磁性斯格明子晶格的磁彈現象與機理?

胡楊凡 萬學進 王彪

(中山大學中法核工程與技術學院,珠海 519082)

近年來,人們在一些具有手性相互作用的磁性體材料及薄膜中成功觀測到具有非平凡拓撲性質的二維自旋結構,稱作磁性斯格明子.在大部分情況下,磁性斯格明子自發地聚集成一種晶格結構,稱作斯格明子晶格.孤立的斯格明子由于其奇特的拓撲性質以及優異的電流驅動性質等“局域化特征”受到人們的廣泛關注.與此相對,斯格明子晶格作為一種新穎的宏觀磁性相,可能與材料固有的多場耦合性質發生相互作用進而引發許多奇特的宏觀物理現象乃至新性質.在此范疇內,人們發現由于手征磁體內稟的磁彈耦合,斯格明子晶格不但對材料的力學性質產生影響,而且在外力作用下自身具備“層展的彈性性質”.本文對相關現象進行梳理,并基于一種針對B20族手征磁體磁彈耦合效應普遍適用的熱力學唯象模型,逐一簡述對于不同類型的磁彈現象如何建模分析,進而給出其中一部分現象的實驗與理論結果比對.最后,對這一領域的發展提出幾個可供進一步探索的方向.

1 引 言

斯格明子(skyrmion)的概念最早由Tony Skyrme[1,2]在核物理的范疇提出,是指非線性sigma模型的一個拓撲非平凡的孤子解.隨后人們發現斯格明子出現在橫跨宇觀到微觀的各個尺度的物理體系中[3?7].在非中心對稱的鐵磁性體材料或薄膜結構中,自旋在一定條件下自發地排列成拓撲非平凡的磁性斯格明子,大多數情況下它們由于非共線的Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用而得以穩定存在[8?11].磁性材料中的二維斯格明子有兩種可能的構型,分別是布洛赫型[12?15](圖1(a))與奈爾型[16,17](圖1(b)).材料中具體出現何種類型的斯格明子取決于系統的手性,而手征磁體中布洛赫型的斯格明子較為常見.孤立斯格明子的拓撲特征使其表現出穩定的“粒子”性質[18?20],是人們理解層展物質態存在與演化的突破口.同時,斯格明子能夠被極低密度的電流驅動[21,22]且能引發拓撲霍爾效應[23?27],對新型自旋電子學器件以及高密度存儲器件的研發至關重要.然而,真實材料中發現的斯格明子大多數情況下不會孤立存在,而是自發結晶形成所謂的斯格明子晶格(SkX).2009年,Mühlbauer等[12]通過小角度中子散射在MnSi體材料中首次發現自旋在特定外場條件下形成了二維SkX.此后,人們在B20族手征磁體的體材料[28,29]以及薄膜[13,14,19,30?32]中大量地觀測到穩定的SkX.在納米結構中,人們能夠通過幾何尺寸上的約束[33?36]獲得單個的斯格明子,然而隨著結構尺寸的增加,單個斯格明子迅速演化為斯格明子團簇(圖1(c)),進而變化為SkX(圖1(d)).

圖1 二維斯格明子及其團簇、晶格 (a)布洛赫型以及(b)奈爾型孤立斯格明子示意圖;(c)納米盤中孤立斯格明子隨半徑增大逐漸變化為斯格明子團簇[35];(d)斯格明子晶格[13]Fig.1.2D skyrmions,skyrmions clusters and skyrmion lattices:(a)B loch-type and(b)Neel-type isolated skyrmions;(c)skyrmions in the nanometer disk which transform from isolated state into cluster state with increasing diameter of the disk[35];(d)skyrmion crystal[13].

長程有序的SkX[37]打破了孤立斯格明子的軸對稱,與孤立斯格明子的粒子特征不同,其物理實質為相互耦合的自旋密度波[38].作為一種宏觀磁相,SkX“彌散”在整個材料中,因而導致材料本身各種宏觀性質發生變化,諸如彈性常數[39]、比熱容[40]、磁電阻等[41].與之相比,孤立斯格明子對材料宏觀性質的影響往往可以忽略.另一方面,斯格明子晶格的波本質使其可能出現的結構變得更加豐富,并且這種結構多樣性從孤立斯格明子的角度難以解釋.例如,人們在實驗上觀測到斯格明子晶格會發生所謂的結構相變[29,42],即從六角晶格變化為四方晶格.這類相變發生前后兩種晶格的波矢模長基本不變,意味著晶格中的斯格明子有效半徑發生了跳變,也就是說兩種晶格中的斯格明子具有截然不同的尺寸.

由于手征磁體內稟的磁彈相互作用,材料內部的斯格明子及其晶格在外力作用下引發豐富的磁彈耦合現象,一般來說可分為兩類.一類現象體現外力對斯格明子及其晶格的影響.首先,此中研究得最多的現象就是通過外力調整斯格明子晶格相在磁場-溫度相圖中穩定區域的大小.人們在理論[43?46]與實驗[47?54]上都發現,對材料施加單軸拉伸或壓縮可以達到這一目的.對于薄膜結構,可以通過基底與薄膜之間的晶格失配施加應變,從而同樣達到調節斯格明子晶格穩定性的目的[31,55,56](見圖2).其次,單軸拉伸還能影響斯格明子的生成、湮滅以及基本性質.Ghimire等[57]通過第一性原理計算發現較強的磁彈耦合相互作用可能使材料出現非共線的磁性基態.Liu等[58]發現單軸應力能夠將磁疇“切”成斯格明子.Chen等[59]發現單軸拉伸可以改變斯格明子手性,導致混合手性斯格明子的出現.Li等[60]發現可以通過對材料施加應力控制斯格明子的生成以及在電流中的運動軌跡.最后,外力還會導致SkX發生層展變形.2015年,Shibata等[28]通過洛倫茲透射電子顯微鏡(TEM)發現對FeGe薄膜施加0.3%的單向拉伸應變后,材料內部的SkX出現了高達20%的單向層展應變(見圖4(a)—(c)).這一實驗結果說明SkX具有極好的“層展彈性”,且該性質獨立于底層材料的剛度.隨后這種層展彈性現象在MnSi中也得到驗證[47,61].Hu與Wang[62]推導了描述SkX層展彈性的線性本構方程,構建了定量描述這一現象的解析理論.

另一類現象體現SkX的出現對于材料自身力學性質的影響.首先,磁彈耦合使得SkX總是伴隨著一個周期變化的內稟彈性場[63].在自由邊界上,其中的內稟應力場的釋放形成一個周期分布的凹凸不平的表面構型,稱為SkX的表面形貌[64].其次,當材料磁極化相變到斯格明子晶格相的過程中,材料的彈性常數發生跳變[39,65,66,67],Zhang等[68]在理論上構建了聲子-磁振子耦合理論對此進行了解釋.最后,材料的動力學性質(聲子譜)受到斯格明子晶格的影響[69,70].上述現象說明材料內部彈性場與磁性斯格明子及其晶格之間相互影響,其中蘊含豐富的物理,而對此的明晰是發展斯格明子及其晶格“應變工程”的基礎.

在針對某個特定的材料中某種磁彈耦合現象進行專門研究的過程中涌現出若干有效的理論方法,然而其中大部分方法局限性較大.與此相對,要建立一個針對某一類材料的各種磁彈耦合現象普遍適用的理論則非常困難.Hu與Wang[71]基于B20族材料的對稱性推導了包含必要高階磁彈相互作用的Landau-Ginzburg泛函,并在此基礎上定量解釋了與典型材料MnSi相關的若干磁彈耦合現象,在此方面推進了一步.本文以這一套理論方法為脈絡,首先分類梳理上述磁彈耦合現象,再簡述如何基于這一理論研究相應的磁彈耦合問題,并給出相應實驗與理論結果的對比,最后給出斯格明子磁彈耦合范疇內我們認為較為重要的幾個發展方向.

2 B20族手征磁體在磁場-溫度場-彈性場耦合作用下的朗道-金茲堡泛函

針對手征磁體磁彈耦合現象的研究由來已久.早期的理論工作主要可分為以下兩類:一類是基于立方對稱鐵磁體的磁致伸縮理論[72](稱作K理論);另一類是基于針對MnSi中的自旋密度波相(或稱圓錐相)發展的磁致伸縮理論[73](稱作P理論).然而,使用這兩類理論解釋許多與斯格明子及其晶格相關的磁彈耦合現象卻并不成功,其主要原因在于這兩類理論使用的磁彈耦合相互作用泛函被過度地地簡化了.Hu與Wang[71]基于群論推導了針對B20族手征磁體普遍適用的磁彈耦合相互作用泛函,除P理論中描述的泛函項外,還包含了另外兩類高階相互作用泛函項.以此為基礎,它們拓展了B20族手征磁體的朗道-金茲堡自由能密度泛函[7,10,74],適用于分析手征磁體在磁-溫-彈耦合場作用下的行為:

其中M=[M1,M2,M3]T表示磁極化向量;εij表示應變分量;T表示溫度;Ms表示接近絕對零度時測得的飽和磁極化;M2=M21+M22+M23.方程(1)中第一項源自交換相互作用,A表示其強度;第二項源自DM相互作用,D表示其強度;第三項表示外磁場B引起的Zeeman能密度;α(T?T0)M2+βM4表示自由能密度朗道展開的二次以及四次項;wan,wel以及wme分別表示各向異性能密度、彈性能密度、以及磁彈耦合能密度.它們的表達式分別可展開為:

其中

方程(2)中第一項源自交換各向異性,Ae表示其強度;第二項源自磁晶各向異性,Ac表示其強度.方程(4)將磁彈相互作用分為三部分,其中wme0給出的泛函形式與P理論一致,wme1與wme2則給出兩類高階磁彈耦合相互作用,K,Li(i=1,2,3),LOi(i=1—6),L2i(i=1,2,3)等為磁彈耦合系數.后面會看到,wme1描述的部分對于理解材料彈性常數C11以及C33隨外磁場的變化至關重要,而wme2描述的部分對于理解材料彈性常數C44以及C66隨外磁場的變化至關重要.從泛函展開的角度而言,wme2是wme1的高階項,wme1又是wme0的高階項,因此在討論某些特定問題時wme2可忽略不計.

若材料的應變εij被約束(或說材料受到位移約束),則磁彈耦合對手征磁體平衡態性質的影響可通過分析wme對于方程(1)中其他他項的影響獲得.例如,wme0中的項會影響朗道展開二次項α(T?T0)M2的系數.在給定應變約束εij時,磁彈耦合對平衡態性質的影響不僅依賴于材料的磁彈耦合系數(K,L1,L2,L3等),更依賴于其與相應熱力學參數(在本例中為α)的相對大小.為方便討論,可將方程(1)給出的泛函重整化為如下的形式:

x與r分別為重整化前后坐標矢量,通過這一變換得到的是無量綱化的磁極化m以及應變εij的泛函,且與的表達式形式可通過如下變換從方程(2)—(9)直接導出:

方程(12)中的重整化系數與原系數之間滿足

與方程(1)相比,方程(10)的形式更具普適性.此時磁彈相互作用對斯格明子及其晶格的影響完全取決于方程(13)中列出的重整化系數.

3 斯格明子晶格相的波本質及其平衡態性質

自斯格明子晶格相在手征磁體中被發現以來,一個備受爭議的基本問題是應該將其理解為耦合的自旋密度波還是拓撲磁性層展粒子的簡單堆砌.“粒子”派認為SkX中的斯格明子之間存在相互作用,然而這種相互作用僅僅擾動了其中斯格明子的邊緣區域,而每個斯格明子仍然具有一個面內軸對稱的“核”[7,75].反之,“波動”派認為被廣泛觀測到的具有六角對稱的SkX可被近似為一個常向量與三個具有不同波矢方向的自旋密度波的疊加[12,29,37].在大部分體材料[12,28,29]與相應薄膜[13?15,30,31]中,斯格明子都以晶格態存在;同時人們還發現其他層展磁性粒子(如雙斯格明子[76,77]以及反斯格明子等[78])均形成相應的晶態.這些實驗現象說明層展晶態的波-粒本質爭議具有一般性.同時,這一問題的解答至少具有以下兩重顯著的價值:1)層展晶態的波表述與粒子表述在數學上互不相容,因此只有解決這一議題才能明確任何層展晶格的準確數學表達式;2)兩種表述具有不同的局部對稱性,因此這一議題的答案決定了層展晶態中的粒子是否保持孤立層展粒子的許多物理性質(例如拓撲保護).不考慮磁彈耦合作用時(即在方程(10)中忽略以及),Hu[38]運用泛函分析證明了任何長程有序的層展晶態具有波本質,也就是說這些狀態對應的數學表達式可寫為一個傅里葉級數.對于任一二維層展晶態,其序參量可寫為如下形式的n階傅里葉表述:

其中ni表示第i階展開中波矢的個數;qij表示第i階展開中第j個波矢;si表示i階展開波矢模長與1階展開波矢模長q的比值,為一個遞增的正實數序列,其取值與晶格結構有關.六角晶格對應的si值見表1.應注意方程(14)以及下文中,與下標i具有不同含義.

將方程(14)形式的解代入方程(10),積分后可得

因此mqij可以展開為

而

表1 六角晶格對應傅里葉表述的詳細信息Table 1.Detail in formation related to the Fourier representation of hexagonal lattices.

圖2 (a)MnSi體材料磁場-溫度相圖[12],其中A-phase指斯格明子晶格相;(b)FeGe薄膜磁場-溫度相圖[31],其中高亮且標Sk X的區域為穩定的斯格明子晶格相,內插圖高亮標注的區域為FeGe體材料穩定的斯格明子晶格相Fig.2.(a)Magnetic field-temperature phase diagram of bulk MnSi[12],in which A-phase stands for the skyrmion lattice phase;(b)magnetic field-temperature phase diagram of FeGe film[31],in which the region high lighted and labeled with Sk X is the sTable skyrmion lattice phase,the high lighted region in the inset rep resents the sTable skyrmion lattice phase of bulk FeGe.

4 材料的受力與變形對斯格明子晶格性質的影響

手征磁體作為鐵磁體中的一小類,具備內稟的磁彈耦合性質.SkX作為手征磁體中的磁極化可能呈現的一種宏觀狀態,必然受到外力作用的影響.本節我們從兩個方面探討材料的受力與變形對磁性SkX性質的影響.

4.1 外力與變形對斯格明子晶格穩定性的影響

斯格明子晶格相最初在MnSi體材料中被發現時[12],只能穩定存在于溫度-磁場相圖右下方的一個狹小的口袋狀區域中.隨后,人們在實驗中觀測到在外延生長的Fe0.5Co0.5Si[13],FeGe[14,31]以及MnSi[56]薄膜中,SkX在相圖中的穩定區域與體材料相比大大增加.由于外延生長的薄膜與基底之間總是存在失配應變,這一實驗現象由此成為應力應變能夠影響斯格明子晶格穩定性的第一個證據.在理論上,Butenko等[43]在自由能密度泛函中引入單軸各向異性項,發現能夠通過調控各向異性的大小來穩定非中心對稱的鐵磁體中的斯格明子晶格相,并認為這一機制可以解釋外延薄膜中斯格明子晶格相的穩定性.該理論的遺憾之處在于自由能密度泛函中并不顯含應變,因此無法得知單軸各向異性是如何通過外延薄膜受到的失配應變產生的[79].此后,Nii等[48]在MnSi的單軸拉伸壓縮實驗中得到更直接的證據:單軸拉伸或壓縮能夠有效地調節斯格明子晶格相在相圖中的穩定區域.Hu與Wang[71]基于第2節給出的熱力學模型定量解釋了這一實驗結果,我們在此簡述其思路.

首先,在給定的溫度、磁場以及應力條件下,我們通過方程(10)給出的自由能密度泛函求出給定應力邊界條件下的應變解.由本構關系有

其中

在方程(20),(21)中,具有上標“*”的參數定義如下:

對于任意非共線的周期磁極化態,彈性應變的解都可以分解為均勻部分與周期部分:,其中.因此,可通過對方程(19)進行體積分來求解,而的求解方法會在5.1節介紹.值得注意的是,由方程(19)可知即使材料不受任何外力(即),材料內部均勻應變仍然可解為.由此公式求出的均勻應變稱作磁性材料的磁致伸縮應變.

其次,選擇一個特定的磁性相,以斯格明子晶格相為例,則m具有方程(14)的形式.將此具體形式代入上面求出的以及的表達式中,再以替代方程(10)中的應變分量,則推導后可得.求的極小值,以確定mFn.

再次,對所有可能出現的磁性相(如螺旋相、圓錐相、鐵磁相等),重復上一步的求解過程.然后比較所有磁性相對應的自由能極小值,找到其中的最小值,則對應的相就是給定磁場、溫度以及應力條件下的平衡態.

最后,改變磁場以及溫度條件,重復上述過程,則最終可以得到給定應力條件下手征磁體的磁場-溫度相圖.任意其他兩個熱力學參數構成的相圖可以用類似的方法求得.

表2 MnSi體材料的熱力學參數[71]Table 2.Thermodynamic parameters of bulk MnSi[71].

圖3 MnSi體材料在不同方向受單軸壓縮對應的溫度-磁場相圖的實驗結果[48]與理論計算結果[71](a)—(c)磁場方向沿z軸,壓力作用于[1,1,0]T方向;(d)—(f)磁場與壓力作用方向均沿z軸;(g)—(i)磁場與壓力作用方向均沿[1,1,1]T方向;(j)—(m)磁場方向均沿z軸,壓力方向(j),(k)沿z軸,(l),(m)沿[1,1,0]T方向Fig.3.Experimental results[48]and theoretical calculation results[71]of temperature-magnetic field phase diagram of bulk MnSi subjected to uniaxial compression in different direction:(a)–(c)The magnetic field is along z-axis,the pressure is along[1,1,0]T direction;(d)–(f)the magnetic field and the pressure are all along z-axis;(g)–(i)the magnetic field and the pressure are all along[1,1,1]T direction;(j)–(m)the magnetic field is along z-axis,the pressure is along(j),(k)z-axis,(l),(m)[1,1,0]T direction.

基于這一思路,可計算MnSi體材料在四種不同條件的單軸壓縮作用下的磁場-溫度相圖(見圖3(j)—(m)),對比可知其與相應的實驗結果[48](見圖3(a)—(i))定量地符合.由此可得出結論:面外單軸壓縮縮小SkX在磁場-溫度相圖中的穩定區域,而面內單軸壓縮擴大斯格明子晶格在磁場-溫度相圖中的穩定區域.進一步分析可知[71],對這一現象起決定性作用的是中的這一項.

4.2 斯格明子晶格的層展彈性力學

2015年,Shibata等[28]發現FeGe薄膜在0.3%的單向拉伸應變作用下,材料內部的SkX出現了高達20%的單向層展應變.隨后,在針對MnSi的單向拉伸實驗中,Fobes等[47]觀察到類似的現象.這說明手征磁體底層的原子晶格與層展的SkX同樣具有“彈性”,即在外力作用下會發生變形,且兩種晶格的彈性剛度相差較大(對于FeGe來說相差兩個量級).Hu與Wang[62]在第2,3節介紹的熱力學模型的基礎上,推導了描述斯格明子晶格“層展彈性”的線性本構方程,并且將方程中的線性系數解析表達為底層材料熱力學參數的函數.下面簡介這一理論的基本思想和結果.

在方程(14)中我們給出斯格明子晶格的傅里葉表述時,曾給出了的假設.這一假設將SkX的結構固定為六角晶格,然而考慮材料自身的各向異性(反映在方程(10)中的,或者外荷載的作用時,這種六角對稱會被打破,從而導致斯格明子晶格結構的變形.為了在數學上描述這種變形,我們首先不失一般性地選擇q11,q12作為斯格明子晶格的倒格矢.與原子晶格相仿,SkX的倒格矢與正格矢之間總是保持著如下的正交關系:

其中a1,a2為斯格明子晶格的正格矢.當晶格發生變形時,原始正格矢變化為變形后的正格矢根據柯西-波恩定律[80],我們引入層展應變(i,j=1,2)以及層展扭轉角ωe,將變形前的正格矢映射到變形后的正格矢

而層展應變與層展扭轉角又可通過層展位移場(i=1,2)定義:.將方程(23)代入方程(22),變形后的倒格矢與可表示為與ωe的函數,而可通過關系求出.對于二維六角晶格,不失一般性地假設,推導后可得

這里我們將彈性應變拆分為如下形式:

為研究獨立變量之間的線性耦合,我們對系統施加一個微擾場,對應的線性本構關系可寫為

其中

而

方程(34)—(37)中定義的向量σe,,ba,Fq分別是對應的熱力學共軛變量,其中的σe分量稱作層展應力分量,為矢量形式的均勻彈性應力,ba的前三個分量為均勻外磁場分量,其他分量為周期變化的磁場的幅值,Fq的分量與外加的周期應力場有關.而所有變量的前綴“d”表示對變量的小擾動.方程(30)—(33)給出描述斯格明子晶格層展彈性變形的線性本構關系.由這組方程可知,均勻應力場、周期應力場、均勻磁場、周期磁場以及層展應力場均可導致斯格明子晶格的彈性變形,而對應的線性系數矩陣可通過方程(38)給出的定義由平均自由能密度解析求得.其中我們將Ce稱為層展彈性剛度矩陣,將h稱為層展壓彈系數矩陣.

考慮一種特殊情形,即系統只受到均勻應力荷載擾動,此時有dσe=0,dba=0,dFq=0.而方程(30)—(33)可簡化為

或者

其中

而

我們將方程(41)定義的4×6矩陣λ稱作層展應變率矩陣.它表征受外力作用時,底層材料應變與表層斯格明子晶格層展應變之間的比值.

由于從現有實驗結果難以獲取FeGe完整的熱力學參數,圖4中給出了FeGe薄膜層展變形的實驗結果[28]與MnSi體材料層展變形的理論計算結果的對比[62].在針對MnSi體材料層展彈性的計算中發現其層展彈性性質對于外磁場的變化非常敏感.值得注意的是,隨著外磁場的增加,MnSi內斯格明子晶格的起主導作用的層展應變率矩陣系數λij均會發生“變號現象”,也就是說,在相同形式的外力荷載作用下,低場下的斯格明子晶格與高場下的斯格明子晶格會表現出截然相反的層展變形模式.

圖4 (a)—(c)洛倫茲力TEM觀測的FeGe薄膜在單向拉伸前(a),(b),后(c)的斯格明子晶格[28],其中(a)觀測溫度260 K,(b),(c)觀測溫度94 K;(d)—(g)理論計算MnSi體材料內的斯格明子晶格在受到應力作用前(每張小圖中黑色虛線)、后(邊框實線)的魏格納-塞茲原胞示意圖[62],圖中背景顏色反映磁極化z軸分量的空間分布,分布箭頭表示反映磁極化面內分量的空間分布,其中箭頭長短表示面內極化分量大小;(d)—(f)分別受到x,y以及z方向大小0.02的單向拉伸變形;(g)受到xy平面內大小0.02的剪切變形Fig.4.(a)–(c)Observed Lorentz TEM images of the skyrmion lattices in FeGe film before(a),(b)and after(c)uniaxial tension[28],the observation temperatures of(a)and(b),(c)are 260 K and 94 K,respectively;(d)–(g)theoretically calculated Wigner-Seitz cell of skyrmion lattice in bulk MnSi before(region enclosed by black dotted lines)and after(region enclosed by black full lines)stress loads[62],the background color reflects the magnitude of z-component of magnetization,the arrows reflect the distribution and magnitude of in-plane components of magnetization;(d)–(f)uniaxial tensile deformations of 0.02 along x-,y-and z-direction;(g)shear deformation of 0.02 in xy-plane.

5 斯格明子晶格對材料力學性質的影響

由于材料的磁彈耦合效應,SkX的存在會反過來影響帶料的力學性質.本節從兩個方面分析這種影響.

5.1 斯格明子晶格的內稟彈性場及表面形貌

5.1.1 斯格明子晶格的內稟彈性場

在4.1節我們發現材料的磁彈耦合效應使其在不受任何外力的情況下仍然會產生應變.由于斯格明子晶格相的極化隨空間周期分布,產生的應變包含一部分均勻的磁致伸縮應變,和一部分周期變化的應變[81].后者對應于一個隨空間周期變化的本征應變問題[82],其解析解由Hu和Wang[63]給出.由該解析解可知斯格明子晶格相對應于一個非平凡的周期應力,因此在任意自由表面無法滿足其自由邊界條件.非平凡的周期應力在自由表面的釋放導致材料表面產生一個周期位移,由此形成凹凸不平的表面形貌.Wan等[64]求解了這一問題的解析解.本小節我們簡要介紹這兩個問題的求解思路.

將本構方程(19)代入到平衡方程中,同時代入小變形假設下的幾何方程,則有

這里,Xi(i=1,2,3)可看作由本征應變引起的體力.

假設磁極化m(r)及位移u(r)為空間周期函數,表示為

當系統不受外部力學載荷時,Uq可通過求解手征磁體的本征應變問題得到

Xq由求得.

當系統的磁極化狀態確定時,其彈性場由方程(46)完全確定.SkX或任意一種層展晶態的磁極化可表示成如方程(14)所示的一個傅里葉級數,對于每一個特定的波矢q,可運用方程(43)—(47)給出的方法求出Uq,從而最終解出對應的周期位移解.由位移解u(r)可求出總應變εij(r),從而確定彈性應變并最終通過方程(19)求出周期應力解.由方程(20),(21),(44)可知本征應變引起的體力X是磁極化m的非線性函數,因此位移解u(r)和應力解包含m的高階項.Hu與Wang[63]采取“3Q”近似描述斯格明子晶格[12],求解了相應的本征位移場與應力場,發現后兩者均由三個“3Q”周期場構成,波矢模長分別為q,以及2q,其中q為極化“3Q”波矢的模長.

可以證明[63],SkX的本征位移解和應力解與其磁極化分布具有相同的晶格矢量及周期.對于手征磁體,該周期由DM相互作用及交換能密度決定,而與底層原子晶格的周期無關,這直接證明處于磁性斯格明子晶格相的材料發生了公度-非公度相變.

周期彈性場為平衡磁極化的函數,因此會隨著溫度和磁場變化.溫度從0 K升高到臨界溫度時,磁極化強度逐漸減小到零,“3Q”結構中的矢量也會慢慢減小,但其結構形貌幾乎不發生變化.另一方面,本征位移場(如圖5(a)—(d)所示)與應力場對外加磁場的變化很敏感.這種變化是由于波矢模長為q的“3Q”本征位移場與應力場隨著磁場的增加會發生“構型翻轉”.

5.1.2 斯格明子晶格的表面構型

我們在5.1.1小節求解了體材料在斯格明子晶格相時的本征彈性場,沒有考慮表面邊界條件的作用.本小節我們考慮表面自由邊界條件的影響,研究半無限大立方螺旋磁體的彈性問題.

對于一個穩定在斯格明子晶格相的半無限大材料,為了滿足應力自由邊界條件,必須在表面施加與斯格明子引起的本征應力等大反向的面力:

圖5(e)—(h)分別表示4 K條件下0.1,0.2,0.3,0.4 T時總的法向位移場.如圖所示,斯格明子晶格的表面構型由具有周期排列的鼓包與谷地構成.與本征彈性場類似,此表面構型隨外磁場的變化非常敏感.

當材料中存在電流場[21,83]或溫度梯度場[84]時,斯格明子會發生運動.對于以速度v運動的斯格明子,描述其磁極化需引入平移變換r→r?vt,則有m=m(r?vt).相應地,本征彈性場的解以及表面構型的解也應將r變為r?vt.因此,本征彈性場以及表面位移場隨著斯格明子一起運動.如4.2節所述,當材料受到力學荷載時,SkX會產生層展變形.變形SkX的波矢可表達為層展應變的函數.此時,波矢的變化直接影響本征彈性場以及表面位移場對應的波矢.也就是說,它們隨SkX的變形而變形.從材料力學性質的角度考慮,這說明斯格明子的出現賦予了材料新的力學性質.反過來從斯格明子的角度考慮,材料內稟的磁彈耦合賦予斯格明子這種磁性拓撲粒子“力學性質”.更廣泛地說,擁有更豐富多場耦合性質的材料內部產生的斯格明子將具備更多樣的物理性質.類似的例子是多重鐵性材料中發現的周期分布的電極化場構型[85].

圖5 (a)—(d)MnSi體材料內Sk X對應的內稟周期位移場隨磁場的變化圖[63],計算溫度4 K,磁場(a)0.1 T,(b)0.2 T,(c)0.3 T,(d)0.4 T;(e)—(h)MnSi處于斯格明子晶格相時的表面構型隨磁場的變化[64],計算條件與(a)—(d)一一對應相同Fig.5.(a)–(d)Intrinsic periodic displacement fields corresponding to SkXin bulk MnSi in different magnetic field[63],the calculation temperature is 4 K,the magnetic field is(a)0.1 T,(b)0.2 T,(c)0.3 T,(d)0.4 T;(e)–(h)surface configurations of MnSi hosting skyrmion lattice phase in different magnetic field[64],the calculation conditions are the same as(a)–(d).

5.2 手征磁體材料彈性系數隨磁場的變化

SkX對材料力學性質的影響還體現在材料彈性系數在圓錐-斯格明子晶格相變以及斯格明子晶格-圓錐相變的過程中會發生跳躍,且各個系數的變化規律各異.Hu與Wang[71]基于2,3節的熱力學框架構建了這一問題的分析方法,下面簡述其思路.

根據熱力學理論[86],方程(10)給出了系統的Helmholtz自由能密度,可由此對應變求二階偏導得出材料在給定磁極化以及溫度下的彈性系數:其中矢量ε與方程(26)形式相同.然而實際測量材料彈性常數的環境卻是在給定外磁場以及溫度的條件下進行的.因此我們需要使用雅各比變換的方法[87]通過Helmholtz自由能密度求得給定溫度、磁場下的彈性系數.具體求解方法如下.

假設在約化溫度t以及約化磁場作用下,材料的平衡態是斯格明子晶格相.則磁極化可用n階傅里葉表述寫為其中m03的熱力學共軛變量為b3,而的熱力學共軛變量為給定溫度、磁場下的彈性常數可以推導為

此表達式的復雜性隨著傅里葉表述階數n的增大而急劇升高.對于最簡單的“3Q”表述,我們有m=mtripleQ(m0,mq1,q),此時上式簡化為

圖6給出了上述理論計算的MnSi各個彈性常數隨磁場的變化曲線[71]以及對應的實驗結果.可以看到所有參數的理論預報與實驗測量定量符合.

圖6 MnSi彈性常數隨磁場變化的實驗與理論[71]結果對比 (a)實驗測得C11與C33隨磁場變化曲線[39];(b)實驗測得C44與C66的變化量隨磁場變化曲線[66];(d)—(f)理論計算的所有彈性常數變化量隨磁場的變化曲線Fig.6.Comparison of experimental and theoretical results[71]of the MnSi elastic coefficients varying with magnetic field:(a)Experimental measurement of C11 and C33 as a function of magnetic field[39];(b)experimental measurement of C 11 and C33 as a function of magnetic field[66];(d)–(f)theoretical calculation of elastic coefficients as a function of magnetic field.

6 展 望

綜上所述,對于磁性SkX的磁彈現象及其機理的研究在近年來取得了長足的進展,并越來越受到關注.然而,現階段這一領域的研究大多數有以下三個局限性:1)研究對象局限于簡單的磁性斯格明子晶格;2)外力荷載局限于單軸拉伸;3)研究問題局限于靜態問題.我們認為對這三個局限的打破對應于此新興領域的三個發展方向.

首先是研究對象的拓寬.一方面,導致斯格明子等手性自旋層展結構出現的DM相互作用不僅可以來源于體材料內稟的中心對稱破缺,也可以來源于表面引起的中心對稱破缺.實際上,表面或界面導致的手性相互作用為新型手性層展結構的探索打開了一扇新的大門.薄膜與多層結構中陸續發現大量新穎的層展自旋結構以及現象,讀者可參考相關綜述深入了解[32,88?91].另一方面,磁性斯格明子并不一定只能出現在鐵磁材料中.近期人們成功地在反鐵磁體[92?95]和亞鐵磁體[96,97]中觀測到斯格明子的存在,且相應的動力學性質與鐵磁材料中的斯格明子存在顯著差異.這些新型手性自旋結構是否存在與斯格明子類似的磁彈耦合現象以及是否能夠通過施加外力進行調控,是亟待研究的問題.

其次是荷載形式的多樣化.一種方式是施加造成非均勻應力場的荷載形式,例如考慮彎曲變形對斯格明子晶格的影響,又如考慮柱體扭轉這種具有手性的變形形式對材料內部斯格明子晶格的影響.另一種方式是考慮材料內部缺陷或微結構引起的局域彈性場對斯格明子及其晶格的影響.對此,實驗上已經知道材料內部的缺陷不但會使運動中的斯格明子發生“釘扎”現象[98],更可能產生新的自旋準粒子構型[99]乃至層展“磁單極”[100].固體力學廣為人知的一個結論是:遠場作用下,缺陷周圍必然出現奇異且迅速衰減的應力場.因此,斯格明子及其晶格與缺陷的相互作用有可能以局域化的應力、應變場為媒介,其中物理機制的明晰對實際材料中斯格明子及其晶格的性能調控非常重要.

最后是動力學相關問題的研究,此方面問題的探究也分為兩個層次.一是力學荷載作用下斯格明子及其晶格在電流或溫度梯度等外場作用下的動力學行為.上文已經提到,外力作用為材料引入附加的各向異性,從而必然導致斯格明子動力學性質乃至運動軌跡的各向異性.基于簡化的磁彈耦合泛函,Li等[60]在此方面進行了初步理論研究.為考慮更復雜的荷載形式以及獲得更準確的定量結論,有必要基于本文綜述的磁彈耦合泛函進行深入探討.二是從根本上明晰斯格明子與聲子等元激發的動態耦合,探究基于彈性波或聲子振動驅動斯格明子及其晶格的可能性.在這方面,Ogawa等[101]在實驗上發現激光脈沖驅動磁泡運動時是通過耦合的聲子與自旋波——稱作磁彈耦合波——實現的.Ivanov等[69]解釋中子散射實驗與第一性原理計算,證實FeSi中出現的非共線磁性相導致材料聲子的重整化.Nepal等[102]在理論上發現可以通過反向傳播的表面波驅動斯格明子.整體上說此方向的研究方興未艾,而這些現有的工作為我們進一步探索提供了一定思路.