高等數學教學過程中數學建模意識與方法的培養

摘 要：在進行高等數學建模過程中，良好的建模意識是基礎。在高等數學的教學過程中注重學生建模意識的培養是高等數學教學的重點內容。本文從高等數學教學的現狀出發，分析了數學建模意識與方法在高等數學學習過程中所體現的重要意義，并提出了一些數學建模意識和方法的培養途徑，通過案例來具體說明將數學建模意識和方法應用到高等數學教學過程中的具體策略，幫助學生形成正確的建模意識，掌握建模方法。

關鍵詞：高等數學、建模意識與方法、培養途徑

一、高等數學教學現狀

現階段的高等數學教學越來越形式化，注重培養學生的邏輯思維能力卻往往忽略了其理論背景以及實際應用。這就導致了學生在遇到實際問題時缺失了應用數學思想解答問題的能力。在進行數學解題過程中，學生應用數學解題意識比較淡薄，不能滿足后續專業課的需求。授課形式多以教師講授為主，師生之間缺乏良好的互動，教學環境不利于創造性思維和創造能力的培養。

二、高等數學建模思想意識的內涵分析

數學建模指的是在各種實際問題的解答過程中，人們通過數學方法構建模型并借助計算機數值求解的過程。數學建模是人們在解答日常實際問題中應用比較廣泛的方法，建模思想在高等數學教學中具有重大的意義。具體構建數學模型的步驟分為以下幾個階段：

1.調查研究階段

在解答實際問題的過程中，數學模型的構建是建立在對實際問題的歷史背景和內在機理的深刻了解的基礎之上。因此，在應用數學建模解答問題的過程中調查研究階段是前提和基礎。

2.抽象簡化階段

在確定了問題的主要因素后，要對問題進行抽象和簡化。明確和理順各個因素之間的聯系并提出必要、合理的假設，將實際問題轉化為數學問題。

3.構建模型階段

構建數學模型階段要以扎實的數學基礎知識作為前提，充分應用數學知識將問題歸納到數學結構中去，構建合理的數學模型。

4.數值求解階段

構建好適合的數學模型后，利用計算機強大的運算能力來進行數值求解，熟練掌握Matlab、Lingo等運算軟件是對模型構建者的基本要求。

5.模型分析與檢查階段

盡管有的模型是不需要檢驗的，但是在實際應用中，很多的模型是否真實的反映了客觀實際是需要自己通過已知數據來進行檢驗的，所以檢查階段也非常的重要。

6.模型糾錯階段

在實際的數學模型應用過程中對建模過程中不合理的部分（變量類型、變量取舍、已知條件等）要進行積極的調整以達到糾錯的目的。通過糾錯使得模型中各個因素更加合理。

7.模型應用階段

構建數學模型的最終目的就是實現對實際工作的指導以及對未來狀況發生的預測和估計。重視模型的應用是構建數學模型的根本動機，是數學模型構建的最終目的。

三、將建模意識融入到高等數學教育的有效方法

在對學生進行理論知識的講解過程中將數學建模方法灌輸給學生，有助于對學生建模意識的培養。經過長時間的數學教學實踐，得出以下兩個入手點：

1.教學過程中注重原始背景和現實問題的結合

教師在進行高等數學教學過程中要注意應用原始背景直觀的演示引入數學定義、定理和公式，并且對這些公式和概念的求證過程進行詳細的講解。通過通俗的比喻以及描述性的語言使學生了解到前人對這些概念定義求證的建模過程。通過這樣的方式不僅讓學生了解到這些問題的本質屬性，并且掌握了數學建模方法。教師在通過將實際問題和數學模型相聯系使得學生學會了從實際問題中篩選有效的信息和數據，建立合理的數學模型，從而達到解答實際問題的目的。在高等數學教學過程中單調枯燥的數學符號以及概念定理很容易使學生的學習興趣下降，教師要積極的在課堂上對學生進行良好的引導。讓學生在學習過程中充分發現數學符號的抽象美、統一美、和諧美以及嚴謹美，培養學生的學習興趣。

2.結合教學內容精選教學案例，進行建模示范

高等數學建模方法的教學中，重要的教學手段就是模型構建的案例示范。案例示范對學生直觀生動的理解建模具有重大的意義。通過模型示范來啟發學生應用數學建模思想解答實際問題的意識。在教學過程中，教師要注重選擇既能反映實際問題又能夠開闊學生眼界的案例，通過這些優秀的建模案例來調動學生的數學思維，加深其對知識的理解，啟發建模意識，掌握建模方法，激發學生應用數學思維和方法探究現實世界的動力。

四、建模思想應用到高等數學教學的案例分析

1.數學建模意識和方法在微積分教學中的案例分析

在高等數學中，微積分思想是較為重要的內容。“無窮小量分析”和“微元分析”是微積分學科的主要思想方法。下面結合定積分的定義教學來分析其建模意識和方法的應用過程。分析過程如下：

（1）實際問題：對曲邊梯形的面積進行求解。（2）引導學生應用“無限細分，化整為零，以直代曲取近似，無限積累聚零為整”的微分思想，構建問題表達式。（3）對問題進行概括總結，引出定積分的定義。（4）數學模型的根本作用在于它能將客觀原型化繁為簡，化難為易。實現實際問題的解答目的。

2.數學建模意識和方法融入到概率論與數理統計教學的案例分析

在進行講解全概率公式時，我們向同學們介紹了常染色體遺傳模型。其數學模型構建過程如下：（1）實際問題：常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因中各集成一個而形成的的基因對。例如，某植物的基因類型為aa、Aa、AA，計劃AA型植物與各種基因型植物結合培養后代。若干年后，這種植物的n代三種基因的分布變化是怎樣的？（2）建模：引導學生利用全概率公式建立該植物第n代的基因型與第n-1代的分布遞推關系式。（3）模型分析和評價：通過取極限的結果來解釋用這種方法純化品種的科學性。通過對整個研究過程進行數學建模，結合所學數學知識對所求解問題進行解答。這樣不僅讓學生明確了建模意識的重要性，更體現了建模意識和方法在解答實際問題中所體現出來的高效性。

3.數學建模意識和方法融入線性代數和空間解析幾何教學的案例分析

在進行Gauss消元法的教學時，向學生展示了計算機層析X射線照相術。數學模型構建過程如下：（1）實際問題：計算機層析掃描儀是根據病人頭外的X射線計算該病人的大腦圖像，這樣做合理嗎？（2）構建數學模型：引導學生應用電線圖對掃面儀的工作原理進行描述，建立相關的線性方程組。（3）數學模型求解：引導學生應用Gauss消元法來進行求解。（4）模型分析：通過數學建模來解釋計算機層析X射線照相技術的合理性。通過這樣的建模求解過程使學生認識到數學建模意識和方法在解答實際問題中所表現出來的優勢，使學生對高等數學的學習興趣得到很大的提升。

通過解決實際問題實現高等數學教學過程中建模意識與建模方法的培養和鍛煉，體現出數學學科源于生活又高于生活的特點。

結論

綜上所述，數學建模意識對實踐數學建模思想解答實際問題具有積極的意義，正是這種意識的存在提高了高等數學在解決實際問題中的應用頻率。通過合理的方法構建數學模型并實現對實際問題的解答，是高等數學教學的最終目的。數學建模意識是前提，正確的數學建模方法是保障，通過兩者完美的結合實現了應用數學建模方法解決實際問題，體現了高等數學在實際問題解答過程中的利用價值，為實際問題的解答提供了良好的思路和方法。

參考文獻：

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[2]王志剛.大學數學教學過程中的數學建模意識與方法的培養分析[J].吉林教育.教研，2014，（18）.

作者簡介：

楊麗清（1988年），女，河北省張家口市人，碩士. 研究方向： 微流體力學、數學教育。