）在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f（x）的單調區間。

二、概念的理解（約20分鐘）

（一）探究概念等價變換

師：由不等式性質知：若ab則a-b>0，反之亦然。要比較f（x1）與f（x2）的大小，只要觀察f（x1）-f（x2）<0？或f（x1）-f（x2）>0？因此，單調性的定義你能作出怎樣的等價變換呢？

學生：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x1

學生：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x10，則稱函數f（x）在區間I單調遞減。

（二）概念理解的變式練習

師：分別指出各函數（1）y=2x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；（4）y=的單調區間。

學生可能回答：（1）函數y=2x+1只有增區間（-∞，+∞）；（2）函數y=-x+1只有減區間（-∞，+∞）；（3）函數y=x2的增區間是[0，+∞），減區間是（-∞，0]；（4）函數y=的減區間為（-∞，0）和（0，+∞）。

問題4：能把函數y=的減區間（-∞，0）和（0，+∞）改寫成

（-∞，0）∪（0，+∞）嗎？

一些學生回答可以，一些學生回答不可以。

師：請認為不可以的同學說說理由。

學生甲：-1，2∈（-∞，0）∪（0，∞），并且-1<2，應該是f（-1）>

f（2），這與事實f（-1）

師：甲同學說對了。一個函數同時有兩個或以上的增（或減）區間要用“，”或“和”分開，不能用“∪”把各個單調區間連接起來，這是求函數的單調區間中最常見、最典型的錯誤，請同學務必注意。

（設計意圖：規范表達，防止典型錯誤的發生）

問題5：請回答下面幾個思考題

①已知f（x）=，因為f（-1）

②若函數f（x）在區間（1，2]和（2，3）上均為增函數，則函數f（x）在區間（1，3）上為增函數，對嗎？

③因為函數f（x）=在區間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數，所以f（x）=在定義域上是減函數，對嗎？

學生可能回答：都不對。

師：通過以上幾個小題的討論交流，我們得出以下結論：

①單調性定義中的x1，x2是區間內任意兩個值，而不是特殊的兩個值。

②單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性，單調性是函數的局部性質。

③函數在定義域內的兩個區間A，B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在A∪B上是增（或減）函數。

（設計意圖：讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過幾個思考題的辨析，加深學生對定義的理解）

（三）典例合作探究（交流研討、展示點評、點撥整理）

例1.證明函數f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數。

1.分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流、展示、點評、質疑。

證明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1

∴函數f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數。 下結論

2.歸納解題步驟

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、判斷符號、下結論。

（設計意圖：初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟）

三、概念的運用（約10分鐘）

1.證明函數f（x）=x2+1在[0，+∞）上是增函數。

2.對任意的兩個變量x1，x2∈I，x11，能判斷函數f（x）在區間上是增函數嗎？

（設計意圖：通過練習1，鞏固學習效果，練習2拓展學生思維）

四、總結提高

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生共同完成小結。

（一）小結

（1）探究得到函數單調性的概念。

（2）單調性的證明方法和步驟：取值、作差、變形、判斷符號、下結論。

（3）數學思想方法：數形結合。

（二）作業

書面作業：課本第39頁，習題1.3，第1，2，3題。

選做作業：討論函數y=x+（x>0）的單調性。

五、案例點評

函數的單調性是函數的重要且基本的性質。函數的單調性從圖象角度來看，清楚、直觀，容易理解，但是用抽象的數學符號語言來刻畫，即當x1，x2∈I，x1f（x2），則f（x）在區間I上是減函數，對剛進高一的學生來說，就顯得比較抽象。本案例針對函數單調性概念的形式化定義這一難點，教師通過學生初中已接觸過的基本初等函數：一次函數、二次函數、反比例函數的圖象與性質，引入課題，為新概念的學習創設情境，一定程度上達到承上啟下的效果，為提高課堂效率打下良好基礎。從已經掌握的一些簡單函數的圖象入手，讓學生在問題情境中認識從“形”的直觀性過渡到從“數”的角度上對函數單調性的特征進行辨析。在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過概念的變式思考、概念理解的變式練習、典例“證明函數f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數”的分析加深學生對單調性這個概念的理解，突破了如何用定義進行解題這一難點，并指出學生做題中最典型并且最常見的一個錯誤（一個函數同時有兩個或以上的增〈或減〉區間要用“，”或“和”分開，不能用“∪”把各個單調區間連接起來），教師板書了規范的解答過程，師生一起總結解題的步驟。最后，通過概念的運用環節，讓學生學以致用。通過解決：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x11，能判斷函數f（x）在區間I上是增函數嗎？達到拓展提升的目的。整節課學生都能主動參與課堂，順利形成準確概念，使“單調性”順利融入學生的知識體系。

參考文獻：

[1]肖凌戇.高中數學“優效教學”的理論與實踐[M].陜西師范大學出版社，2015.

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[3]穆鎮海.如何引導學生積極參與數學學習過程[J].中學數學教與學，2015（4）：5-8.

注：廣州市教育科學“十二五”規劃2014年度課題《“121”三段四環導學課堂教學模式的構建與實踐》（1201442114）。

編輯 趙飛飛