引導(dǎo)學(xué)生挖掘信息結(jié)構(gòu)與幾何直觀
——例談直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

浙江 余繼光

一、直觀想象中的信息結(jié)構(gòu)

1.直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、分析和理解數(shù)學(xué)命題、探索和形成論證思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素.通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律.

2.直觀想象建立在信息結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，只有認(rèn)準(zhǔn)或挖掘出信息中的結(jié)構(gòu)特征，才能準(zhǔn)確呈現(xiàn)其幾何直觀，因此直觀想象的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征.

3.直觀想象的引導(dǎo)力在于對(duì)問題信息結(jié)構(gòu)的分析與啟發(fā)，一是養(yǎng)育這一意識(shí)，面對(duì)具有明顯特征的信息，問自己這里隱藏著幾何直觀嗎？二是儲(chǔ)備信息結(jié)構(gòu)與幾何直觀間的關(guān)聯(lián)；三是大膽挖掘，細(xì)心驗(yàn)證.

二、直觀想象中的引導(dǎo)策略

1.大膽“挖”——任何信息結(jié)構(gòu)，只有充分挖掘，才能顯示其本來面貌，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生積極大膽實(shí)踐非常重要，這一意識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力的重要一點(diǎn).

2.細(xì)心“驗(yàn)”——挖掘出來的幾何直觀是否真是問題的本質(zhì)，還需要細(xì)心檢驗(yàn)，這是引導(dǎo)學(xué)生做學(xué)問必備的素養(yǎng).

3.善于“思”——慎思、深思、有興趣的思，而不是僅僅為了完成作業(yè)消耗精力的思，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)！

三、直觀想象中的教學(xué)途徑

1.從代數(shù)結(jié)構(gòu)中挖掘“代數(shù)”與“幾何”直觀

數(shù)學(xué)是一門形式科學(xué)，它研究的是抽象元素之間的“關(guān)系”和“運(yùn)算法則”.這些“相互關(guān)系”和“運(yùn)算法則”構(gòu)成了數(shù)學(xué) “結(jié)構(gòu)”.從代數(shù)信息結(jié)構(gòu)上挖掘直觀，是養(yǎng)育學(xué)生直觀想象能力的最佳途徑之一.

分析：本題給定的題設(shè)信息結(jié)構(gòu)為“○2+○△+△2”，從代數(shù)公式結(jié)構(gòu)上與立方差公式可直觀想象；由余弦定理表達(dá)式也可直觀想象，于是有了下列思考.

解法一：從代數(shù)結(jié)構(gòu)中尋找變元關(guān)系.

由①可得，x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)=x-y,

由②可得，y3-z3=3(y-z),

由③可得，z3-x3=4(z-x),

以上三式相加，z=3x-2y，代入②得3x2+y2-3xy=1，

與①聯(lián)立，解得2x(x-2y)=0，因?yàn)閤>0，所以x=2y,

解法二：挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)中幾何意義，由余弦定理可得

x2+xy+y2=x2+y2-2xycos120°=12,

z2+zx+x2=z2+x2-2xzcos120°=22,

在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,如圖1，

由原題條件可知，PA=x，PB=y，PC=z是原方程的一組解，

將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△A1P1C，如圖2，則△PP1C為正三角形，所以A1,P1,P,B共線，則x+y+z=PA+PB+PC=A1B，∠A1CB=∠P1CA1+60°+∠BCP=∠PCA+60°+∠BCP=60°+30°=90°，所以△A1BC為直角三角形，

解讀：解法一是從代數(shù)結(jié)構(gòu)中尋找變元之間的聯(lián)系“x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)”——“代數(shù)直觀”，從解方程的角度尋找突破；解法二是根據(jù)給定方程組的代數(shù)結(jié)構(gòu)“x2+xy+y2=1”上發(fā)現(xiàn)“幾何直觀”，通過構(gòu)造幾何圖形來實(shí)現(xiàn)突破！

素養(yǎng)水平：能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠描述簡單圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系及其特有性質(zhì)，方程組變量間的結(jié)構(gòu)與余弦定理的結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系是條件挖掘的著力點(diǎn)；能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題，啟迪解決這些問題的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合.

2.用換元來呈現(xiàn)代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾何直觀背景

善于挖掘數(shù)學(xué)信息的幾何直觀背景本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)高的特征.當(dāng)信息的結(jié)構(gòu)與幾何直觀不易發(fā)現(xiàn)時(shí)，可能一個(gè)小的動(dòng)作，比如“換元”就使之直觀凸顯，便于進(jìn)一步的思考.

分析：題設(shè)信息中呈現(xiàn)無理式，不易發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)，通過換元，變無理為有理，探究其幾何直觀.

上式可化簡得(u-1)2+(v-1)2=3(u≥0,v≥0),

(1)

則x+y=u2+v2-1.

解讀：由無理換元后為有理式，這是受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練者的自然思維途徑，關(guān)鍵是遇到“u2-2u=2v-v2+1”后，從代數(shù)結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)其幾何直觀——一段圓弧.而目標(biāo)正是要求這一段弧上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方再減1的最大值.

素養(yǎng)水平：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

3.用構(gòu)造圖形的方式來培養(yǎng)直觀想象

構(gòu)造思想是一種創(chuàng)新思維，面對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)式的特征，運(yùn)用直觀想象能力將其轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而簡化代數(shù)運(yùn)算，這也是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的途徑之一.

證明：構(gòu)造如圖，設(shè)AB=a，AC=b，AD=c,∠BAC=∠CAD=60°，∠BAD=120°,

因B,C,D三點(diǎn)可能構(gòu)成三角形或三點(diǎn)共線，所以BC+CD≥BD,

解讀：本題目標(biāo)代數(shù)式看似一個(gè)輪換式(右端有一點(diǎn)差異)，而且每一個(gè)式子的結(jié)構(gòu)都是學(xué)生比較熟悉的余弦定理式，通過構(gòu)造幾何圖形，運(yùn)用幾何方法證明是一個(gè)智慧的選擇，這正是直觀想象的美妙之處！

素養(yǎng)水平：能夠在熟悉的情境中，抽象出實(shí)物的幾何圖形，建立簡單圖形與實(shí)物之間的聯(lián)系；體會(huì)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系；能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠描述簡單圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系及其特有性質(zhì)，能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題，啟迪解決這些問題的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合.

4.展示向量的幾何特征來直觀想象

向量是既有代數(shù)特征又有幾何特征的量，向量的模、向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算以及數(shù)量積都有其獨(dú)特的幾何背景，對(duì)于向量問題充分展示其幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生挖掘其幾何背景也是培養(yǎng)直觀想象的途徑之一.

【例4】已知共面向量a,b,c滿足|a|=3,b+c=2a，且|b|=|b-c|.若對(duì)每一個(gè)確定的向量b，記|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時(shí)，dmin的最大值為

( )

分析：此題條件中涉及到向量的模的條件較多，它是幾何直觀的表現(xiàn)形式的基礎(chǔ)，再加上向量運(yùn)算的幾何直觀，于是通過展示向量幾何特征的方式來探尋突破.

所以x的最大值為2，即dmin的最大值為2.

解讀：抓住“|b-ta|(t∈R)”的幾何意義，并探求其最小值的幾何意義就是點(diǎn)到直線的距離，使問題的幾何直觀想象有了著落，巧妙地運(yùn)用三角知識(shí)搭建變量之間的關(guān)系也體現(xiàn)了代數(shù)直觀的要素.條件“|a|=3,b+c=2a，且|b|=|b-c|”的幾何背景是“等腰三角形一腰上的中線長為3”，條件“|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin”的幾何意義是“中線上的點(diǎn)與等腰三角形頂點(diǎn)之間距離的最小值應(yīng)該是頂點(diǎn)到中線的距離x”，通過幾何圖形的挖掘轉(zhuǎn)化為三角與代數(shù)問題求解，變形與計(jì)算量較少.

分析：題設(shè)中的每一個(gè)信息都有其幾何意義，充分梳理其幾何背景畫出直觀圖形，基本上就解決了此問題！

信息“c與a-b所成的角為120°”說明∠ADC=120°,

從而∠ODB=60°.

解讀：向量問題是直觀載體最豐富的一類問題，稍微動(dòng)用一下想象就可將問題的本質(zhì)挖掘出來，所以通過向量運(yùn)算或性質(zhì)研究來培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力是最普遍的策略！