淺談《初中數學習題的拓展和研究》

李俊

在課程改革不斷深入的今天，作為一名數學教師，特別是初中數學老師，我們應該有這樣一種認識：作業不應是單一枯燥的文本，而應是富有色彩，充滿情趣的，多元的，花樣的復合體。只有這樣才足以能激發學生多方面的感官體驗，在愉悅合理的情境中獲取知識。

由于數學知識嚴密的邏輯性與高度的概括性，在例、習題中，還隱藏很多沒寫明的東西。即使最簡單的例、習題里，也存在著可發掘的因素，而這些往往并不是學生們所能領會的。因此，就需要設計一些習題課，教師引導、點撥，學生進行觀察、歸納、類比、抽象，學會解題，能夠準確地判斷、決策并簡潔嚴謹地表達，給學生以施展才華、發展思維，鍛煉能力的機會。因此解題是學生學好數學的必由之路，但不同的解題指導思想就會有不同的解題效果，養成對解題后仔細分析，進行思考的習慣，這樣可以作為學生解題的一種指導思想。

我個人在實際教學過程中，對這些問題作過一些深思和一些嘗試，其中比較突出的是引導學生進行一題多解和一題多變的訓練。下面，我提出幾個實例來分析其引導過程與方法，拋磚引玉，僅供參考。

一.對習題多進行變式訓練

如八年級課本《等腰三角形》 中有一題

已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，DE∥BA。

求證：△ADE為等腰三角形。

題干中給出大量角相等條件，故而一般思路即通過證明∠2=∠1=∠ADE來證明△ADE為等腰三角形，學生解決這個問題會比較順利，為此我做了如下變式：

變式1：已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，AE=DE。

求證： DE∥BA。

本題即將原題中可逆的證明過程逆向化，在加深學生對定理的理解的同時，培養其逆向思維能力。題目不難，理解即可。

變式2：已知：如圖，在△ABC中，AE=DE，DE∥BA。

求證：∠1=∠2。

與上一變式相比較，本題變換了原題中另一條件以達到類似目的。

由此可見，一題多變的重點不在于增大難度，而是在于引導學生在相似而不全等的題干條件中辨析其相同點與不同點，而不至于一見到類似的題目就陷入思維定式，不知變通。

這個圖形在三角形和四邊形的學習中是常見的基本圖形。學生對這個圖形和結論都比較熟悉。在復習了基本圖形后，學生從復雜圖形中分離出基本圖形就能解決這個問題了。或者從條件看有等腰三角形、有角平分線那么可能會出現平行線。

又如，北師大教材九年級上冊120頁11題：

如圖，點CD在線段AB上，△PCD為等邊三角形，△PAC∽△PDB，求∠APB的度數。

本題意在考察相似三角形的性質及三角形外角的性質，而以此為基礎，可作以下拓展：

變式一：以上條件不變，過點D作DE∥PC，若BE：BP=1：3，DE=1，BD=2，求AC的長。

與原題相比，本題增加了大量與三角形相似有關的證明與性質應用。

變式二：如圖，已知△PCD為等邊三角形，∠APB=120?，求證：AC·PB=PD·AP。

與原題相比，本題難度加大，但仍是考察對同一知識點的理解程度及應用能力。

由此看來，一題多變的基本方針在于利用不同的題干條件，來考察相同的知識點，或辨析相近的知識點。

同時，對課本習題的簡單變化也是各省市中招試題的重要出題思路。

如：北師大九年級上冊90頁習題：

如圖，Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足為D。

請指出圖中所有相似三角形。

你能得出AD2=BD·DC嗎？

變式：條件同上，求證：

△ABC∽△DBA

AB2=BD·BC

以上兩題較為基礎，且具引導性。

（2016。株洲）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB。

寫出圖中所有相似三角形，并選擇一對加以證明。

求證：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD。

利用（2）中結論證明勾股定理AC2+BC2=AB2。

而本題中，除基礎部分外，第（3）問更具特色，考察學生的創新能力與思辨能力，很值得提倡。

由原題得出的結論，學生很容易通過類比推出變式一、二的答案，然而，如不仔細思考，反而會被慣性思維束縛，在做變式三時得出“三個三角形相似”的錯誤結論。

總的來說，一題多變的重點不在于增大難度，而在于利用不同而相似的題干條件來考察學生的觀察、歸納、類比、辨析能力，并在教師的引導、點撥下避免慣性思維的束縛，養成對解題后仔細分析，進行思考的習慣。

二、對習題多進行一題多解

仍然在等腰三角形問題中，有這樣一題： 如圖，已知D、E在AC上，AB=AC，AD=AE，

求證：BD=CE。

我讓同學們充分發揮，集思廣益，特總結了一下幾種方法：

思路與解法一：從△ABC和△ADE是等腰三角形這一角度出發，利用"等腰三角形底邊上的三線合一"這一重要性質，便得三種證法，即過點A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是"等腰三角形底邊上的三線合一"，證得BH=CH。

思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發，本題可設法證△ABD≌△ACE或證△ABE≌△ACD，于是又得兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS進行證明，所以實際是六種證法。其通性是"全等三角形對應邊相等"。

思路與解法三：從等腰三角形的軸對稱性這一角度出發，于是用疊合法可證。

以上是我在教學中總結的一點心得，通過習題可以使學生加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學知識，而通過適當的變式引申、變式訓練，一題多解，以期達到夯實雙基、舉一反三之效，培養了學生的分析能力和發散思維能力。