基于多種數值分析方法的電壓暫降凹陷域快速算法*

王晞，唐權，陳禮頻，張玉鴻，闞力豐，李華強

(1．國網四川省電力公司 經濟技術研究院，成都610041;2．四川大學 電氣信息學院，成都610065)

0 引言

隨著工業(yè)過程中大量敏感設備投入使用，電壓暫降和短時中斷對工業(yè)敏感用戶造成的經濟損失日趨嚴重［1-3］。國際電氣和電子工程師協(xié)會(IEEE)定義電壓暫降為電壓有效值快速下降到額定值的90%-10%，持續(xù)時間為0．5 周波至 1min［4］的電能質量現象。電網故障是電壓暫降的主要成因［5］，工業(yè)敏感用戶是否受電壓暫降的影響與自身敏感度、所處位置和電網故障點位置等因素有關［6］。電壓暫降凹陷域是指系統(tǒng)故障引起電壓暫降使系統(tǒng)中所關注的公共連接點(Point of Common Coupling，PCC)電壓降至最低耐受電壓幅值以下的故障點所在的區(qū)域［5］。電壓暫降凹陷域識別的意義在于其對電網規(guī)劃、改造以及工業(yè)敏感用戶選址提供的理論依據和數據支撐。

現有的電壓暫降凹陷域識別方法主要包括實測法和預估法［7-11］。實測法需要對電力系統(tǒng)和電力用戶進行長期觀測，其時間成本和經濟成本都很高，可行性不強。文獻［7］和文獻［8-10］分別介紹了臨界距離法和故障點法，但臨界距離法適用于輻射型網絡的計算，而不適用于環(huán)網計算;故障點法若要達到1%的精度則需在每條線路均勻設置100個故障點，且對于故障點的設置國內外尚無統(tǒng)一認識［8］。文獻［11］提出一種利用暫降幅值解析計算式計算凹陷域的方法，遺憾的是其求解使用的數值處理方法單一，算法性能有待提高。

針對上述問題，提出一種基于多種數值分析方法的電壓暫降凹陷域解法，詳細闡述了凹陷域解析計算所涉及的數值分析方法。在保證計算準確度的前提下提高計算速度，為大型系統(tǒng)的凹陷域計算提供快速準確的計算方法。將臨界故障點的求解問題簡化為二次函數與暫降閾值的交點問題，并按根的個數分情況處理，避免逐一計算各線路故障導致敏感節(jié)點電壓暫降的最大幅值和最小幅值，彌補了對所有線路采取同樣的數值處理方法所導致的算法低效和局部不收斂的不足。

1 電壓暫降幅值解析式

假設傳輸線路i－j上f點發(fā)生故障，用p表示故障距離，如圖1所示。

圖1 故障距離示意圖Fig．1 Fault distance schematic diagram

式中p∈ [ 0 ，1 ] ;Lif為線路首端到故障點f的距離;Lij為線路首端到末端的距離。

電壓暫降幅值解析式可用故障距離p為變量表示如下:

式中m表示所關注PCC節(jié)點;f為故障點;Zmf為所關注節(jié)點與故障點的互阻抗矩陣;Zff為故障點阻抗矩陣;0、1、2分別表示零序、正序和負序。

其中正、負、零序阻抗矩陣的計算方法文獻［11］已做詳細闡述，文中不再贅述。各類型故障情況下節(jié)點電壓幅值計算式如式(4)～式(10)所示，其中不對稱故障均以A相為基準相。

三相接地短路:單相接地短路:

式中 α =ej120°;下標 a，b，c分別代表系統(tǒng)中的A、B、C 相。

2 臨界故障點計算

臨界故障點計算是凹陷域識別的關鍵步驟［11］，而現有臨界故障點計算使用的數值處理方法單一，算法性能較差。由前文所述易知，電壓暫降幅值解析計算式是故障距離的二次函數，待求的臨界故障點方程為高階非線性方程。因此，在給定電壓閾值的情況下，臨界故障點的求解問題可等效為二次函數與電壓閾值的交點問題，如圖2所示。

圖2 暫降幅值解析式與閾值的交點示意圖Fig．2 Schematic diagram of the intersection of sag amplitude equation and threshold

2．1 根的個數問題

由圖2可知，曲線1～3分別刻畫了根個數為2個、1個(重根)和無根的情況。此外，在實際求解過程中，還伴隨著根值無意義的情況，即pi＜0或pi＞1，此時需要視具體情況做區(qū)別處理。根的個數，可通過兩種途徑得到，一是利用搜索算法求得曲線中的最大值，通過比較最大值與暫降閾值的大小關系判定根的個數;二是利用插值方法求出暫降幅值對故障距離的顯式表達式近似替代真實的幅值表達式，進一步利用判別式與根個數的關系判斷，下面對兩種方法展開解釋。

2．1．1 最大值搜索算法

電壓暫降幅值解析式是一種典型的一元單峰函數，黃金分割搜索法能快速求解一元單峰函數最值。該算法在函數定義區(qū)間內依據黃金分割比例對稱取得一系列搜索點，通過計算和比較對應的函數值不斷縮小搜索區(qū)間來逼近函數最值解和對應的最值［12-13］。通過黃金分割搜索算法求解最大暫降幅值對應的故障距離，求解步驟如下:

(1)確定搜索上界pu和下界pd，由式(11)計算故障距離p1和p2:

(2)將故障距離代入電壓暫降幅值計算式得到V(p1)和V(p2);

(3)比較V(p1)和V(p2)的大小，若V(p1)＜V(p2)，則最大暫降幅值處于 ［p1，pu］內，令 pd=p1;反之最大暫降幅值則處于［pd，p2］，令pu=p2;

2．1．2 插值方法

牛頓插值法不但繼承了迭代插值便于增加節(jié)點的優(yōu)點，還能給出插值多項式的顯式表達式［14］。由于暫降幅值表達式是故障距離p的二次函數，因此使用牛頓插值法時僅用到二階均差即可，如式(12)所示，牛頓插值系數可由式(13)～式(15)計算得到。

在利用牛頓插值法得到暫降幅值顯式表達式的基礎上，將二次方程求根公式求出的根值作為弦割法迭代初值。

2．2 根的求解方法

非線性方程根的數值求解方法有很多:牛頓迭代法(如式(16)所示)收斂速度快，但它對導數表達式f'(xk)的要求在f(xk)未知的情況下難以滿足;簡化牛頓法(如式(17)所示)將f'(xk)用常數C替換，其計算性能依賴于常數C的選取，然而實際計算中合適的C值很難選取;弦割法(式(18)所示)較好地避免了上述問題，且其幾何意義明確［14］，如圖3所示。本文利用弦割法求解臨界故障點:

圖3 弦割法求解示意圖Fig．3 Schematic diagram of secant method

過曲線 y=f(x) 上兩點 Pk－1，Pk作直線 PkPk－1，將該直線與x軸交點橫坐標xk+1作為根α新的近似值，該割線方程為:

經整理可得:

經推導得到臨界故障距離迭代表達式:

式中k為迭代次數;Vthre為電壓暫降閾值。

3 基于數值分析理論的凹陷域求解方法

上述方法的適用場景、計算速度和迭代精度都不盡相同，因此本文提出基于數值分析理論的凹陷域求解方法旨在保證算法精度的前提下提高計算速度，以期為大型系統(tǒng)的計算提供幫助。

計算各節(jié)點故障時敏感節(jié)點s的暫降幅值，形成PCC點暫降幅值n維向量Vsag:

Vsag= ［V1s…Vns］T(21)

式中Vis為母線i故障時敏感負荷所在節(jié)點s的暫降幅值。

計算各節(jié)點故障時敏感節(jié)點暫降幅值與電壓暫降閾值的差值，形成差值向量ΔVsag。通過判斷該向量元素的正負可知各節(jié)點是否處在敏感節(jié)點的暫降凹陷域內，可以避免計算整條線路中引起暫降幅值最大和最小的點，從而節(jié)省了計算時間開支。

式中Vsag(i)為節(jié)點i的電壓暫降幅值。

為便于計算，將ΔVsag大于等于0的母線標記為1，反之標記為0，并形成節(jié)點記號向量B。

相應地，將每條線路中:首端節(jié)點和末端節(jié)點都處在敏感節(jié)點的暫降凹陷域內的線路(以下簡稱“凹陷域”)標記為2;將一端處在凹陷域內的線路標記為1;首末端都不位于凹陷域中的線路記為0。由此可形成線路記號向量L。結合二次函數圖像分析如下:

Case 1:L=0表示線路首末節(jié)點電壓幅值均低于電壓閾值，由二次函數的幾何意義易知該條線路都不在凹陷域內;

Case 2:L=1表示線路首末節(jié)點有一個處于凹陷域內，該情況又可分為2種情況，如圖4的1，2曲線所示。此時均需求解二次函數與閾值的另一個交點，使用牛頓插值法以線路首、末、中點故障距離和暫降幅值為插值點求解顯式表達式，即(0，Vfrom)、(0．5，V0．5)和(1，Vto)，利用二次函數求根公式求該插值函數的根作為弦割法迭代的初始解;

圖4 L=1時臨界故障點示意圖Fig．4 Critical fault point schematic diagram when L=1

Case 3:L=2表示線路首末節(jié)點暫降幅值均低于閾值，此時僅需通過確定暫降幅值的最大值與電壓閾值的大小關系即可確定臨界故障點個數。若暫降幅值最大值大于電壓閾值則說明該線路有兩個臨界故障點;反之則表示該條線路完全處于凹陷域內。如圖5所示，具體計算步驟如下:

(1)首先計算給定的系統(tǒng)的正、負、零節(jié)點阻抗矩陣，并使用式(4)～式(10)分別計算得到敏感負荷所在節(jié)點在各節(jié)點發(fā)生不同故障類型時電壓暫降幅值;

(2)根據步驟(1)得到的敏感節(jié)點的暫降幅值向量Vsag，按照式(23)計算節(jié)點記號向量B和線路記號向量L，并開始逐條線路輪詢。若Li為0說明此線路不在凹陷域內，則直接計算下一條線路;若Li為1則說明該條線路首末節(jié)點有一個處在凹陷域內，用牛頓插值法尋找暫降幅值的顯式表達式;若Li為2則用黃金分割搜索法求解其最大值。將求得的最大值與電壓閾值比較，若最大幅值小于等于閾值，則說明此線路處在凹陷域內，否則使用牛頓插值法利用(0，Vfrom) 、(pmax，Vmax) 和(1，Vto)三點求暫降幅值表達式。得到顯式表達式后均采用弦割法迭代求解準確值;

(3)重復步驟(1)、步驟(2)直到完成系統(tǒng)所有線路的迭代或輪詢，此時可得到給定閾值和敏感負荷節(jié)點下的電壓暫降凹陷域。

圖5 電壓暫降凹陷域快速求解算法流程圖Fig．5 Flowchart of fast solution algorithm for vulnerable area of voltage sag

算例使用的計算機 CPU為 Intel Celeron，2．9 GHZ，RAM 為2．00 GB，操作系統(tǒng)為64 位 Windows 7，仿真軟件為Matlab 6．0。采用IEEE-30進行仿真分

4 算例分析

析。IEEE-30系統(tǒng)包含6臺發(fā)電機組、30條母線、37條線路以及4臺變壓器，假設所有變壓器均采用Y0/Y0接線方式，假設節(jié)點10為敏感負荷所在節(jié)點，如圖6所示。

圖6 IEEE30節(jié)點系統(tǒng)Fig．6 IEEE30-node system

在該系統(tǒng)中分別設置電壓閾值為 0．8，0．7，0．6 p．u．。利用前文所述的計算方法，可得節(jié)點10對應的凹陷域如圖7所示，圖中所示凹陷域由外到內對應的電壓閾值依次為 0．8、0．7、0．6。為對比各算法性能，本文采用三種方法求解該系統(tǒng)的節(jié)點10在電壓閾值為0．8 p．u．時的凹陷域。三種方法依次是故障點法、單一數值解法和本文所述方法。限于篇幅，文中對各算法的對比分析僅以三相短路為例。

圖7 三相短路時節(jié)點10對應的電壓暫降凹陷域Fig．7 Vulnerable area of voltage sag corresponds to node-10 caused by three-phase short-circuit fault

設置故障點法的計算精度為0．01，對線路采用均勻設置故障點的方式，要達到0．01的精度需對每條線路均勻設置100個故障點。由于每條線路中的臨界故障點最多兩個，因此，文中將每條線路的凹陷域分為兩個區(qū)間表示，如:線路1-2的凹陷域為［0．780，1］表示按1-2 的方向，從線路 0．780 的位置到線路末端均處于凹陷域內。部分線路的計算結果(含有臨界故障點的線路)如表1所示。

表1 故障點法與本文方法部分計算結果對比Tab．1 Comparison of part of calculation results between fault position method and the proposed method

若以故障點法的計算結果為標準，表1中，單一數值解法的計算結果較故障點法有不同程度偏差，同等條件下，文中算法的計算結果更接近故障點法的計算結果。由于實際系統(tǒng)中線路分布情況更為復雜，因此對計算結果的精度要求更高。

各算法的性能對比如表2所示。不難發(fā)現，使用單一數值解法盡管在求解速度上較故障點法有一定提高，但由于其對每條線路均采取先插值得到顯式表達式再求臨界故障點的方式，算法低效、靈活性較差，且難以避免迭代不收斂情況的發(fā)生。

表2 各算法的性能對比Tab．2 Performance comparison of the algorithms

5 結束語

(1)利用電壓暫降幅值解析計算式求解暫降凹陷域對于各種結構的系統(tǒng)具有廣泛適用性，計算結果準確可靠;

(2)將臨界故障點的求解簡化為解析式二次函數與電壓閾值的交點問題使該問題的幾何意義明確化，在此基礎上引入多種數值求解方法系統(tǒng)性求解，避免了對每條線路使用單一數值解法導致的算法低效性，大幅提升了算法性能。