學生排隊問題分析及系統優化策略

魏麗君　金康彪

【摘 要】排隊論是通過研究各種服務系統的排隊現象，解決服務系統最優設計和最優化控制的一門學科。本文基于排隊論的方法研究了多服務臺系統，針對答疑老師數目的排隊問題建立了數學模型，根據老師成本和學生等待成本的總費用最小思想，設定適當老師數，降低系統服務總成本，提高系統的服務效率和服務水平，以適應新經濟時代的個性化服務趨勢，它可為答疑老師數目的設置提供決策支持。

【關鍵詞】排隊問題；運籌學理論；優化問題；Poisson 流

【中圖分類號】G647 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0048-01

一、引言

當學生排隊向老師詢問問題時，有時學生的人數超過老師的數量，也就是說，到達的學生不能立即得到解答，因而出現了排隊現象。由于學生的到達和服務時間的隨機性，可以說排隊現象幾乎是不可避免的。如果增添老師人數，就要增加投資或發生空閑浪費；如果老師人數太少，排隊現象就會嚴重，對學生的問題解答得不到幫助。因此，以下針對如何在這兩者之間取得平衡進行了研究，以便隨時都能檢查老師人數的分配處理是否得當，研究今后改進對策，老師能及時解答學生提出的問題。

二、模型闡述

一般的排隊系統都由三個基本組成部分組成，他們是：學生、排隊隊列、老師三個因素。假設不同學生先后隨機到達老師辦公室，并且學生答疑時間的分布是平穩的，即分布的期望值，方差等參數都不受時間的影響。

a.學生：假設學生輸入流為 Poisson 流，學生一個一個到達且相互獨立。

b.排隊規則：等待制。

c.老師：一個學生接受一個老師獨立輔導。現以 c 表示老師數量，老師屬于平行排列的，老師的答疑時間服從負指數分布，且每個老師的答疑時間相互獨立。

以下是單排隊多服務臺的排隊系統流程圖：

如果學生到達時，老師有空閑，那么學生可馬上接受答疑，如果老師正在為其他學生答疑，則到達的同學排隊等候，并接受答疑后馬上離開。該排隊系統是一個單排隊多服務臺的排隊系統，學生的輸入流是 Poisson 流，老師的答疑時間均服從負指數分布。老師解答水平視為相同的，不加以區別。

假設每個學生每小時平均到達的人數為λ，每個老師每小時平均答疑的學生人數為μ，整個答疑系統的平均服務率為Cμ，系統的服務強度為ρ=λ Cμ，并且只有ρ<11時才不會排成很長的隊列[3]。

假設pn（C）為C個服務臺系統中有n個學生的概率；當服務率Cμ達到穩態時，這時有：

當答疑系統達到平衡狀態時，每位學生的等待時間的均值為：

學生排隊的人數為：

學生的平均等待時間和學生排隊時間由 Little 公式求得：Wq=Lqλ， Ws=Lsλ

在單隊單服務臺[4]的情況下：Ws=1μ-x，

多隊服務臺可看作是由多個單隊單服務臺系統。在單隊k個服務臺的情況下，有：

三、系統最優化分析

答疑系統的設計常常要考慮老師數量和排隊等待的學生人數。在一般情形下，老師數量是服務水平的增函數，學生等待時間是服務水平的減函數。提高老師的數量自然會降低學生的等待時間，但卻常常會增加老師的成本。因此，最優化目標就是要使兩者之和，即總和為最小，對應的老師數即為最佳的老師數。

對于 M/M/c/∞系統而言，在穩態狀態下，這時單位時間兩者之和的期望值為：z=Cs×c+Cw×L。

其中c為每天任課老師數，是未知量。Cw是第一個學生用的時間， Cs為第二個學生等的時間，兩者為已知量。L是正在答疑和等待答疑的學生總數平均值Ls或排隊等待答疑的學生數Lq（它們都隨值的不同而不同）。

排隊等待的學生人數為：

正在答疑和等待答疑的學生總數平均值為：

所以z是c的函數z（c），現在是求最優解c*使z（c*）為最小。

采用邊際分析法，根據z（c*）為最小的特點，有：z（c*）≤z（c*-1）且z（c*）≤z（c*）+1

將z代入（1）式化簡，就可得最優的答疑老師數目c*滿足：

依次求出c=1，2，3時L值，并作兩相鄰的L值之差，因為Cs是已知數，根據這個數落在哪個不等式的區間里就可以定出c*，或可根據L滿足Cs/Cw值的范圍，得到最優的c*值。

參考文獻

[1]黃龍生，吳志松.概率論下數理統計[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]William J.Stevenson.生產與運作管理[M].北京：機械工業出版社，2003.

[3]李平英.排除現象及其管理研究[J].山東農業犬學學報，2003，（02）：40-42.

[4]袁洪艷.基于排隊論的醫院排隊全流程排隊管理系統的研究[D].浙江：浙江大學，2008.

[5]彭勇行.管理決策分析[M].北京：科學出版社，2000.

作者簡介：魏麗君（1997-），女，四川攀枝花人，從事數學教育，本科生。

通訊作者：金康彪（1971-）男，吉林省延吉，從事數學課程與教學論，副教授。