注重數據處理分析 決勝考題能力培養
——解讀2018年概率與統計部分的考試大綱

廣東 顏堅真

2018年高考數學考試大綱已公布，與2017年數學考試大綱相比，2018年高考數學考試大綱在考核目標、考試范圍與要求等方面都沒有變動.無論是知識內容及其要求的三個層次(了解、理解、掌握)，還是能力(空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力、應用意識和創新意識)要求、個性品質要求和考查要求都沒有變化.這說明2018年高考數學學科的命題仍然保持相對的穩定.下面對2018年考綱在概率與統計部分進行綜合解讀.

一、考綱解讀

概率與統計作為高考的必考內容，在2018年的高考中預計仍會以“一小一大”的格局呈現. 對于概率部分，選擇題或填空題中概率求值是高考命題的熱點，以古典概型或幾何概型為主，考查隨機事件的概率；解答題中則常與統計知識相結合，考查離散型隨機變量的分布列與期望，需注意知識的靈活運用.對于統計部分，選擇題、填空題中以考查抽樣方法和用樣本估計總體為主，兼顧兩個變量的線性相關；解答題中則重點考查求回歸直線方程及獨立性檢驗.本部分著重考查學生數據處理能力和應用意識，所以，在備考策略上，概率與統計的解答題，應該先設事件，然后寫出使用公式的理由，當然要注意步驟的多少決定解答的詳略，注重看懂圖表中的數據，并會處理分析，培養學生的審題能力.

二、真題呈現

(2017·全國卷Ⅰ理·19)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ,σ2)．

(Ⅰ)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；

(Ⅱ)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

(ⅰ)試說明上述監控生產過程方法的合理性；

(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

三、考題特點

1.數學語言豐富，閱讀量大，共計19行文字(官方發布的試卷來統計).

2.考查知識全面：既有概率又有統計，既有數據又有分布.

(1)正態分布及其概率求法;

(2)二項分布的判定及其數學期望的求法;

(3)正態分布的3σ原則;

(4)數據平均數與方差的計算公式;

(5)數據的剔除;

(6)參數的處理.

四、考情分析

1.考生的心態分析

(1)心里一涼;

(2)閱讀緊張;

(3)回讀頻繁.

2.考生的知識儲備分析

(1)數據平均數與方差的計算公式沒有問題;

(2)正態分布的簡單應用沒有問題;

(3)正態分布的3σ原則理解與應用有問題;

(4)附加參考公式和參考數據的應用有問題.

3.考生能力分析

(1)閱讀能力不足;

(2)計算能力差;

(3)數據處理能力欠缺.

五、尋根溯源

源頭一:考試大綱

《2017年全國統一考試大綱的說明》關于概率統計在生產生活中的闡述：

在工業生產中，零件產品質量的監控和管理是極為重要的環節，運用合理的方法抽檢零件產品的質量指標，進而分析和處理質量指標數據以達到了解零件產品質量狀況以及監控生產過程之目的，這其中需要大量運用統計與概率的知識和方法.利用正態分布擬合零件產品質量指標繼而進行更加深入的分析也是常用的方法.本題以零件產品質量指標數據為背景，設計概率與統計、正態分布問題.這不僅對提高考生進一步學習統計與概率知識的興趣能起著積極作用，也讓考生體會到正態分布就在我們身邊.試題考查的統計與概率知識較豐富，符合考試大綱的要求.

源頭二：歷年真題

(2014·全國卷Ⅰ理·18)從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

(ⅰ)利用該正態分布，求P(187.8

(ⅱ)某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間(187.8,212.2)的產品件數，利用(ⅰ)的結果，求EX.

若Z～N(μ,σ2)，則P(μ-σ

源頭三：教材背景

1.教材必修三(北師大第68頁)章節小結對統計學習的闡述： 統計的學習，本質上是統計活動的學習，而不是概念和公式的學習，要特別注重統計的過程，即經歷“收集數據——整理數據——分析數據——作出推斷”的全過程.統計學習的要點是“做”而不是記憶和運算……感受統計的意義和價值，發展初步的統計觀念，培養統計意識……在統計活動中真正理解統計對決策的作用.

教材必修三(人教版第79頁)“閱讀與思考”對生產過程中的質量控制圖的論述：在現實生活中，有一些總體(如某地區同齡兒童的身高、體重等)的分布的密度曲線是由它的平均值μ與標準差σ完全確定的(圖1～圖3)，我們把這種分布記作N(μ,σ2)，稱為平均數為μ，方差為σ2的正態分布.

圖1 圖2 圖3

從密度曲線圖可以測量出這個總體在(μ-σ,μ+σ)，(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)等區間內取值的百分比是：

區間取值的百分比(μ-σ,μ+σ)68.3%(μ-2σ,μ+2σ)95.4%(μ-3σ,μ+3σ)99.7%

2.本題的第Ⅱ問(ⅰ)的回答可以用人教版必修三第 80頁的原話回答：

上述總體分布在產品質量控制中的應用是非常廣泛的.例如，工人生產零件時，零件尺寸一般服從N(μ,σ2)分布.這樣，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的只有0.3%，它表明在大量重復試驗中，平均每抽取1 000個零件，屬于這個范圍以外的尺寸大約有3個.因此在一批產品中隨機抽取一個零件，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外是幾乎不可能發生的.一旦這種情況發生，即零件尺寸x滿足 |x-μ|≥3σ，我們就有理由認為生產中可能出現了異常情況.比如，可能原料、機器出了問題，或工藝規程不完善，或工人操作時精力不集中等.這種情況下，需要停機檢查，找出原因，使生產過程重新控制在一種正常狀態，從而避免繼續生產更多的次品，以保證產品質量.

3.本題的第Ⅱ問(ⅰ)的回答也可以用北師大版選修2-3第 65頁的原話回答：

從上面的結論中可以看到，隨機變量服從正態分布，則它在區間(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有4.6%，而在區間(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%，由于這些概率值很小，通常稱這些情況發生為小概率事件.也就是說，通常認為這些情況在一次試驗中幾乎不可能發生.

六、審題解答

【解析】(Ⅰ)由題可知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之內的概率為0.997 4，則落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率為0.002 6.

所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.

由題可知X～B(16,0.002 6),

由二項分布的性質，得E(X)=16×0.002 6=0.041 6.

(Ⅱ)(ⅰ)尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.002 6 ，由正態分布知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外為小概率事件，因此，上述監控生產過程的方法合理.

≈0.09.

七、考題預測

1.近六年的概率與統計考題分析

年份201220132014201520162017題號第18題第19題第18題第19題第19題第19題題型概率概率統計概率統計概率統計概率問題分布列、期望、方差概率、分布列、期望、方差均值、方差、正態分布擬合回歸方程分布列、最值正態分布概率、期望均值、方差創新點選擇理由檢驗標準正態分布回歸選擇選擇理由合理剔除

2.2018年考題考點預測

按照近六年的概率統計考題的考點分布情況，對2018年考題考點預測為：考查統計中對數據處理分析的可能性大，但不像2017年作為壓軸題型出現，難度有所降低.

八、備考建議

通過以上對2018年考綱的解讀及2017年真題的分析，提出2018年高考理科數學在概率與統計部分的三點備考建議：

1.考綱對基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求是對能力要求的強調，因此，可以說加強從教材習題出發，兼顧綜合，體現應用，進行微創新是2018年高考命題的基本方向.

2.應用意識體現在數學的應用功能，在概率與統計知識背景下命制應用性試題，備考時應重點關注.

3.2017年高考試題中，出現一些立意新、情境新、設問新的試題.此類試題新穎、靈活，難度不大，廣泛而又有科學尺度，考查考生的數學創新意識和創新能力，把此類題稱為創新試題.在概率與統計部分，要注意它的創新性，注重對數據處理分析、附加參考公式的應用和參考數據的使用等.

在這些備考建議中，培養考生相應的能力就是備考的要求.

(1)閱讀理解能力：訓練在課堂;

(2)臨場心態能力：訓練在月考;

(3)數據處理能力：訓練在練習;

(4)創新應用能力：訓練在課外;

(5)先易后難答卷意識：訓練在考卷;