試題創(chuàng)新編擬的幾種途徑

四川 蔡勇全

近年來，在《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》將促進(jìn)公平作為國家的基本教育政策的背景下，為惠及教育民生，彰顯教育公平，高考作為目前最權(quán)威、影響最廣泛的招生機(jī)制，在保持連續(xù)性與穩(wěn)定性的前提下，一直在加快命題改革的步伐，其中一個顯著標(biāo)志就是編擬設(shè)置了大量“情境的創(chuàng)設(shè)新穎、題型的構(gòu)成新穎、提問的方式新穎、題目的立意新穎、背景的形式新穎”等創(chuàng)新型試題，此類試題以基礎(chǔ)知識的靈活運用、數(shù)學(xué)思想與方法、探究和應(yīng)用意識、繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力等立意，注重從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識層面考查“交匯性”和“深度性”、從數(shù)學(xué)思想方法層面考查“靈活性”、從常規(guī)常見層面考查“新穎性”，旨在考查學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)造性思維能力，甄別考生未來進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力.本文在認(rèn)真分析研究近些年高考中創(chuàng)新型試題的基礎(chǔ)上，結(jié)合命題技術(shù)，提出試題創(chuàng)新編擬的幾種途徑，以期對高中數(shù)學(xué)教學(xué)或復(fù)習(xí)備考有所幫助.

1 猜想構(gòu)造

歷史上許多難題的解決、學(xué)科的重大發(fā)現(xiàn)、科學(xué)技術(shù)的發(fā)明與創(chuàng)造，無不反映了科學(xué)家們大膽的創(chuàng)新精神，而猜想與構(gòu)造正是創(chuàng)新的基石，為創(chuàng)造性成果的誕生發(fā)揮著不可估量的推動作用.受此啟發(fā)，猜想與構(gòu)造也常常被拿來用作編擬創(chuàng)新型試題.

從“類比猜想”視角設(shè)計創(chuàng)新型試題，主要是在一維與二維、二維與三維、三維與n維之間進(jìn)行類比設(shè)計，首先要找到從一維出發(fā)到二維、從二維出發(fā)到三維、從三維出發(fā)到n維的前后共同點，即“可類比點”(否則就有為類比而類比甚至生搬硬套之嫌)，再以此共同點為線索進(jìn)行設(shè)計.至于所設(shè)計試題的猜想結(jié)果的真實性，就需要在題外進(jìn)行嚴(yán)密的推理論證.

案例2在兩千多年前的古希臘，數(shù)學(xué)家們時常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們在沙灘上用小石子或畫點來表示數(shù)字，按照小石子或點排列出的形狀對數(shù)字進(jìn)行分類，如圖所示的實心點個數(shù)依次為1，5，12，22,…，這些數(shù)被稱為五角形數(shù)，這些五角形數(shù)依次記為a1=1，a2=5，a3=12，a4=22，…，按此規(guī)律，(1)a5= ；(2)若an=117，則n=__________.

【答案】(1)35；(2)9

從“歸納猜想”視角設(shè)計創(chuàng)新型試題，可以有三種設(shè)計思路:一種是在同類事物之間由特殊到一般進(jìn)行歸納設(shè)計，首先要確保已知數(shù)據(jù)正確、連貫，并且它們各自都只需經(jīng)過不太復(fù)雜的變形即可呈現(xiàn)規(guī)律，這是最為常見的設(shè)計途徑或思路，也是本題的設(shè)計思路；一種是通過前面的圖形給出若干個數(shù)據(jù)，中間個別或局部空缺，接下來再通過后面的圖形給出若干個數(shù)據(jù)，需要找出空缺數(shù)據(jù)；一種是前面?zhèn)€別或局部數(shù)據(jù)空缺，中間和后面的數(shù)據(jù)給出，需要找到前面的數(shù)據(jù).尤其是第三種，仍具有新穎性，而且考查了逆向思維，可以作為未來試題繼續(xù)創(chuàng)新的突破口.

此外，古代數(shù)學(xué)思想文化源遠(yuǎn)流長，往往成為創(chuàng)新型試題設(shè)計的重要參考，古圣先賢的某些文化成果可能并不十分深奧，但其蘊(yùn)藏的思想方法卻成為開啟后世智慧的寶藏，至今仍熠熠生輝，永不過時.

從“構(gòu)造”視角設(shè)計創(chuàng)新型試題，其設(shè)計思路主要是受一種典型的數(shù)學(xué)思維方式的啟發(fā):對于某些數(shù)學(xué)問題或目標(biāo)式子，如果利用常見手段難以分析、解決，即代數(shù)問題用代數(shù)方法或幾何問題用幾何方法難以突破，那么可以另辟蹊徑，比如代數(shù)問題從幾何構(gòu)造角度入手，也許能夠找到事半功倍的捷徑，這既是問題解決的方式，也為命制新穎試題提供了很好的啟發(fā)和借鑒，上題正是把這種思維方式作為一種設(shè)計創(chuàng)新型試題的參照方向，不想?yún)s編擬了一道讓人眼前一亮的好題.

2 課后拓展

凡高考命題，包括創(chuàng)新型試題在內(nèi)的不論何種題型，其所涉及的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法總是來源于課本，植根于教材，同時教材上包括課后“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等在內(nèi)的所有課后拓展性材料都為命制創(chuàng)新型試題提供了豐富的素材和源泉.

案例4對于任意有限集合M，N，規(guī)定:card(M∪N)-card(M∩N)=d(M，N)，其中card(M)代表集合M中的元素個數(shù).

( )

命題①:對一切有限集合M，N，P，一定有d(M，N)+d(N，P)≥d(M，P)；

命題②:對一切有限集合M，N，“M≠N”為“d(M，N)>0”的充要條件.

A.命題①是假命題，命題②是真命題

B.命題①是真命題，命題②是假命題

C.命題①和命題②都是假命題

D.命題①和命題②都是真命題

【答案】D

試題的背景溯源于人教A版必修1第13頁“閱讀與思考”中的材料“集合中元素的個數(shù)”，該材料通過大量篇幅和實例向?qū)W生引出了一個新型結(jié)論“對有限集M,N,card(M)+card(N)-card(M∩N)=card(M∪N)恒成立”.試題的編擬基本完全承襲了這一結(jié)論，所作的創(chuàng)新或修飾是引入了“d(M，N)”，而“d(M，N)”是用“card(M)”、“card(N)”、“card(M∩N)”等表示出來的，這也使案例4的解決恰好需要先把題設(shè)所給的條件式與這一結(jié)論結(jié)合起來得到d(M，N)=card(M)+card(N)-2card(M∩N)≥0，內(nèi)容并不算超綱，但體現(xiàn)了高考命題“源于教材，高于教材”的指導(dǎo)思想，也體現(xiàn)了高考命題“用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀網(wǎng)羅素材”和“背景公平”的原則，其宗旨是考查學(xué)生的創(chuàng)新意識與未來進(jìn)入高校進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

下面是兩道高考創(chuàng)新型試題.

(參考試題)如果m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，那么m10+n10=

( )

A.199 B.123 C.76 D.28

【答案】B

兩道試題的設(shè)計均取材于人教A版必修5第32頁“閱讀與思考”中的材料“斐波那契數(shù)列”，區(qū)別在于對斐波那契數(shù)列或明或暗的滲透，前者較明顯，直接觀察等式右邊的數(shù)據(jù)，可知1+3=4，3+4=7，4+7=11，……，因此m10+n10=123，這不正是斐波那契數(shù)列的精髓所在嗎？后者比較隱晦，需要通過變形后才能發(fā)現(xiàn)，因此在考查斐波那契數(shù)列的同時考查了運算求解能力.當(dāng)然，暗藏“斐波那契數(shù)列”背景的創(chuàng)新型試題的設(shè)計思路較為開放，比如數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，…；1，3，4，7，11，18，…；3，6，9，15，24，39，…；4，5，9，14，23，37，…，等等，它們均具有“斐波那契數(shù)列”涵義.

此類創(chuàng)新型試題的背景是古往今來的數(shù)學(xué)文化，以數(shù)學(xué)思想方法的掌握和數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解立意，利用高考平臺傳承數(shù)學(xué)思維，撒播數(shù)學(xué)文化，促進(jìn)素質(zhì)教育的發(fā)展.介紹數(shù)學(xué)文化是新課標(biāo)教材課后材料的一大特點，帶動了以數(shù)學(xué)文化為背景的創(chuàng)新型試題如雨后春筍般出現(xiàn)，這些試題的背景或明或暗，但關(guān)鍵還是對這些數(shù)學(xué)文化所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法的掌握.

以上幾例皆屬基于教材中“閱讀與思考”材料而命制的創(chuàng)新型試題，最后，再來看一道基于教材中“探究與發(fā)現(xiàn)”材料而命制的高考創(chuàng)新型試題.

( )

【答案】C

試題設(shè)計思想源于人教A版必修1第76頁“探究與發(fā)現(xiàn)”材料“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系”，為說明該試題的命制得失，筆者有必要先簡談一下其解決策略.從教師角度來講，易知函數(shù)f(x)與g(x)互為反函數(shù)，那么二者圖象應(yīng)關(guān)于直線y=x對稱，因此可以先研究g(x)圖象上任意一點到直線y=x的最短距離，該距離的2倍即為所求.但問題也出現(xiàn)了，因為近些年來高考《考試大綱》明確指出——“同底指、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”僅屬了解層次，如此設(shè)計試題，難免有超綱之嫌，甚至引起爭議，因此，創(chuàng)新型試題的命制應(yīng)該立足教材，尊重課程標(biāo)準(zhǔn)，只有這樣，所命制的試題才能更加切合學(xué)生實際接受能力，更加貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.

課后拓展性材料廣泛地編入新課標(biāo)教材，并在歷年高考試題中不時得以體現(xiàn)，自然有其價值，那就是高考命題需要以此類素材為載體引領(lǐng)中學(xué)課程改革，可以以實際行動來支持中學(xué)課程改革，對待這些拓展性材料，應(yīng)堅持“不拋棄、不放棄”的態(tài)度，實實在在地用好這些素材，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

3 改編成題

成題，非傳統(tǒng)意義上的“陳題”，是指思路寬、解法好、結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，并且經(jīng)過了時間沉淀和檢驗的優(yōu)質(zhì)習(xí)題或測試題.成題改編是指對成題進(jìn)行加工，包括改造(修改)、組合和重新包裝.

3.1 高考試題的改編

【答案】DE;EF

無獨有偶，高考湖北卷對四種平均數(shù)情有獨鐘，對上題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木帲砑恿巳舾筛蓴_因素，命制出了同樣精彩的一道以學(xué)習(xí)潛能立意的創(chuàng)新型試題.

(Ⅰ)當(dāng)g(x)= (x>0)時，Mg(m，n)為m，n的幾何平均數(shù)；

(以上兩空只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)

下面再來看一道2012年高考試題.

( )

A.10 B.12 C.14 D.16

【答案】C

本題以三角形的相似知識及反射原理的運用能力立意，難度較大，需要借助相似三角形來找出反射的位置，結(jié)合圖象得出反射次數(shù).此題經(jīng)過改編，再次在2013年高考中以創(chuàng)新型試題的身份出現(xiàn).

(參考試題)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點.光線從點P出發(fā)，經(jīng)過BC，CA反射后又回到點P，且在BC，CA上的入射點分別為Q，R.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于

( )

【答案】A

光的反射原理“三線在同一平面內(nèi)；入射與反射光線處于法線異側(cè)；入射與反射角相等”中有著豐富的點、線、角、面關(guān)系，因此可以作為命制創(chuàng)新型試題的重要題材.

試題以解析法、對稱性、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用立意，綜合性較強(qiáng)，難度較大.筆者認(rèn)為，如果進(jìn)一步改編，對其條件和結(jié)論互換，還可有下列試題.

( )

【答案】D

若繼續(xù)改編，試題還可由二維到三維，演變成2014年高考江西卷理科以立體圖形為背景出現(xiàn)的試題(囿于篇幅，此處不做贅述)以及下文即將介紹的案例13(2015年高考山東卷理科試題).不難看出，光的反射定律、直線與圓錐曲線是命制此類創(chuàng)新型試題的極好素材，應(yīng)該得到教師們足夠的重視.

再者，為了體現(xiàn)成題改編的前后邏輯性，本文把 2008年高考陜西卷理科試題放在了下文案例16的位置，該題開啟了數(shù)學(xué)與信息傳輸交匯命題的先河，將其作一定的改編，就成為了與其大部分背景一樣甚至敘述相仿的 2015年高考福建卷理科試題:

【答案】5

此題以運算求解能力與推理論證能力立意，需要學(xué)生在理解新定義后，弄清新定義的外延與內(nèi)涵，將其轉(zhuǎn)化運用到新情境中，從而判斷出i的值.本題的出現(xiàn)堪稱高考命題史上的一次優(yōu)秀的成題改編，改編后依然延續(xù)著數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的滲透交叉.從這里可以看出，在高考命題中，對成題進(jìn)行改編，只要改編得法，成題不僅不會快步走向歷史被人忘卻，成為真正的“陳題”，而且還會把價值發(fā)揮到最大，繼續(xù)發(fā)光發(fā)熱，閃耀考場.

3.2 課本習(xí)題的改編

成題的改編創(chuàng)新不僅僅針對過去的高考試題，課本上的例、習(xí)題甚至定理也是命制創(chuàng)新型試題重要的參考資源.如下面幾例:

案例6(Ⅰ)①求證:cos(α+β)=cosα×cosβ-sinα×sinβ；

②由①推導(dǎo)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

【答案】略

兩角和與差的余弦公式是最重要的三角恒等變換，試題恰以誘導(dǎo)公式、兩角和的正余弦公式證明過程的掌握立意，“取材于課本而不拘泥于課本”正是題目的創(chuàng)新特色，與其說是改編，倒不如說是由人教A版必修4第125頁“兩角差的余弦公式”以及由此而衍生的第128頁“兩角和的余弦公式”的推導(dǎo)的綜合.題目雖原汁原味的來源于教材，毫無修飾，但題目的探索策略卻是開放的，有效地考查了學(xué)生的發(fā)散思維，這正是題目的創(chuàng)新之處，命題者的良苦用心顯露無遺.此題的出現(xiàn)，對于過往苦練海量題型套路的應(yīng)試教育來說是始料未及的，也曾引起教育界的討論:什么才是創(chuàng)新型試題的標(biāo)準(zhǔn)？在隨后幾年的高考試卷中，還陸續(xù)出現(xiàn)過下列多道創(chuàng)新型試題:

(參考試題)自行闡述且求證余弦定理.

【答案】略

(參考試題)(Ⅰ)已知l?α，m∩α=M，且m與α不垂直，n是m在α內(nèi)的射影，l⊥m，求證:l⊥n.

(Ⅱ)闡述(Ⅰ)問的逆命題，然后判斷其真假(不必證明).

【答案】略

(參考試題)已知{bn}為等比數(shù)列，公比為q.

(Ⅰ)試著推導(dǎo){bn}的前n項和；

(Ⅱ)已知q≠1，求證:數(shù)列{bn+1}非等比數(shù)列.

【答案】略

其中第一道創(chuàng)新型試題直接取材于人教A版必修5第5頁“余弦定理”，第二道創(chuàng)新型試題的前后兩個小問直接取材于原大綱教材“三垂線定理的逆定理”及“三垂線定理”，第三道創(chuàng)新型試題改編自人教A版必修5第55頁“等比數(shù)列的前n項和”，只不過教材上針對的是公比q≠1的情形，而此處還需考慮q=1的情形.這些題目無一不是把教材原型直接移植或稍作改編而得，其所傳遞出的導(dǎo)向信息很明確，那就是不以題海戰(zhàn)術(shù)作為教學(xué)方式，不以解決高精尖的題目作為教學(xué)的唯一追求，要重視教材，重視基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)本原性知識的再創(chuàng)造過程，這種再創(chuàng)造過程既要體現(xiàn)在平時點點滴滴的教學(xué)中，也要體現(xiàn)在高考過程中.

案例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線a:y=2x-4，點M(0，3)，圓E的圓心在a上，半徑是1.

(Ⅰ)如果圓E的圓心也在y=x-1上，經(jīng)點M作圓E的切線，求出切線的方程；

(Ⅱ)如果圓E上有點N滿足2NO=NM，求點E的橫坐標(biāo)b的取值范圍.

試題具有深刻的數(shù)學(xué)文化背景，實際上是由人教A版必修2第124頁B組第3題(實行新課標(biāo)前的大綱教材也編入了此題)改編而來，而且由原題所得到的圓就是著名的阿波羅尼斯(Apollonius)圓，原題如下:

試題在立意方面知能并重:知識方面，著重考查圓與圓、圓與直線的位置關(guān)系等；能力方面，旨在考查借助代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

改編自上題的創(chuàng)新型試題還有:

(參考試題)設(shè)動點E到點M(-2，0)及點N(1，0)的距離之比為2，則動點E的軌跡所包圍的圖形的面積等于

( )

A.9π B.8π C.4π D.π

【答案】C

當(dāng)然，這方面的案例還可以舉出若干，在此不再贅述.

4 滲透交叉

伴隨科技時代向前飛速發(fā)展，學(xué)科之間的融合度越來越高，學(xué)科界限越來越不明顯.不論是學(xué)科內(nèi)還是學(xué)科間(俗稱跨學(xué)科)的交叉滲透，都是學(xué)科知識高度融匯與分化的表現(xiàn)，這一切皆源于近一個世紀(jì)來人類知識體系的快速變遷，尤其是舊知識逐步被新知識充實或取代，在這樣的背景下，高考出現(xiàn)滲透交叉創(chuàng)新型試題也就順理成章、不足為奇了.將數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各分支或數(shù)學(xué)和其它學(xué)科間在知識網(wǎng)的交匯處進(jìn)行交融整合，找到知識融合的生長點，從而命制出創(chuàng)新型試題，可以預(yù)測，此類試題也將會越來越多，越來越新穎.

4.1 學(xué)科內(nèi)滲透交叉

4.1.1 代數(shù)與代數(shù)

【答案】3 018

數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)部分的數(shù)列與三角函數(shù)是高中課程極其重要的兩部分內(nèi)容，二者“聯(lián)姻”設(shè)計出的交匯性試題，往往既能體現(xiàn)數(shù)列的基礎(chǔ)性，又能體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性，且大多以運算推理能力立意.二者也均可以與其他知識交融，如數(shù)列可以與解析幾何融合為“點列”問題，三角函數(shù)可以與三角形、向量交融.

再以2015年高考陜西卷理科試題為例.

(參考試題)已知復(fù)數(shù)z=a-1+bi(a，b∈R)，若|z|≤1，則a≤b的概率是

( )

【答案】A

復(fù)數(shù)與概率都不是高中課程最核心的內(nèi)容，但各自分開命題所占據(jù)的卷面將致使高考命題“重點內(nèi)容應(yīng)占較大比重”、“重視知識的綜合性與內(nèi)在聯(lián)系”、“考查基礎(chǔ)知識應(yīng)達(dá)到一定的深度”等原則得不到兼顧，因此二者“牽手”設(shè)計出交匯性試題是很好的方向，況且，在整個數(shù)學(xué)知識體系中，二者關(guān)系“遙遠(yuǎn)”，所命制的交匯型創(chuàng)新試題往往能給解答者的視覺與思維感官帶來極大的沖擊.

4.1.2 代數(shù)與幾何

案例9如圖所示，互不相同的點Ai(i=1，2，…，n，…)和點Bi(i=1，2，…，n，…)分別在角C的兩條邊上，且A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥…，所有梯形An+1Bn+1BnAn的面積都相等.設(shè)CAn=bn.如果b1=1，b2=2，則數(shù)列{bn}的通項公式為 __________.

設(shè)計代數(shù)與幾何交匯產(chǎn)生的創(chuàng)新型試題，一定要注意三個方面:代數(shù)式子具有何種幾何意義；幾何圖形具有怎樣的數(shù)據(jù)特征；它們怎樣才能融為一體.從設(shè)計途徑或方向來看，代數(shù)與平面幾何交匯的創(chuàng)新題目多以如本題一樣的“點列”問題為主，在解析幾何問題中也可如此設(shè)計“點列”問題，實質(zhì)上都是幾何與數(shù)列的交融.

4.1.3 幾何與幾何

案例10如圖所示，在長方形ABCD中，E是AD邊上的動點，△A1BE是由△ABE沿直線BE翻折而成，平面ABCD⊥平面A1BE，那么點A1的軌跡為

( )

A.橢圓的一部分 B.線段

C.圓弧 D.以上答案均不是

【答案】D

以立體圖形為載體，以空間想象能力立意，設(shè)置滿足一定條件的動點，著力將動點運動的軌跡設(shè)計為圓錐曲線或圓錐曲線的一部分，這是設(shè)計立體幾何與解析幾何交融的創(chuàng)新型試題的慣用渠道，這類試題對促進(jìn)思維能力和對核心概念的理解大有裨益，不論是對命題者還是解題者都提出了較高的要求.

案例11已知兩條異面直線互相垂直，有一動點到這兩條異面直線的距離相等，并且該動點在經(jīng)過其中一條直線而平行于另一條直線的平面內(nèi)，則該動點的軌跡是

( )

A.雙曲線 B.拋物線 C.橢圓 D.直線

【答案】A

設(shè)計立體圖形中鑲嵌圓錐曲線這類問題，需要重視兩點:立體圖形空間結(jié)構(gòu)特點；圓錐曲線定義的合理植入，這也是對知識理解深刻性的考查典范.

案例12已知B是以點A為圓心的圓形卡片內(nèi)部一定點，動點C在圓周上運動，折疊卡片，使B，C兩點重合，EF為折痕，再把卡片撫平，AC與EF相交于G，那么動點G的軌跡是

( )

A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓

【答案】D

試題以圓錐曲線定義的理解立意，以圓為背景，在圓與橢圓的交匯處設(shè)計創(chuàng)新型試題，從知識上著力考查橢圓的定義，從能力上著力考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，注重甄別基礎(chǔ)知識的掌握程度和思維的深刻性.

4.2 學(xué)科間滲透交叉

4.2.1 數(shù)學(xué)與物理

案例13自點(-2，-3)射出的一條光線經(jīng)過y軸反射后和圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，那么反射光線所在的直線斜率是

( )

【答案】C

試題命制時，將物理學(xué)中“光的反射原理”與數(shù)學(xué)中求圓的切線斜率知識交匯在一起，小巧新穎，解法靈活.試題的立意知能并重:知識方面，著重考查圓與直線的位置關(guān)系；能力方面，注重考查計算能力和基本的邏輯推理能力.

4.2.2 數(shù)學(xué)與化學(xué)

( )

A.5太貝克 B.75ln2太貝克

C.150ln2太貝克 D.150太貝克

【答案】D

試題將學(xué)生熟悉的化學(xué)元素銫的性質(zhì)與數(shù)學(xué)知識中函數(shù)的變化率兩個概念融為一體，讓學(xué)生初讀此題時倍感親切，有效檢測學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)運算法則的掌握程度.試題以理解能力和應(yīng)用知識解題的能力立意.

4.2.3 數(shù)學(xué)與生物

案例15在以蒼蠅為研究對象的生物學(xué)實驗中，籠中原本有6只蒼蠅，因操作不當(dāng)混進(jìn)了2只果蠅(兩類蠅子大小相當(dāng))，于是給籠子打開一個小孔，讓兩類蠅子逐只飛到籠外，直至2只果蠅全部飛出，又關(guān)閉小孔，記籠中剩余蒼蠅只數(shù)為η，則η的數(shù)學(xué)期望Eη=__________.

【答案】2

試題的設(shè)計是基于找到數(shù)學(xué)與生物學(xué)融合的生長點(即蠅子的數(shù)量角度)，立意在于分類討論的數(shù)學(xué)思想與古典概型相關(guān)知識的應(yīng)用，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性.以數(shù)學(xué)與生物交匯而成的創(chuàng)新型試題的背景還可以是生物學(xué)中的基因序列、染色體、細(xì)胞分裂等等.

4.2.4 數(shù)學(xué)與信息傳輸

案例16為了提升傳輸過程中信息的抗干擾能力，常需在原來的信息中按某種規(guī)則添加相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}，其中i=0，1，2，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，其中運算⊕定義為:1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1，0⊕0=0.例如，原來的信息為111，則傳輸信息為01111.在傳輸過程中傳輸信息受到干擾可能致使接收信息出錯，則下列接收信息一定出錯的是

( )

A.00011 B.10111 C.01100 D.11010

【答案】B

揭開數(shù)學(xué)與信息傳播交織的神秘面紗后發(fā)現(xiàn)，本題中信息的傳輸借鑒了人教A版必修3第40頁上的二進(jìn)制規(guī)則，使得背景熟悉、公平，取材于課本而高于課本，著力檢測學(xué)生接受新事物的能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.

隨著高考創(chuàng)新型試題命題走向多元化，學(xué)科間滲透交叉的力度必然更大，而且可以進(jìn)一步斷言:對于在此之前的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科交匯的創(chuàng)新型試題，大多僅僅是穿了件交叉滲透的薄薄外衣，數(shù)學(xué)模型其實早已在題設(shè)中建立了，試題更多的是在考查數(shù)學(xué)的工具性作用，而其他學(xué)科知識所起的作用極其有限，那么在未來的高考命題中，為體現(xiàn)學(xué)科的深度交融，這部分創(chuàng)新型試題的立意可能會再多給一點關(guān)注在運用其他學(xué)科知識的推理論證能力方面.

5 現(xiàn)實加工

從緊貼現(xiàn)實社會的時事焦點、生產(chǎn)生活、新聞熱點等尋找材料，提煉抽象出數(shù)學(xué)背景，選取合理的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行深度加工、包裝，注入數(shù)學(xué)內(nèi)涵，一定能編擬出具有新意的試題.

(Ⅰ)新橋BC的長度是多少?

(Ⅱ)要使圓形保護(hù)區(qū)的面積達(dá)到最大，線段OM的長度應(yīng)是多少?

【答案】(Ⅰ)150 m;(Ⅱ)10 m

試題生活味十足，取材完全來自于學(xué)生身邊的民生事件，背景公平、自然，保護(hù)古跡、百姓出行、生態(tài)功能保護(hù)區(qū)等民生詞匯的出現(xiàn)，體現(xiàn)了以人為本的試題設(shè)計理念，相信任何初次接觸此類題目的學(xué)生內(nèi)心的親切感都會油然而生，并能很快融入試題情境，獲得屬于自己的解答問題的成效，而問題的解答經(jīng)歷了聯(lián)想、建模、解答、反饋的過程，體會數(shù)學(xué)“從生活中來，到生活中去”.

案例18生產(chǎn)爆米花時，“有效率”是指爆開而不糊的數(shù)量(單位:顆)與總量之間的比率.已知有效率p與生產(chǎn)爆米花所用的時間t(單位:分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系式p=at2+bt+c(a，b，c為常數(shù))，如圖所示，記錄了三次實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)材料，可以得到生產(chǎn)爆米花的最佳時間為

( )

A.4.25 B.4.00 C.3.75 D.3.50

【答案】C

爆米花是人們喜愛的一種食品，試題取材于人們的“吃”，毫無違和感，親切而自然，容易拉近與學(xué)生心理之間的距離，用一句流行詞匯來說，那就是“接地氣”.試題的設(shè)計展現(xiàn)了人文性，并質(zhì)樸地反映出數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的實用性、工具性.“有效率”無非就是有效部分與總量之間的比率，簡單易懂，這類概念的設(shè)計僅僅是為后面的運算提供依據(jù)，不能設(shè)計得艱深，不能成為學(xué)生理解的負(fù)擔(dān)，要體現(xiàn)公平性.雖然試題提供了現(xiàn)成的函數(shù)模型，以二次函數(shù)解析式及最值的求解、閱讀理解能力、分析與解決問題的能力立意，但經(jīng)過現(xiàn)實加工后，索然無味的函數(shù)問題瞬間有了生命活力，并顯示出數(shù)學(xué)知識解決實際問題的真正力量.