全國卷Ⅰ導數命題熱點深度分析

湖北 張金娥 廖慶偉

函數與導數在高考試卷中形式新穎且呈現出多樣性，涵蓋了選擇題、填空題及解答題.客觀題主要以考查函數的基本性質、函數圖象及變換、函數零點、導數的幾何意義、定積分等為主，也曾與不等式等知識綜合考查；解答題主要是以導數為工具解決函數、方程、不等式等應用問題.

其命題特點包含了以下多個角度.

①全方位：題型全，雖然高考不強調知識點的覆蓋率，但函數知識點的覆蓋率依然沒有減小.

②多層次：低檔題、中檔題、高檔題層次分明，從題序中就能判斷出來.

③巧綜合：突出函數在中學數學中的主體地位，強化了函數與其他知識的滲透，加大了以函數為載體的多種方法、多種能力(包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度.

④變角度：函數應用題、探索題、開放題和信息題的考查，使函數考題新穎、生動、靈活.

⑤重能力：以導數為背景與其他知識(如函數、方程、不等式、數列等)交匯命題，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和數學素養.

考點透視1 導數的幾何意義

導數的幾何意義把函數的導數與曲線的切線聯系在一起，利用導數的幾何意義破解曲線的切線問題屬于高考的高頻考點. 2017年高考題中考查在某點的切線方程的有：全國卷Ⅰ文第14題、全國卷Ⅲ文第20(Ⅰ)題、北京卷文第20(Ⅰ)題、北京卷理第19(Ⅰ)題、山東卷理第20(Ⅰ)題、天津卷文第10題，第19(Ⅱ)題.

【解題技巧】求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切線的斜率.

求曲線切線方程的一般流程：

【跟蹤練習】

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考點透視2 函數的單調性

函數的單調性是函數在定義域內局部的性質，因此利用導數研究函數的單調性要先考慮函數的定義域，再利用導數在定義域內的符號來判斷函數的單調性，某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果能挖掘其內在聯系，抓住其本質，運用函數的單調性解題，就能起到化難為易、化繁為簡的作用.利用導數破解函數的單調性屬于高考高頻考點和熱點.

2017年高考題中考查討論函數單調性的問題有：全國卷Ⅰ文第21(Ⅰ)題、全國卷Ⅱ文第21(Ⅰ)題、全國卷Ⅲ文第21(Ⅰ)題、天津卷文第19(Ⅰ)題、全國卷Ⅰ理第21(Ⅰ)題、山東卷理第20(Ⅱ)題、天津卷理第20(Ⅰ)題、全國卷Ⅲ理第21(Ⅰ)題.

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解法二：①當t=0時，不等式恒成立；

【解題技巧】已知函數單調性，求參數范圍的兩個方法:

①利用集合間的包含關系處理：y=f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集.

②轉化為不等式的恒成立問題：即“若函數f(x)單調遞增，則f′(x)≥0；若函數f(x)單調遞減，則f′(x)≤0”.

f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內的任一非空子區間上f′(x)≠0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.

導數法求函數f(x)的單調區間的一般流程：

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例3.(2017·全國卷Ⅰ理·21節選)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R).討論f(x)的單調性.

【解析】由已知得f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減.

②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.

當x∈(-∞,-lna)時，f′(x)<0；當x∈(-lna,+∞)時，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減，在(-lna,+∞)上單調遞增.

綜上，當a≤0時，f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減，在(-lna,+∞)上單調遞增.

【解題技巧】用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間.在對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等于0的點外，還要注意定義區間內的間斷點.用導數求函數的單調區間，突破口是討論導數的符號.注意：區間的端點可以屬于單調區間，也可以不屬于單調區間，對結論沒有影響.寫單調區間時，不要使用符號“∪”，可以用“，”“和”分開各區間，原因是各單調區間用“∪”連接的條件是在合并后的區間內函數單調性依然成立.要特別注意的是，涉及含參數的單調性或單調區間的問題，一定要弄清參數對導數f′(x)在某一區間內的符號是否有影響.若有影響，則必須分類討論.

【跟蹤練習】設函數f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.討論函數f(x)的單調區間.

①當a≥0時，對任意x>0，f′(x)>0，

所以函數f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).

考點透視3 函數的極值與最值

用導數研究函數的極值與最值是高考命題的重要考點.2017年高考題中考查求函數的極值、最值的有：山東卷文第20(Ⅱ)題、北京卷文第20(Ⅱ)題、山東卷理第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ理第11題、第21(Ⅱ)題.2017年高考題中考查求參數的取值范圍的有：江蘇卷第11題.

例4.(2005·全國卷Ⅰ文·3)函數f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3時取得極值，則a=

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A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】將函數f(x)求導得f′(x)=3x2+2ax+3，

因為函數f(x)在x=-3時取得極值，所以f′(-3)=3×(-3)2+2a×(-3)+3=0，即a=5，故選D.

【解題技巧】可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，即f′(x0)=0是可導函數f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.利用導數研究函數極值的一般流程：

【跟蹤練習】已知函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是________.

【解析】因為函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，

所以f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)有兩個極值點，

即方程3x2+6ax+3(a+2)=0有兩個不同的實數根，

所以Δ=36a2-4×3×3(a+2)>0，解得a<-1或a>2.

故實數a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).

例5.(2011·全國卷Ⅰ文·21)已知函數f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，a∈R.

(Ⅰ)證明：曲線y=f(x)在x=0處的切線過點(2,2)；

(Ⅱ)若f(x)在x=x0處取得最小值，x0∈(1,3),求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，所以f′(x)=3x2+6ax+3-6a，

所以f′(0)=3-6a，即f(x)在x=0處的切線的斜率k=3-6a，

又f(0)=12a-4，所以曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-(12a-4)=(3-6a)(x-0)，

即(3-6a)x-y+12a-4=0，令x=2，則y=2(3-6a)+12a-4=2，

所以曲線y=f(x)在x=0處的切線過點(2,2).

(Ⅱ)由f′(x)=0得x2+2ax+1-2a=0.

【解題技巧】在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.若函數f(x)在[a,b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a,b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值.函數最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念.

【跟蹤練習】已知函數f(x)=xlnx.則f(x)在區間[t,t+2](t>0)上的最小值為__________.

【解析】函數f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=lnx+1，

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x0,1e 1e1e,+∞ f'(x)-0+f(x)單調遞減極小值單調遞增

考點透視4 與函數零點有關的問題

用導數研究函數的零點問題是高考命題的熱點.2017年高考題中考查函數零點求參數的值或取值范圍的有：全國卷Ⅲ文第12題、全國卷Ⅰ理第21(Ⅱ)題、全國卷Ⅲ理第11題.

例6.(2014·全國卷Ⅰ理·11)已知函數f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是

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A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

所以實數a的取值范圍是(-∞,-2),故選C.

解法二：因為f′(x)=3ax2-6x，當a=3時，f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2)，

不符合題意，排除A，B；

不符合題意，排除D，故選C.

【解題技巧】已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法：

①直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.

②分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.

③數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解.

【跟蹤練習】函數y=ex-mx在區間(0,3]上有兩個零點，則實數m的取值范圍是________.

例7.(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a),

①設a=0,則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點,

②設a>0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0；當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0,

所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,

故f(x)存在兩個零點.

③設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點.

因此f(x)在(1,ln(-2a))上單調遞減，在(ln(-2a),+∞)上單調遞增.又當x≤1時,f(x)<0，

所以f(x)不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)不妨設x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則g′(x)=(x-1)·(e2-x-ex).

所以當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0.

從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

【解題技巧】對于含有參數函數的單調性、極值、零點問題，通常要根據參數進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；解決函數不等式的證明問題的思路是構造適當的函數，利用導數研究函數的單調性或極值.

考點透視5 函數圖象問題

函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性.歸納起來圖象的應用常見的命題角度有：研究函數的性質；確定方程根的個數；求參數的取值范圍；求不等式的解集.

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【解析】因為y=f(x)的定義域為{x|x>-1且x≠0}，排除D；

所以當x∈(-1,0)時，f′(x)<0，即y=f(x)在(-1,0)上是減函數；

當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，即y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.排除A，C，故選B.

【解題技巧】函數圖象的識辨可從以下方面入手：

①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；

②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

④從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；

⑤從函數的特征點，排除不符合要求的圖象.

【跟蹤練習】設函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若函數y=f(x)ex在x=-1處取得極值，則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象是

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【解析】由y=f(x)ex=ex(ax2+bx+c)可得y′=ex[ax2+(b+2a)x+b+c]，

當x=-1時，函數y=f(x)ex取得極值，所以-1是方程ax2+(b+2a)x+b+c=0的一個根，

所以a-(b+2a)+b+c=0，即c=a，所以函數f(x)=ax2+bx+a，

由此得函數f(x)相應方程f(x)=ax2+bx+a=0兩根之積為1，對照四個選項，D不成立，故選D.

考點透視6 恒成立(或存在性)問題

以函數為背景用導數研究恒成立問題是高考命題的高頻考點.常常與其他知識(如函數、方程、不等式、數列等)交匯命題.利用導數解決相關問題，是命題的熱點，而且不斷豐富創新.解決該類問題要注意函數與方程、轉化與化歸、分類討論等數學思想的應用.

2017年高考題中考查由不等式恒成立求參數的取值范圍的有：全國卷Ⅰ文第21(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ文第21(Ⅱ)題、天津卷文第19(Ⅱ)題、江蘇卷第11題.

2017年高考題中考查不等式證明的有：天津卷理第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅱ理第21(Ⅱ)題、江蘇卷第20(Ⅱ)題、全國卷Ⅲ文第21(Ⅱ)題.

(Ⅰ)設a>0，討論y=f(x)的單調性；

(Ⅱ)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求實數a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞).

所以令f′(x)>0，即ax2+(2-a)>0，

①當00，解得x∈(-∞,1)，(1,+∞)，

所以f(x)在(-∞,1)，(1,+∞)上單調遞增.

(Ⅱ)(ⅰ)當0f(0)=1;

綜上當且僅當a∈(-∞,2]時，對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

【解題技巧】本題通過作差構造函數，分析其單調性、最值，得出函數值恒大于或小于0，使問題得證.對于恒成立問題，其根本思想是 “轉化”，而轉化有兩種方法：分離參數法和不分離參數法，對于不等式試驗區間端點值成立的情形，一般采用不分離參數法，相比分離參數法操作簡單，可以視不同情形，選擇不同的方法.

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A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,+∞)

C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)

當a<0時，f′(x)>0，f(x)在x>0上單調遞增，當x趨近于0時,f(x)不恒大于0，不成立，

當a>0時，f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，+∞)上單調遞增，

所以f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna)，

g(a)min=g(1)=0，故當a>0且a≠1時，f(x)>0，

綜上，a的取值范圍是[0,1)∪(1,+∞)，故選A.

(Ⅰ)求b；

【解題技巧】含有字母時，常需要分類討論，分類時要做到不重不漏.存在性不等式問題常用的解題技巧：

若存在x1∈[a,b]，對于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)min.

若存在x1∈[a,b]，對于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，總存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，總存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)min.

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【解析】由題意知，函數f(x)表示動點M(x,2lnx)和動點N(a,2a)間的距離的平方，其中動點M(x,2lnx)在函數y=2lnx的圖象上，動點N(a,2a)在直線y=2x上，

問題可轉化為求直線y=2x上的動點到曲線y=2lnx的最小距離，

此時點N(a,2a)恰好為垂足，

依據考試大綱說明，深度分析命題規律，結合高考命題信息，預測2018年高考對有關函數的綜合題的考查，重在對函數與導數知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式、數列、解析幾何等相關知識的相互聯系，要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析問題能力以及較強的運算能力，體現以函數為載體，多種能力同時考查的命題思想.

1.定義在R上的函數f(x)的導函數為f′(x)，若對任意實數x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2 018為奇函數，則不等式f(x)+2 018ex<0的解集是

( )

A.(-∞,0) B.(0,+∞)

由于f(x)+2 018為奇函數，所以f(0)=-2 018，g(0)=-2 018，

所以不等式f(x)+2 018ex<0的解集是(0,+∞)，故選B.

2.已知函數f(x)=2x+alnx(a∈R).

(Ⅰ)f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x-2y+4=0平行，求a的值；

即(4+a)x-2y-2a+2aln2=0，

因為f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x-2y+4=0平行，

所以4+a=1，解得a=-3.

當a≤e時，因為x≥1,ex-a≥0，g′(x)≥0，g(x)在(1,+∞)上是增函數，

所以當x≥1時，g(x)≥g(1)=e-a≥0，符合.

當a>e，x>lna時，g′(x)>0，當1

所以g(x)在(lna,+∞)上是增函數，在(1,lna)上是減函數，

當1

綜上所述，實數a的取值范圍為(-∞,e].

(Ⅰ)若函數f(x)在(1,+∞)上為減函數，求實數a的最小值；

(Ⅱ)若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求實數a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)由已知得x>0，x≠1.

(Ⅱ)命題“若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等價于“當x∈[e,e2]時，f(x)min≤f′(x)max+a”，

(ⅰ)當-a≥0，即a≤0時，f′(x)≥0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上為增函數，

存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x)=0，且滿足：

當x∈(e,x0)時，f′(x)<0，f(x)為減函數；當x∈(x0,e2)時，f′(x)>0，f(x)為增函數；