層巒疊嶂巧攀援 深思熟慮多聯系
——對全國卷Ⅰ函數與導數壓軸題的解法研究

浙江 楊育池

《考試大綱說明》明確提出了高考“考查基礎知識的同時，注重考查能力”，強調“重點內容重點考”.由于導數是初等數學與高等數學聯系的一個紐帶，具有揭示函數性質的強大功能，為處理函數與不等式問題提供新思路和新途徑，能體現其應用價值和思維價值，因而，“函數與導數”問題成為歷年各省份高考數學試題中的重點考查知識和“壓軸戲”，其綜合性強，解法靈活多變，對數學成績影響很大.

因為導數考查形式多變我們就毫無方法了嗎？顯然不是這樣.年年歲歲考期同，歲歲年年考題異.教師們應有準備地研究其命題規律和解題策略.2016年開始，大部分省市高考開始回歸全國卷，分析對比這兩年的高考試題中的導數問題，對高三復習極具參考價值，可以發現試題的考查“畫風”由知識型向能力型轉變，活躍于函數的單調性、極值等問題，其中不時閃現不等式的身影，已由簡單考查“如何求導數”轉向深入考查“如何應用導數”——利用導數研究函數的單調性、函數的零點、利用極(最)值證明函數不等式成了命題熱點．

例題(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

一、層巒疊嶂憂何宜，借取月色巧攀援

縱觀近兩年的“函數與導數”壓軸題，本題具有典型性，它在知識上考查了函數的零點、利用導數研究函數的性質、不等式的證明等基礎主干知識，而能力的考查則更是集數形結合、轉化與化歸、分類討論、極限與構造等數學思想和方法，以及運用數學知識進行代數推理求解的綜合能力于一體．問題(Ⅰ)考查學生熟悉的函數零點問題，由函數的零點個數確定參數a的取值范圍；問題(Ⅱ)則在問題(Ⅰ)的基礎上考查函數中的熱點——函數與不等式的交匯問題，具有一定的難度．下面逐問分析并解決問題.

【解題思路】由于函數是由幾個初等函數復合、疊加或相乘組合在一起的，其形“層巒疊嶂”，其式也“錯綜復雜”，有時問題又與參數“勾連”，更讓學生感覺到“欲度愁攀援”.實際上研究形式較為復雜的函數的零點、極值(最值)等問題，其考查的主旨不變——依舊是利用導數研究相應函數的性質，因而其解題思維流程上也存在一般規律，通常將其轉化為探求函數的性質，以期從函數的形態上直觀反映函數圖象的變化，從而由函數極值與x軸的位置關系得到正確結論.

顯然本題是含參函數的零點問題，其思維流程圖如圖．由條件可知，函數f(x)的圖象與x軸有兩個公共點，故需明確函數的圖象升降變化情況，因而應通過其導函數的符號確定函數的單調性，并結合零點存在性定理研究函數零點的可能情形.

【解法一】(Ⅰ)函數f(x)的定義域為R，且f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)．則由f′(x)=0，得x=1或ex=-2a.

(ⅰ)當a≥0時，則ex=-2a無解.由f′(x)≥0得，x≥1，故f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，且f(1)=-e，f(2)=a≥0，則函數f(x)在區間(1,+∞)上存在一個零點x1，且x1∈(1,2].

又當a=0時，函數f(x)=(x-2)ex在區間(-∞,1)上恒為負，此時函數f(x)只有一個零點，不符．

因此，f(x)存在兩個零點．

(ⅱ)當a<0時，由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a)．

故當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，

因此f(x)在(1,+∞)上單調遞增．

又當x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點．

故當x∈(1,ln(-2a))時，f′(x)<0；

當x∈(ln(-2a),+∞)時，f′(x)>0．

因此f(x)在(1,ln(-2a))上單調遞減，

在(ln(-2a),+∞)上單調遞增．

又當x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點．

綜上所述，a的取值范圍為(0,+∞)．

1.細析難點窺玄巧

2.熟思細節期遠飛

只有深入思考了問題中的一些細節，才能信心滿滿地鼓翼“遠飛”.含參數的導數問題在解答時的根本大法，往往需要對參數進行討論，雖然是常識，但也是絕大多數學生答題時的易失分點，具體表現在他們不知何時開始討論、怎樣去討論．對于函數性質的探究，如果沒有牢固的“定義域優先”的觀念，常會發生忽略定義域而導致出現論域擴大的習慣性錯誤.而對含參問題的討論，應思考清楚“為何分類”、“如何分類”，以免面對分類討論不知所措或盲目分類.需要實施分類討論是因為研究對象的關系存在不確定性，本題中第一次分類是因為ex>0，而a可能會導致ex=-2a無解，所以依據方程ex=-2a有無解進行分類討論；第二次分類是因為方程ex=-2a有解x=ln(-2a)，與其另一根x=1之間的大小不確定，因而根據兩數的大小進行分類.

當分類過多，或解題時運用到不常用的技巧或方法時，總會覺得問題變得煩瑣，此時應鼓勵學生思考、另辟蹊徑避開這些思維上的困擾.如一個函數的零點個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數.因此思路上的切入方式有參變量全分離和半分離兩種.

2.1參變量全分離

使參變量處于“完全分離”狀態，轉化為研究函數g(x)的單調性仍是常規方式.通過定性求解函數g(x)在不同單調區間上的函數值范圍有時“精密度”不夠，還需要用上“洛必達法則”嚴格確定函數的極限，由于所應用的知識超綱，所以這是有風險的.

當1

故直線y=-a與曲線y=g(x)有兩個公共點等價于-a<0即a>0.

2.2參變量半分離

參變量半分離實際是函數按參數進行整理，將含參代數式與不含參代數式作為兩個函數，分離到不等號的兩邊，通過研究兩個函數的變化情況，以確定參數的變化范圍.參變量半分離是否有效往往需要我們“未雨綢繆”，考察所研究的函數中含參部分與不含參部分，以及分離后所得到的兩個函數的性質是否容易研究.

【解法三】由題意得(2-x)ex=a(x-1)2有兩個解，即曲線h(x)=(2-x)ex與y=a(x-1)2有兩個公共點.由h′(x)=(1-x)ex≥0得x≤1，則h(x)在(-∞,1)上單調遞增，h(x)∈(0,e)；h(x)在(1,+∞)上單調遞減，h(x)∈(-∞,e).若滿足y=a(x-1)2與h(x)=(2-x)ex有兩個公共點，則y=a(x-1)2為開口向上的拋物線，故a的取值范圍為(0,+∞)．

將參變量處于“半分離”狀態時，發現其中一部分為熟悉的二次函數，且對稱軸x=1恰好過h(x)的極值點，精彩的轉化正是橋牌中“打好一手壞牌”的智慧.

可見，參變量分離是解決含參問題的一種較為有效的方法.一般地，含參數的不等式恒成立與能成立(在某區間上有解)問題，通過分離參變量，轉化為研究不含參數的函數的最值；含參數的函數在某區間上零點的個數等問題，通過分離參變量，轉化為求函數的值域問題.

3.深思變式熟解題

下面給出三道變式.變式1著眼于訓練“分類討論”，變式2側重于“以曲代直”取點，變式3則傾向于體會“參變量分離”在解題中的作用.

【變式1】已知函數f(x)=2ex-(x-a)2+3，a∈R.若x≥0，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

【解析】因為f′(x)=2(ex-x+a)，令h(x)=2(ex-x+a)，則h′(x)=2(ex-1)≥0，則h(x)在[0，+∞)上單調遞增，且h(0)=2(a+1)．

(2)當a<-1時，則存在x0>0，使h(x0)=0且當x∈(0，x0)時，h(x)<0，即f′(x)<0，即f(x)單調遞減；x∈(x0，+∞)時，h(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)單調遞增．故f(x)min=f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3≥0，又h(x0)=2(ex0-x0+a)=0，從而2ex0-(ex0)2+3≥0,解得0

由ex0=x0-a得a=x0-ex0，令M(x)=x-ex，0

【變式2】(2017·全國卷Ⅰ理·21改編)已知f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，若0

綜上所述，當0

【變式3】已知函數f(x)=xlnx-ax-1(a∈R)有兩個零點x1,x2，且x1

二、云深茫然巧聯系，構造函數顯秀色

下面分析問題(Ⅱ)，由f(x)=0變形想直接求出x1,x2的表示式，自感“云深不知處”，“橫絕峨眉巔”.如果從函數思想角度出發，聯系到單調函數的函數值與自變量的大小關系是相互對應的，因此，可以建立如圖所示的解題思路流程，通過構造函數，利用函數的性質，確定以結論中的量為自變量的兩個函數值的大小關系，從而結合函數的單調性間接確定自變量的大小.

要證明x1+x2<2實質是比較自變量的兩個取值之間的大小關系，由函數的單調性可知，在同一單調區間內的自變量的兩個取值與其函數值大小存在著對應關系，即函數g(x)單調遞增時，函數值大則自變量的值也大；函數g(x)單調遞減時，函數值大則自變量的值反而小.因此，x1+x2<2轉化為構造函數g(x)，由單調性判斷函數值的大小．

【證明】不妨設x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，

而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

整理得f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2．

構造函數g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,x>1，則

g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)<0．

即g(x)在區間(1,+∞)上單調遞減，

而g(1)=0，故當x2>1時，g(x2)

即g(x2)=f(2-x2)<0，

故f(2-x2)

本題解題順暢成功的關鍵在于構造函數g(x)=f(2-x)，結合x2為零點消去參數a，轉化為f(2-x2)與0的大小關系，再利用單調函數的定義，實現自變量的大小與函數值的大小的轉化，最終由函數值的大小間接確定自變量的大小，這是在解與抽象函數有關的不等式時常用的方法，但也是易忽視的一種重要技巧.如果教師方法得當，自會讓學生覺得所觸之題“依舊秀色照清眸”，在考場上游刃有余.

1.綽約新妝玉有輝，精熟笙歌試羽衣

由上述過程可見，構造函數是解決函數兩自變量的大小問題的有效方法，是將難以正面突破的問題轉化為可側面攻擊的問題的重要手段.這需要靈活依據結論的代數結果變形，牢牢把握代數式的結構構造函數.其有效途徑之一是深入地研究典型題的變式，感受到“綽約新妝玉有輝”，才能在“笑伴笙歌試羽衣”的精熟解決過程中，透徹地掌握同類問題的解法.下面提供的問題中，變式1與例題的構造方法相同，變式2和變式3則將結論變更為零點差、積的形式，考驗學生對具體問題進行具體構造的靈活性.

因為x1+2>2,x3>2，所以x1+2>x3,即x3-x1<2.

【解析】注意到結論與已知函數形式之間的差異，則欲證x1x2>e2，應轉化為證明lnx1+lnx2>2.

不妨設0e2，

故h(x)在區間(0,e)上單調遞增，則h(x)