針對AR模型討論AIC準則定階是否高于真實階數(shù)

苑成艷

摘要：時間序列建模過程中，確定了時間序列適合的模型類型之后，對模型階數(shù)的確定是必不可少的。常見的模型定階的的方法有：殘差平方和法，自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)法，F(xiàn)檢驗法，AIC準則和BIC準則。在實際模型定階時，采用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)拖尾或結(jié)尾來確定模型階數(shù)，計算得到的自相關(guān)函數(shù)或偏自相關(guān)函數(shù)都是估計值，與理論上的真值之間存在一定誤差；而且自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)法只適用于AR（p）和MA（q）模型定階，對用ARMA模型來說，這種方法是不可行的。F檢驗法的前提是兩個模型中有一個是適用的，若兩個模型適用性都未知，則F檢驗法來檢驗低階模型是毫無意義的。為了給模型更準確定階，采用AIC準則、BIC準則定階，利用似然函數(shù)估計值的最大原則來確定合適的模型階數(shù)。但AIC準則定階可能會出現(xiàn)高估真實階數(shù)的情況，下面我們針對AR模型通過AIC定階與BIC定階對比來討論是否AIC定階真的高于真實階數(shù)。

關(guān)鍵詞：AIC準則；BIC準則；AR模型；時間序列

1 AP（p）模型的定階

1.1 AIC定階

1973年日本學(xué)者赤池（Akaike）提出了AIC準則，適用于ARMA（包括AR和MA）模型的定階問題。設(shè)觀測數(shù)據(jù)序列

為零均值平穩(wěn)序列，其中一組樣本數(shù)據(jù)為

，設(shè)L為擬合模型的最高階數(shù)，AR模型階數(shù)為k，下面是AIC模型AIC定階步驟：（1）計算樣本的自協(xié)方差函數(shù)

和樣本的自相關(guān)函數(shù)

；（2）利用遞推算法計算相關(guān)函數(shù)

；（3）

是AR（k）的白噪聲方差。

所以AIC準則函數(shù)為：

。AIC（k）最小值點

成為AR（k）模型的AIC定階。

1.2 BIC定階

針對AR（p）模型可以證明出當(dāng)樣本數(shù)據(jù)N充分大時，用AIC定階往往并不是相合的，就是說，當(dāng)數(shù)據(jù)來自AP（p）模型時，

并不依概率收斂到真實的階數(shù)。有研究指出AIC定階通常會對階數(shù)略有高估。為了克服這一問題，舒瓦茲（Schwarz）提出另一個與AIC準則類似的準則函數(shù)BIC準則。BIC準則函數(shù)定義如下：

我們稱BIC（k）中第一個最小值點

成為AP（p）模型的BIC定階。已知AR（k）模型

是白噪聲方差，可證明BIC定階是強相合的。

2 AIC定階和BIC定階準確性對比

針對平穩(wěn)的AR模型分別用AIC準則和BIC準則定階。我們將確定的AR模型進行AIC和BIC定階，通過兩個準則定階的正確率以及高估率和低估率探究，從而得到AIC準則定階是否高于真實階數(shù)的真正結(jié)果。這里我們假設(shè)用AR（2）模型進行試驗討論，討論結(jié)果如下，AR（2）模型：

其中

是白噪聲序列。

首先利用SAS軟件循環(huán)程序生成500個數(shù)據(jù)，再用SAS程序?qū)@些觀測數(shù)據(jù)模擬計算獨立重復(fù)1000次，每次生成的數(shù)據(jù)是不同的，即每次使用不同的500個觀測值。得到AIC和BIC階數(shù)情況如下：

表1：500個觀測值A(chǔ)IC、BIC定階所定階數(shù)的次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

AIC定階

97

675

54

108

24

21

8

5

6

1

BIC定階

550

447

7

4

2

0

0

0

0

0

上表數(shù)據(jù)表示，用某一種定階方式（AIC或BIC），在1000次模擬計算中階數(shù)定為

（

=1，2，…，10）的有多少次，其中675表示在1000次模擬計算中AIC將階數(shù)定為4的由675次，447表示在1000次模擬計算中BIC將階數(shù)定為4的由447次。通過得到的階數(shù)情況分析，AIC定階對階數(shù)低估的比率是9.7%，對階數(shù)高估的比率是22.7%；BIC定階對階數(shù)低估的比率是55%，對階數(shù)高估的比率是1.4%。AIC定的平均階數(shù)是2.447，高于BIC定的階數(shù)1.497。

我們再次利用SAS程序生成更多數(shù)據(jù)，這里我們生成了2000個數(shù)據(jù)，在對模型進行1000次模擬計算。得到如下結(jié)果：

表2：1000個觀測值A(chǔ)IC、BIC定階所定階數(shù)的次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

AIC定階

0

739

114

42

32

25

12

18

11

7

BIC定階

7

991

2

1

0

0

0

0

0

0

通過表格的階數(shù)情況分析，AIC定階對階數(shù)低估的比率是0%，對階數(shù)高估的比率是26.1%；BIC定階對階數(shù)低估的比率是0.7%，對階數(shù)高估的比率是0.3%。AIC定的平均階數(shù)是2.695，高于BIC定的階數(shù)1.999。

由上面計算實驗，確實存在AIC定階高于BIC現(xiàn)象，但是我們看到，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)不是很大時，BIC 定階會出現(xiàn)低估階數(shù)的現(xiàn)象，造成模型較大失真。而AIC定階更接近真實階數(shù)。在N很大的情況下，BIC對模型的定階會更準確。因此，我們在進行模型定階時，要根據(jù)實際觀測數(shù)據(jù)多少來判斷用AIC準則還是BIC準則。

參考文獻：

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