數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用

林曉東

摘要：在經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程中，許多問(wèn)題需要借助數(shù)學(xué)模型來(lái)求解，可以根據(jù)對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定采用什么數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的作用越來(lái)越重要，文章通過(guò)案例分析說(shuō)明了數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用案例；經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)

一、引言

上世紀(jì)中葉以來(lái)，科技迅速發(fā)展、社會(huì)不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)向自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域迅速滲透，并在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)及金融管理等方面作用越來(lái)越大，甚至可以說(shuō)是舉足輕重。“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的提法，已被越來(lái)越多的人所認(rèn)識(shí)和接受。要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，首先要懂得如何將所要考察的現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)模型，然后才有可能利用數(shù)學(xué)的工具，去尋找解決原有的實(shí)際問(wèn)題的途徑，而整個(gè)過(guò)程就是通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。在經(jīng)濟(jì)管理工作中，我們所面臨的問(wèn)題是紛繁復(fù)雜的，如果需要借助數(shù)學(xué)模型來(lái)求解，不可能孤立地使用同一種方法。我們可以根據(jù)對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定采用什么數(shù)學(xué)工具。

二、案例分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)是這樣一門(mén)科學(xué)，它研究社會(huì)對(duì)資源的分配，以滿(mǎn)足人類(lèi)發(fā)展需求，或者說(shuō)是這樣一門(mén)科學(xué)，它研究人們之間理性行為的競(jìng)爭(zhēng)。數(shù)學(xué)關(guān)系在背后起著重要作用，甚至可以說(shuō)是支配作用。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中持續(xù)了幾十年的定量化趨勢(shì)仍然在繼續(xù)，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)和經(jīng)濟(jì)研究中的作用越來(lái)越重要。至于在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和信息經(jīng)濟(jì)學(xué)等經(jīng)濟(jì)學(xué)的新分支學(xué)科中，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法更是貫徹始終，起著完全支配的作用。下面舉例說(shuō)明。

（一） 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的索洛模型

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的主要指標(biāo)是總的產(chǎn)出，建立總產(chǎn)出增長(zhǎng)的定量模型無(wú)疑是十分重要的。如果要建立一個(gè)兼顧所有這些因素的數(shù)學(xué)模型無(wú)疑是十分復(fù)雜困難的。1987年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家索洛將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與產(chǎn)出、資本投入、勞動(dòng)力投入的函數(shù)關(guān)系，揭示了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的若干本質(zhì)。

考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系，它作為全球經(jīng)濟(jì)的一部分，不受阻擋地利用外來(lái)技術(shù)，不考慮消費(fèi)選擇，假設(shè)總消費(fèi)占總產(chǎn)出是一個(gè)固定的比例。不考慮失業(yè)，

令Y（t）表示t時(shí)刻的總產(chǎn)出、K（t）表示t時(shí)刻的資本存量，L（t）表示t時(shí)刻的勞動(dòng)力。于是，可以建立總產(chǎn)出和資本、勞動(dòng)力之間的函數(shù)關(guān)系：

Y=F（K，L）.

因?yàn)橄M(fèi)比率固定，資本存量增長(zhǎng)率與總產(chǎn)出成正比，于是

dKdt=sY.

其中s為正常數(shù)，稱(chēng)為儲(chǔ)蓄率。

此外，假設(shè)初始勞動(dòng)力為L(zhǎng)0，勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率為r，于是成立

dLdt=rL.

于是索洛經(jīng)濟(jì)模型可以表述為

dKdt=sF（K，L），K（0）=K0dLdt=rL，L（0）=L0

通常生產(chǎn)函數(shù)F是一次齊次函數(shù)，例如，取為柯布-道格拉斯函數(shù)，有

F（K，L）=AKa L1-a （0

從模型的第二式中容易求出

L（t）=L0ert，

由于生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次函數(shù)，成立

F（K，L）=LFKL，1，

從而K（t）的微分方程可以改寫(xiě)為

dKdt=sLFKL，1

令k（t）=K（t）L（t），有

dkdt=1L2LdKdt-KdLdt=1LdKdt-KL2dLdt，

由此可得k（t）滿(mǎn)足的微分方程

dkdt=sF（k，1）-rk.

這是一個(gè)伯努利方程，通過(guò)變換求解最后可得

K（t）=AsrL（1-a）0（e（1-a）rt-1）+K（1-a）011-a.

（二） 利益分配的合作博弈模型

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，若干實(shí)體相互合作很多時(shí)候比各自單獨(dú)完成任務(wù)更加劃算，達(dá)到共贏的局面。科學(xué)分配收益或分擔(dān)成本成為能否成功合作的關(guān)鍵問(wèn)題。那么，應(yīng)該怎樣科學(xué)分配收益或者分擔(dān)成本呢？這種分配問(wèn)題叫做合作博弈。沙普利給出了這種分配問(wèn)題一種可行方案。

設(shè)I={1，2，…，n}為合作博弈的各方。組合S的效益記為v（S）。第i位成員的分配記為Pi 。P=（p1（v），p2（v），…，pn（v））T 稱(chēng)為沙普利值，

它由效益函數(shù)v（S）確定。它的計(jì)算公式為

其中Si是I中包含i的所有子集，|S|是自己S中的元素個(gè)數(shù)（組合S中的參加者數(shù)量），w（|S|）是加權(quán)因子

v（S）是方案S的獲利，v（S＼i）表示在這種合作方式中第i方退出以后的獲利。因此，v（S）-v（S＼i）可以看成在這種合作方案中第i方的“貢獻(xiàn)”。根據(jù)前面的假設(shè)，任何一方在任何合作方案中的貢獻(xiàn)都是非負(fù)的。Pi（v）表示第i方“貢獻(xiàn)”的加權(quán)總和。下面舉例說(shuō)明。

河的同一邊有三個(gè)城鎮(zhèn)，1在上游，2與1的距離為20 km，3與2的距離為38 km。城鎮(zhèn)排放的污水需經(jīng)過(guò)處理才能排入河中。三個(gè)城鎮(zhèn)的污水處理可以單獨(dú)建廠(chǎng)，也可以合作建廠(chǎng)。已知建廠(chǎng)的費(fèi)用為f1=73w0.712（單位：千元），鋪設(shè)管道費(fèi)用為f2=0.66w0.51c（單位：千元），其中w是污水量（單位：噸/秒），c是管道的長(zhǎng)度（單位：千米）。如果三城鎮(zhèn)的污水量分別為w1=5，w2=3，w3=6，試制定一個(gè)合理的建廠(chǎng)方案。

于是可以計(jì)算出存在的五種建廠(chǎng)方案的總費(fèi)用：1.三城鎮(zhèn)分別建廠(chǎng)。建造費(fèi)用分別為

F（1）=73×50.712=230（千元），F(xiàn)（2）=73×30.712=160（千元），F(xiàn)（3）=73×60.712=261（千元），總費(fèi)用為651千元。2.城1、2合作，在城2處建廠(chǎng)，城3單獨(dú)建。建造費(fèi)用為F（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20=351（千元），總費(fèi)用為612千元。同理可得，3.城2、3合作，在城3處建廠(chǎng)，城1單獨(dú)建。建造總費(fèi)用為623千元。4.城1、3合作，在城3 處建廠(chǎng)，城2單獨(dú)建。建造總費(fèi)用為650千元。5.三方合作，在城3處建廠(chǎng)。總費(fèi)用為580千元。第5種方案是費(fèi)用最少的，接下來(lái)關(guān)鍵問(wèn)題是怎樣分擔(dān)這筆費(fèi)用。

如果不采用沙普利的方法，人們首先想到的是根據(jù)污水排放量平均分擔(dān)費(fèi)用的辦法。于是，城1應(yīng)該分擔(dān)V（1）=55+3+6×580=207（千元），同理，城2應(yīng)分擔(dān)V（2）=124（千元），城3應(yīng)分擔(dān)V（3）=249（千元）。但是，按這種方案，城1、2、3分別可以節(jié)省23千元、36千元、12千元，看起來(lái)不太合理。

再給出一種方案：建廠(chǎng)費(fèi)用按排污量分擔(dān)，2、3段管道費(fèi)用由1、2兩城負(fù)責(zé)，1、2段管道費(fèi)用則城1單獨(dú)負(fù)責(zé)。看起來(lái)公平合理，算下來(lái)發(fā)現(xiàn)，城3費(fèi)用為V（3）=55+3+6×73×（5+3+6）0.712=205（千元），而城2和城1的費(fèi)用則分別達(dá)到138千元和237千元，城1承擔(dān)的費(fèi)用大于單獨(dú)建廠(chǎng)費(fèi)用，這就明顯不合理了。

把節(jié)省的投資額當(dāng)成收益，用沙普利的方法，計(jì)算各方省下的資金額。或者直接以建造費(fèi)用當(dāng)作效益函數(shù)來(lái)計(jì)算沙普利值，從而算出各方應(yīng)該負(fù)擔(dān)的費(fèi)用。可得p1=209（千元），p2=125（千元），p3=245（千元）。按此比例分擔(dān)總費(fèi)用，每秒噸的費(fèi)用為城1為41.8千元、城2為41.67千元、城3為40.83千元。各城節(jié)省的費(fèi)用差距較小，所以這種分?jǐn)偨Y(jié)果更合理。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)踐中發(fā)揮著重大的作用，但是我們也必須認(rèn)識(shí)到它的局限性，它只是一種分析工具，不能用數(shù)學(xué)模型來(lái)代替經(jīng)濟(jì)學(xué)，只能在合理范圍內(nèi)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，發(fā)揮它的作用。因此，我們必須對(duì)數(shù)學(xué)模型有一個(gè)客觀正確的認(rèn)識(shí)，以便利用數(shù)學(xué)模型更加有效地為經(jīng)濟(jì)研究服務(wù)。