時滯類Lorenz系統的Hopf分支

李文娟，牛瀟萌

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

1 引言

近幾十年來,類洛倫茨系統的研究進展迅速,大量的類洛倫茨模型被學者提出并研究.類洛倫茨系統的研究在許多方面取得了重要的成果[1-7].

1963年美國著名氣象學家洛倫茨在研究區域小氣候時,提出了第一個經典的洛倫茨系統

此系統在混沌學歷史上有著重要的地位.

2008年Mello等提出了一類洛倫茨系統

其中x,y,z狀態變量，a,b,c,d為系統參數.該系統僅有兩個非齊次項，與其他系統相比，形式更加簡潔所以電路便于實現，故其應用價值較大.2015官國榮等提出了一類洛倫茨系統

其中x,y,z狀態變量，a,b,c,d為系統參數.此系統是將Tee系統中第一項增加了一個控制參數,第三個非線性方程中xy改為x2.因時滯現象在各系統中普遍存在,基于此,2017年李文娟等提出了帶時滯的類洛倫茨系統

其中 x,y,z狀態變量，a,b,c,d為系統參數,τ＞0為系統時滯.

本文的主要結果是將文獻[2]的系統(1.1)中第一項增加了一個控制參數,第三個非線性方程中的-cz改為-cz(t-τ)得到一類新的時滯類Lorenz系統.然后,通過對該系統在零平衡點的線性化系統的擬特征方程的根的分析給出此系統在零平衡點的穩定性問題和發生Hopf分岔的條件.

2 主要結果

本文考慮時滯類Lorenz系統

其中x,y,z狀態變量,a,b,c,d為系統參數,τ＞0為系統時滯. 設系統參數 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0. 系統(2.1)的平衡點滿足下式：

由(2.2)式知系統(2.1)的平衡點有三個，O(0,0,0)為其中一個.

在平衡點O(0,0,0)處易求得線性化系統

線性化系統（2.3）對應的特征方程為

行列式(2.4)可化為

其中p1=a,p2=-abe,q1=c,q2=ac,q3=-abce.

引理1假設τ=0則系統 (2.1)在平衡點O(0,0,0)處是漸近穩定的.

證當 τ=0時，式(2.5)轉化為

因 為 系 統 參 數 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0, 所 以p1+q1=0,q3＞0 且有

根據羅斯—霍維茲(Routh-Hurwitz)判據可知,式(2.6)的所有特征根都具有負實部.所以當τ=0時,系統(2.1)在平衡點O(0,0,0)處是局部漸近穩定的.

當 τ＞0時,設 λ=iω（ω 是大于零的常數）是式(2.5)的一個純虛根,則虛部ω滿足

根據復數相等可得

對(2.9)式有以下結論.

引理2式(2.9)至少有一個正實根.

證令u=ω2,則式(2.9)可化為

函數（2.11）可化為

由（2.11）和（2.12）式得

根據函數零點存在定理,至少存在一個實數u0∈(0,+∞),使得 f(u0)=0.所以式(2.10)至少有一個正實根.因為u=ω2，從而式（2.9）至少有一個正實根.

設 ω0為式（2.9）的正實根，則式(2.5)有一純虛根 iω0.又由式（2.8）得

將ω=ω0代入方程(2.13),則時滯τ的值為

第三，可以考慮在中學和初級學院的華文文學課程中融入比較文學的理論和方法，指導學生在比較文學的視域中，了解本地文學、中國文學和世界文學。

因此(ω0,τk)是式(2.5)的解,即當時滯 τ=τk時,λ=±iω0是式(2.5)的一對共軛的純虛根.

設 τ0=min{τk},則時滯 τ=τ0是式(2.5)出現純虛根λ=±iω0時 τ的最小值.

引理 3如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0,τ=τ0, 那么式(2.5)有一對純虛根 λ=±iω0.

設式(2.5)的特征根 λ(τ)=iω(τ),滿足 ω(τk)=ω0.

引理 4如果 f'(ω02)＞0 則

證對式(2.5)的兩邊關于τ求導可得

由式(2.5)可得

將式（2.16）代入式(2.15)可得

由(2.17)式和 λ(τk)=iω0,可得

將 λ(τk)=iω0代入式(2.5)可得

由(2.19)式可得

由(2.19)式和(2.20)式可得

根據引理4和Hopf分岔理論可得下面結論．

定理如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0 且 f'(ω02)＞0，那么

（1）當 τ∈[0,τ0]時，系統(2.1)在平衡點 O(0,0,0)是漸近穩定的；

（2）當 τ＞τ0時，系統(2.1)在平衡點 O(0,0,0)是不穩定的；

（3）當 τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(2.1)在平衡點 O(0,0,0)處發生Hopf分支，產生極限環.

3 數值仿真

時滯類Lorenz系統 (2.1)的參數a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0，令 a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，這時系統(2.1)可化為

利用Matlab軟件計算得式（2.9）的正實根ω0=6.6588，f'(ω02)＜0，式（2.13）中 τ0=0.0738.

推論若a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，則

（1）當 τ∈[0,0.0738]時，系統(3.1)在平衡點 O(0,0,0)是局部漸近穩定的；

（2）當 τ＞0,0738 時，系統(3.1)在平衡點 O(0,0,0)是不穩定的；

（3）當 τ=0.0738+0.1502kπ(k=0,1,2,…)時，系統(3.1)在平衡點O(0,0,0)處發生Hopf分岔，產生極限環.