邏輯推理試題探析

廣東 溫伙其

邏輯推理，是最新一輪課改六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一. 縱觀人教A版高中數(shù)學教材，邏輯推理在各個章節(jié)的教學過程中無處不在，并且在選修2-2第2章《推理與證明》中進行了詳細介紹.回顧全國卷，從2014年開始，每年都出現(xiàn)考查邏輯推理問題的試題. 本文從教材對邏輯推理的分類及其特點出發(fā)，結(jié)合近年高考試題，探究邏輯推理問題的解題策略，并對2018年可能考查的方向做了預測，供各位讀者參考.

一、教材溯源

人教A版教材選修2-2第2章《推理與證明》中詳細介紹了以下概念：

推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程.

歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理.它的特點為由部分到整體、由個別到一般.

類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理. 它的特點為由特殊到特殊.

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理.

演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論. 它的特點為由一般到特殊.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括:(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.

二、考題追蹤

近年來，不論全國考卷還是各地考卷，都逐步出現(xiàn)考查邏輯推理的試題，并且有越來越重視的趨勢.

【例1】(2017·全國卷Ⅱ理·7)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則

( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

答案：D

【例2】(2016·全國卷Ⅱ理·15)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是__________.

答案：1和3

【例3】(2014·全國卷Ⅰ理·14)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為__________.

答案：A

三、解題策略探究

1.數(shù)、式、圖的歸納推理

解決此類邏輯推理問題，需要細心觀察，尋找相鄰項與項和序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推關(guān)系式、平方數(shù)、立方數(shù)、(10)n-1數(shù)、2n數(shù)、(-1)n符號法則、周期等；圖形的歸納推理包含數(shù)量問題、三視圖、二次曲線圖形、空間幾何體等，推理時一般把圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)或式，關(guān)鍵抓住相鄰圖形之間的關(guān)系.

解題策略一般為：

(1)涉及數(shù)字特征的推理：觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律和符號即可解題；

(2)涉及不等式關(guān)系的推理：觀察不等式的特點，注意是縱向看，尋找規(guī)律；

(3)涉及數(shù)列問題的推理：一般求出幾個特殊的項，采用不完全歸納法，找出項與項數(shù)的關(guān)系；

(4)涉及圖形變化的推理：利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證真假性.

2.類比推理

常見的類比情形有平面與空間類比、低維與高維類比、等差與等比類比、數(shù)的運算與向量數(shù)量積運算的類比、圓錐曲線間的類比等.

類比推理的一般步驟是：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).

以下以圓與球為例進行平面與空間的類比推理.

3.命題的邏輯推理

此類推理一般有“都”“或”“且”“不”“至多”“至少”“任意”“存在”等字詞，解決辦法為回歸命題思想，間接通過逆否命題、命題的否定、全稱命題和特稱命題進行等價解題.

命題類推理一般用到的方法有：

(1)要判斷命題為真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明，而判斷它為假命題，只需舉出一個反例即可；

(2)原命題和它的逆否命題真假性相同，所以可以利用這種等價性間接地證明命題的真假；

(3)原命題和命題的否定真假總是相對立的，即一真一假；

(4)全稱、特稱命題，若其真假性不容易正面判斷時，可以先判斷其否定命題的真假.

結(jié)合上述策略，對本文考題追蹤進行分析.

【例1】只要掌握關(guān)鍵：四人所知只有自己看到、老師所說及最后甲說話，題目即轉(zhuǎn)化為以下四個事件.

步驟事件原因結(jié)論事件1老師的回答你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好四人中有2位優(yōu)秀,2位良好事件2甲看乙、丙的成績四人中有2位優(yōu),2位良,且甲不知道自己成績1.乙、丙的成績:1優(yōu)1良2.甲、丁的成績:1優(yōu)1良事件3乙看丙的成績乙、丙的成績:1優(yōu)1良3.乙知道自己成績事件4丁看甲的成績甲、丁的成績:1優(yōu)1良4.丁知道自己成績

故選D.

整整一下午，我都跟馬蘭在討論李老黑為什么非要把閨女嫁給我的問題，但我們同樣一無所獲。這件事實在太蹊蹺，太沒頭沒腦了，以我倆的智商，無論如何都想象不到其中的原因。想不到就想不到吧，這也不打緊，問題是下一步我如何應付李老黑。硬扛著肯定不行，李老黑可是什么手段都使得出來。順從更不行，馬蘭怎么辦，再說我要真娶了李金枝，就她那個霸道脾氣，那還不是請來一位奶奶。說實話，我寧肯八輩子打光棍都不愿娶這樣的女人。

【例2】丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙有以下兩種情況：①丙的卡片上的數(shù)字為1和2，此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3，滿足題意；②丙的卡片上的數(shù)字為1和3，此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3，和已知矛盾，不合題意. 所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.

【例3】由三人去過同一個城市，且甲沒去過B城市，乙沒去過C城市可知，三人去過的同一個城市為A.

以上考題的解決，關(guān)鍵是從命題的否定出發(fā)，找到原命題為真時包含的情況，再進行下一步的推理驗證. 在推理過程中不妨多嘗試假設法、排除法、列表法和分類討論法，以達到解決問題的目的.

4.不等關(guān)系的邏輯推理

題目條件中常有“多于”“小于”“不大于”“不低于”等字詞，此類邏輯推理，只要把涉及不等關(guān)系的字詞轉(zhuǎn)化為數(shù)學不等式(組)，即可解題.

【例4】(2017·北京卷文·14)某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：

(ⅰ)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；

(ⅱ)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(ⅲ)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4，則女學生人數(shù)的最大值為 ；

②該小組人數(shù)的最小值為__________.

分析：設男學生人數(shù)、女學生人數(shù)、教師人數(shù)分別為a,b,c.根據(jù)題意可列下表.

條件對應不等式綜上得男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)a>b女學生人數(shù)多于教師人數(shù)b>c教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)2c>a2c>a>b>c,a,b,c∈N*

所以第一小問：8>a>b>4?bmax=6.

第二小問：cmin=3,6>a>b>3?b=4,此時a=5,則a+b+c=12.

四、考題預測

1.來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起，他們除懂本國語言外，每人還會說其他三國語言的一種，有一種語言是三人都會說的，但沒有一種語言人人都懂，現(xiàn)知道：

①甲是日本人，丁不會說日語，但他倆能自由交談；

②四人中沒有一個人既能用日語交談，又能用法語交談；

③甲、乙、丙、丁交談時，找不到共同語言溝通；

④乙不會說英語，當甲與丙交談時，他都能做翻譯.針對他們懂的語言.

正確的推理是

( )

A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英

C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德

D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英

2.若函數(shù)式f(n)表示n2+1(n∈N*)的各位上的數(shù)字之和，如142+1=197，1+9+7=17所以f(14)=17，記f1(n)=f(n)，f2(n)=f[f1(n)]，…，fk+1(n)=f[fk(n)]，k∈N*.則f2018(17)=__________.

3.某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，則預計到第6年樹的分枝數(shù)為

( )

A.5 B.6 C.7 D.8

【參考解答】

1.解：此題可直接觀察選項用排除法得出正確答案，首先丁不會說日語，故排除B；然后根據(jù)第二條規(guī)則，日語和法語不能同時由一個人說，且乙不會說英語，故排除D；最后，四人沒有共同語言，故排除C；再將A代入題干驗證，符合條件，故選A.

2.解：由172+1=290?f(17)=2+9+0=11，

112+1=122?f(11)=1+2+2=5，

52+1=26?f(5)=8,

82+1=65?f(8)=11,

112+1=122?f(11)=5,

以此類推，fn(17)是從第一項起以3為周期的循環(huán)數(shù)列，又2 018÷3的余數(shù)為2，故f2018(17)=f2(17)=f(11)=5. 故答案為5.

3.解：由題意得，這種樹從第一年開始的分枝數(shù)分別是1，1，2，3，5，…，則2=1+1，3=1+2，5=2+3，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第6年樹的分枝數(shù)是3+5=8，故選D.

4.解：根據(jù)橢圓離心率的說法可以寫出推理的前提，

平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點A(-c，0)和C(c，0)，

雙曲線的離心率是e.