線性代數中的一題多解與一題多變

黃新宇

（1.皖西學院 金融與數學學院；2.皖西學院 金融風險智能控制與預警研究中心，安徽 六安 237012）

線性代數作為大學各專業重要的公共基礎課之一，同時也是為非數學類專業開設的一門主要基礎課和考研必考課.由于這門課程起點不高，但是概念、公式繁多，定義，定理證明較多，缺乏實例，給人的感覺非常抽象并且不實用，這一課程特點給線性代數的教與學習帶來一定的難度.因此在教學過程中培養學生的數學學習興趣和創新思維能力顯得尤為重要.創新思維能力的核心是發散思維.什么是發散思維呢？發散思維屬于創造性思維，是一種沿不同方向、途徑和角度去設想、探求多種答案，最終使得問題獲得圓滿解決的思維方法[1].“數學的新思維、新概念和新方法主要來源于發散思維”.下面以行列式的計算為例來談線性代數中一題多解和一題多變.

1 一題多解

例1計算六階行列式D6=

分析：該行列式的特點是主對角線和次對角線上只有兩種元素，其余元素為0.由于該行列式階數較高，且具有較低階的相同結構，于是對行列式降階從而揭示其內部規律也是我們的一個基本想法，即一個行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，也就是遞推法.

解法一：可以將行列式按行（列）展開，展開后可得

都按最后一行展開4D4-6D4=-2D4

由此可得遞推公式

解法二：應用拉普拉斯定理[2]展開行列式，按照第一行和第六行展開，

解法三：先把行列式的第六行依次與第五行…第二行對換（作四次相鄰兩行的對換），再把行列式中的第六列依次與第五列…第二列對換（作四次相鄰兩列的對換），得到

解法四：利用分塊矩陣計算行列式，

命題1[4]設是一個四方塊n階矩陣，其中A，B，C，D 分別是 r×r，r×（n-r），（n-r）×r，（n-r）×（n-r）階矩陣，則

（1）若A可逆，則|P|=|A||D-CA-1B|;

（2）若D可逆，則|P|=|D||A-BD-1C|.

將此行列式分成四塊

所以根據命題1得

解法五：應用MATLAB數學軟件求解.

輸入命令：

》A=[1 0 0 0 0 2;0 1 0 0 2 0;0 0 1 2 0 0;0 0 3 4 0 0;0 3 0 0 4 0;3 0 0 0 0 4];

》x=det(A)

輸出結果為：

X=-8.000

對上述幾種解題方法總結，像這種只有主對角線和次對角線上有元素的行列式的解法一、二和三都是把一個行列式表示為具有相同結構較低階行列式的線性關系式，再根據此關系遞推求得行列式的值.解法四利用分塊矩陣化繁為簡進行計算，解法五借助數學軟件MATLAB編寫命令可以得出答案.解法五最為簡便，但是數學軟件只能計算具體的數字行列式.

通過一題多解一類題目，讓學生從不同角度、不同方面去分析思考問題，探索一類題目的解題方法，這樣不僅可以擴充思維領域，激發學生的求知欲，還能讓學生對問題研究的更加深入.

2 一題多變

如果將例題1中主對角線中的1換成a，4換成d，次對角線中的2換成b，3換成c，可得到變式1：

例2計算六階行列式D6=

相信學生們已經掌握了這種題型的做法，仿照例1解法可以得到遞推公式依次遞推可得D6=最后將此行列式推廣至2n階，得到變式2：

例3計算2n階行列式

其中未寫出的元素為0.

這個行列式的特點是只有主對角線和次對角線上有元素，其余元素為零.由于行列式階數較高，并且行列式中的元素不是具體數字，對于一開始接觸行列式計算的大一學生來說，直接去計算例3是有一定的難度.但是如果學生們掌握了例1的解法，從特殊到一般，那就很自然而然地得到例3的答案D2n=(ad-bc)n.

3 結束語

通過一題多解，一題多變開展問題的分析和研究，讓學生從一道習題抓一類問題，從特殊到一般，不僅可以取得舉一反三，觸類旁通的效果，又能使得學生對這種類型習題的解法有了較深刻的印象，有利于掌握這種類型習題的解題方法，從而提高學生的創新思維能力，并逐漸體會到學習的樂趣.