一種新弱化緩沖算子的構造

韓然

(中國傳媒大學理工學部，北京100024)

1 引言

灰色系統的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題.因此充分開發利用已占有的信息來挖掘系統本身固有的規律是灰色系統理論的基本準則.我們可以通過社會，經濟，生態等系統的行為特征數據來尋求因素之間或自身的變化規律.灰色系統理論認為，盡管客觀系統的表象復雜，數據離亂.但它們總有自身的整體功能，必然蘊藏某種內在的規律.關鍵是如何選擇適當的方法來挖掘和利用它.在文獻[1，4，5，7]中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構造出一種得到較廣泛應用的弱化緩沖算子.本文在他們的工作的基礎上，又構造出二類新弱化緩沖算子.從而推廣了緩沖算子的類型.

2 基本概念

定義2.1 設系統數據序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調增長序列.

(2)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調衰減序列.

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，

則稱X為振蕩序列.其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱M-m為振蕩序列X的振幅.

定義2.2 設X為系統數據序列，D為作用于X的算子，X經算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱D為序列算子.

對序列連續作用，可得二階算子，一直可以作用到階算子，分別記為XD2，…，XDr.

公理2.1[4](不動點公理)設X為系統數據序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n).

公理2.2[4](信息充分利用公理)系統數據序列X中的每一個數據x(k)(k=1，2，…，n)，都應充分地參與算子作用的整個過程.

公理2.3[4](解析化與規范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個統一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達式表達.

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子.XD稱為緩沖序列.

定義2.3[5]設X為系統行為數據序列，D為序列算子，當X當X為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，則稱緩沖算子D為弱化緩沖算子.

定理1[5]

(1)設X為單調增長序列，XD為緩沖序列，則

D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d.(k=1，2，…，n)

(2)設X為單調衰減序列，XD為緩沖序列，則

D為弱化緩沖算子?x(k)≥x(k)d.(k=1，2，…，n)

(3)設X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為弱化緩沖算子，則

max1≤k≤nx(k)≥max1≤k≤n{x(k)d}，

min1≤k≤nx(k)≤min1≤k≤n{x(k)d}

由定理2.1可知，單調增長序列在弱化緩沖算子作用下，數據膨脹；單調衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數據萎縮.

3 弱化緩沖算子的構造

劉思峰，黨耀國等教授在其專著[2]中構造了下列弱化緩沖算子，設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統行為數據序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2

(1)

(2)

(k=1，2，…，n)，

則當X為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，D1，D2皆為弱化緩沖算子.

在此，我們在弱化緩沖算子D1，D2基礎上，利用插值函數理論構建新的弱化緩沖算子.

定理2設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統數據序列，且D為弱化緩沖算子. 將

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n組數據，構造插值函數f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是單調遞增函數. 若E為任一弱化緩沖算子.

(3)

令XG=(x(1)g，…x(n)g)

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，G為弱化緩沖算子.

證明：容易驗證

x(n)g

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，，

即G滿足緩沖算子公理一.

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而G為緩沖算子.

下證當：

(1)X為單調增長序列時，因為

0

E為弱化緩沖算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是單調遞增函數，

f(x(k))≤f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D為弱化緩沖算子，則x(k)≤x(k)d

x(k)≤

即x(k)≤x(k)g；

所以G為弱化緩沖算子.

(2)X為單調衰減序列時，因為

x(k)≥…≥x(n)>0，，

E為弱化緩沖算子，

x(k)≥x(k)e；

又f是單調遞增函數，

f(x(k))≥f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D為弱化緩沖算子，則x(k)≥x(k)d

x(k)≥

即x(k)≥x(k)g；

所以G為弱化緩沖算子.

(3)當X為振蕩序列時，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

對任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(h)≤x(i)，…，x(n)，

由于E為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是單調遞增函數，

x(k)d=f(x(k))

x(h)d=f(x(h))

又D為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(h)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))≥

x(h)≤x(h)d=f(x(h))

則

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)g}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)g}

故G為弱化緩沖算子.

定理3設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統數據序列，且D為弱化緩沖算子. 將

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n組數據，構造插值函數f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是單調遞增函數，且f>0.

若E為任一弱化緩沖算子.

wi>0，.權重向量為w=(w1，…，wn)，. 其中

x(k)h=[fwk(x(k)e)×…

令XH=(x(1)h，…x(n)h)

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，H為弱化緩沖算子

證明：容易驗證

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，

即H滿足緩沖算子公理一.

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而H為緩沖算子.

下證當：

(1)X為單調增長序列時，因為0

E為弱化緩沖算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是單調遞增函數，

0

得

0<

又D為弱化緩沖算子，則0≤x(k)≤x(k)d

0

所以H為弱化緩沖算子.

(2)X為單調衰減序列時，因為x(k)≥…≥x(n)>0，，得

E為弱化緩沖算子，

x(k)≥x(k)e≥0；

又f是單調遞增函數，

0

得

>0

又D為弱化緩沖算子，則x(k)≥x(k)d≥0

x(k)≥

≥0

所以H為弱化緩沖算子.

所以H為弱化緩沖算子.

(3)當X為振蕩序列時，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(l)=min1≤i≤nx(i)，

對任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(l)≤x(i)，…，x(n)，

由于E為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是單調遞增函數，

x(k)d=f(x(k))

x(l)d=f(x(l))

又D為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(l)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))

x(l)≤x(l)d=f(x(l))

則

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)h}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)h}

故H為弱化緩沖算子.

4 結語

在緩沖算子的構造過程中，以前都是一個一個去構造.而我們是首次將緩沖算子的構造與插值函數聯系起來，一次構造一大類緩沖算子.為解決擾動數據序列的建模提供了多種選擇.開辟了如何利用插值函數來構造緩沖算子的新方向，進一步研究正在進行中.