圓的面積計算公式創新教法

江蘇淮陰師范學院附屬小學（223001） 馬乃驥

“圓的面積”是小學幾何學習的重點，它是平面線條由直線向曲線過渡的知識轉折，線條由直到曲，需要學生的思維有一些突破。理論上，曲邊形應該采用微積分知識求面積，教材采用的實驗法推導面積公式，間接滲透了極限思想。推導出圓的面積計算公式后，教材編排了兩道公式應用類習題。課后，筆者進行了后測。后測試題如下：（1）如圖1，若正方形的面積為36 cm2，則圓的面積是多少？（2）若正方形的面積為20 cm2，則圓的面積是多少？答題情況如下表。

圖1

題號 錯誤人數 總人數 出錯率 典型錯誤第（1）題 10 90 11.11%（1）r=36÷4=9 cm，3.14×92=3.14×81=254.34 cm2。（2）r=6 cm，3.14×62=3.14×12=37.68 cm2。第（2）題 75 90 83.33% r=20÷4=5 cm，3.14×52=3.14×25=78.5 cm2。

一、分析診斷

1.對面積的意義理解不夠深刻

在學習“圓的面積”之前，學生已經學過了簡單的平面幾何圖形的面積，并能夠說明白什么是面積。于是在教學“圓的面積”時筆者就沒有復習面積的概念。后測結果顯示，當正方形面積為20cm2時，學生求出正方形的邊長為5 cm，其實是將面積與周長概念混淆了。

2.對公式的推理過程不清楚

后測數據顯示，學生能順利將平方數“36”分解成6cm×6cm，求出正方形的邊長為6cm，觀察圖形可知，正方形邊長等于圓形半徑，然后根據圓的面積公式S=πr2，代入數據即可求出圓的面積。但是數據“36”變成“20”后，學生就做錯了。他們總是先求出半徑的具體數值，再代入圓的面積公式，完全沒想到能將r2作為一個整體代入公式就可求解。

3.缺乏探究經歷

教材是通過剪、切、拼、貼等將圓形分割成若干個近似的等腰三角形，然后交叉嵌入，形成一個近似的平行四邊形（或者長方形），最終利用求四邊形面積法推導出圓的面積計算公式。許多教師認為圓的面積計算公式的推導過程含有極限思想，超出小學生的認知范圍，于是只要求學生記住面積公式。用單一的方法推導公式，學生無法經歷“異中求同”的思維訓練，缺乏對面積計算公式權威性和嚴謹性的認同。

二、解決對策

1.重視情境操作，感悟“面積意義”

研究表明，通過實踐操作得到的面積概念信息是深刻、穩固而理性的。教學中，教師應設計一些操作環節，引導學生揣摩并體會圓的面積意義。

例如，在“圓的面積”一課開始，筆者設計這樣的活動：

（1）描畫，區分周長和面積

出示四個大小不一的圓形（如圖2），讓學生嘗試描繪周長和面積。學生能用繞線法來感知周長，用剪紙法來感知面積，在比較中發現，周長是線條的長度，而面積是平面展開的大小。

圖2

（2）比較、感悟面積與什么有關

面對四個不同大小的圓形，學生會在觀察和比較中思考：圓的面積大小跟圓的什么有關？在初步交流中發現，影響圓的面積大小的因素主要是直徑和半徑。在教學中，充分運用比較的方法，有助于突出引起面積大小變化的主因。

2.借助幾何直觀，聚焦“公式本質”

在探究“圓的面積”時，可利用幾何直觀充分揭示其與正方形面積的關系，并通過計算理解公式本質。

（1）感知圓與正方形面積的大小關系

呈示三個不同的正方形和一個圓（如圖3），引導學生觀察分析，判斷它們的面積大小關系。

圖3

先讓學生比較三個正方形的面積大小，通過計算，學生發現圖（b）正方形面積是圖（a）正方形面積的4倍，圖（c）正方形面積是圖（a）正方形面積的2倍。學生會感到好奇，“圖（d）圓的面積是圖（a）正方形面積的多少倍呢？”從而發現正方形面積和圓的面積有個共同部分就是1cm2。

（2）感知圓的面積與正方形面積的大小關系

先畫出一個正方形，再以正方形的頂點為圓心、邊長為半徑畫圓，估測：圓的面積與正方形面積的倍數關系。（如圖4）

圖4

從原始的“數方格”起步，作出輔助線、圓的內接正方形和外切正方形，進行轉換和間接對比，得出圓的面積約為正方形面積的2至4倍，讓學生明確：圓的面積與r2成正比，比值為圓周率。

三、探索驗證

1.于多種形式的探索中體驗轉化思想

可直接要求學生用割補法將圓形轉化為已經學過的幾何圖形，以小組為單位合作探究圓的面積計算公式。由于圓的大小以及分割的份數不一樣，學生得到了多種多樣的方案。學生通過觀察實踐，發現可以將圓形轉化為近似的長方形，分得越精細，越接近長方形，再通過轉化前后的對比，發現了變化量和恒等量，從而推導出圓的面積計算公式。

2.以不同的推演方案驗證公式的可信度

教材只提供了“轉化為長方形”這一種轉化模式。為了追求多樣性，筆者引導學生求異求變：“以平分成16份為例，除了長方形，還可以拼接成什么圖形？能利用新圖形推導圓的面積計算公式嗎？”

學生通過將圓轉化成三角形、梯形（如圖5），從不同角度推導出了圓的面積計算公式，經歷不同的推導過程后，轉化思想得以培養。

圖5

站得高才能看得遠。一切嘗試得出的結果只有經過多番證明，才顯得真實可靠。正是因為有了前面正方形的引領，后面的多樣性重組法才有了堅固的理論根基。

綜上，圓的面積計算公式推導是幾何教學中的重要內容。只有創新教學方法，讓學生通過觀察、拼接等探究方法，將面積計算公式盤活，并能融會貫通、運用自如，才能有效解決面積計算問題。