例析二次函數最值問題的錯誤類型

摘 要： 二次函數的性質與圖像是初中數學的重要內容之一，關于二次函數最值問題及其應用也是中考常見題型.本文對這類題型常見的錯誤進行分析討論，對癥下藥，尋找解決策略.

關鍵詞： 二次函數 最值問題 常見錯誤

有關二次函數的性質與圖像是初三升中考試的必考知識點.數學教師在教學中常會有這樣的經歷，許多學生在解決二次函數最值問題時會反復出現相似的錯誤.面對這些常見錯誤，大家可能會用“粗心大意”或是“思維呆板”來解釋.但深入分析會發現，這些錯誤都存在著一定的根源.

課堂上通常會選擇大量的相關題型訓練來達到鞏固知識方法的目的，但效果甚微.筆者認為，消除錯誤的關鍵是要幫學生剖析清楚錯誤的原因.再者，學生訓練的題目不在于量多，而需教師精選典型題目，最好是在綜合應用時選擇一兩道能集中反映各類問題的題目，通過對問題的解決讓學生有比較整體、綜合的認識，從而獲得相應的方法技能.下面通過一個具體的例子對學生在解決二次函數最值問題時的常見錯誤進行探討.

例：若利用景區內一堵長為24米的墻和一卷長120米的展布圍成矩形展覽區，怎樣設計可使展覽區的面積最大？

學生要著手解決這個問題倒不是難事.通常有以下幾種解題思路：

正確解答：根據圖2的設計，x+（x-24）<120，得x<72，所以x∈[24，72）.展覽區面積S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，當x=36時取得最大面積為1296平方米.

按照圖1進行設計矩形展覽區是由思維定勢引起的，根據題意學生不自覺地限定與墻平行的一邊AB≤24米，因此有了錯誤一和錯誤二.而錯誤一的另一個典型錯誤就是由于學生在處理實際問題時常常忘記要結合實際對變量進行討論.圖2的設計則考慮到了其他可能的實際情況，通過計算發現圖2的設計能保證展覽區取得最大面積.此設計方案同時也說明了“在周長一定的矩形中，正方形的面積最大”這一結論.

數學來源于生活，又應用于生活.新課程標準特別強調培養學生對數學的應用意識，有關實際問題的數學題目也層出不窮，別有新意.然而，即使是學生對數學的概念和原理已熟練掌握，在處理實際問題時由于沒能結合具體情況進行討論仍然會出現各種各樣的錯誤.在實際教學中應重視數學與實際的聯系和應用，創設各種與現實生活相關的問題情境，在培養學生解決實際問題能力的同時增強其對數學的應用意識.