關于LTI狀態空間模型的參數估計分析

黃媚

摘 要：在信號系統中，線性時不變系統是很重要的組成部分。隨著信號分析理論的不斷完善，參數估計的相關研究越來越為人們所重視。為了推動信號系統的發展，人們正在展開關于線性時不變狀態空間模型下的參數估計研究。在本文中，我們通過分析研究線性時不變狀態空間模型的特點，探討了在該空間模型下參數估計的方法。這些研究對促進線性時不變系統的相關研究和參數估計分析的發展有著重要的意義，有很好的現實價值。

關鍵詞：線性時不變系統；空間模型；參數估計

引言

在現代信號與系統的研究中，LTI，即線性時不變系統是一個研究的重點部分。由于線性時不變系統同時滿足疊加原理和時不變的特性，所以可以用單位脈沖響應來表示。因此，線性時不變系統的相關研究越來越受到人們的重視。

參數估計是現代數學與信號研究中的重要方法。隨著相關理論的不斷成熟，參數估計得到了越來越多的應用。為了促進線性時不變系統的相關研究，人們正在嘗試著進行線性時不變狀態空間模型下的參數估計分析研究。

本文擬通過分析線性時不變系統狀態空間模型的特點，研究探討適用于線性時不變狀態空間模型下的參數估計方法。

一、LTI狀態空間模型的特點

LTI系統又稱為線性時不變系統，由于同時具有線性和是不變兩個特性，LTI在信號分析與信號系統的相關研究中受到廣泛的關注。其中最受關注的是線性時不變系統諸多特點的相關研究分析。

1.1齊次性

齊次性是線性時不變系統的一項重要屬性。在信號系統中，當激勵信號與相應信號具有相同的增長屬性時，即可稱為該系統具有齊次性。通過數學方法表示，在線性時不變系統中，如果系統激勵信號為a（t），相應信號為b（t）時，我們輸入為Aa（t）的激勵信號，則輸出信號必然為Ab（t），其中A為常數。

1.2疊加性

線性時不變系統是滿足疊加原理的一種系統，即系統激勵信號的線性疊加必然會引起輸出信號的線性疊加。同樣用數學方法表示，可以表示為系統激勵信號a1（t）和a2（t）分別對應輸出信號b1（t）和b2（t），則當激勵信號變為a1（t）+a2（t）時，輸出信號則為b1（t）+b2（t）。

1.3線性

線性是線性時不變系統的基本屬性之一。線性變化是數學中函數變化的一項基本內容，如果將函數變化的變化率繪制成曲線圖，變化率為一條直線的即可稱為線性變化。在信號與系統中，線性是系統齊次性和疊加性共同作用后的變化表現。換句話說，線性時不變系統既具有激勵信號與響應信號的齊次性，也滿足兩者之間的疊加性，即為線性。

1.4時不變性

時不變性是LTI系統的另一項基本屬性，也是開展線性時不變系統各項研究的重要基礎。在線性時不變系統中，激勵信號所產生的響應信號是具有對應性的，而不會隨時間變化。在不同時刻，激勵信號所產生的響應信號也會有所不同。如果激勵信號出現延遲現象，則對應的響應信號也會延遲。并且，所產生的波形并不會變化。

1.5微分性與積分性

微分與積分是個統一的概念。自從牛頓和萊布尼茨分別創立了微積分后，微積分在數學、物理等方面得到了廣泛的應用。信號與系統的相關研究產生于數學，所以也具有很好的微積分性質。

在線性時不變系統中，我們一般根據系統激勵信號與系統響應信號之間的對稱關系稱為系統的微分性與積分性。具體的應用主要集中在系統信號的計算中。由于微分性和積分性涉及到的數學概念比較復雜，我們在此不進行舉例說明。

總體來說，線性時不變系統同時具有齊次性、疊加性、線性、時不變性、微分性和積分性六大特點。而這六個特點為參數估計方法的應用打下了堅實的基礎。

二、參數估計的方法研究

參數估計是現代數學中廣泛應用的一種研究方法，屬于統計推斷的一種。在數學領域中，參數估計主要是為了解決數學系統估計量和估計量精度的問題。由于參數估計的應用方法與線性時不變系統契合度很高，所以目前也被廣泛應用到線性時不變系統的研究中。

2.1似然估計

似然估計是參數估計在線性時不變狀態空間模型下應用最為廣泛的一種研究方法。似然估計方法也被稱為最大似然估計法，是19世紀中期提出的一種參數估計方法。經過多年的發展研究，似然估計法的應用已經相當成熟，成為當今應用最為廣泛的一種參數估計方法。

似然估計法的基本步驟是通過樣本抽取和計算，利用總體分布的規律推導相關參數。具體應用中，似然估計法要應用到似然函數，在對似然函數經過數學處理后（一般是指對似然函數采取對數處理，并經過數學運算整理），再利用微積分的理念求解似然函數。

前文我們提到，線性時不變系統有很好的微分性與積分性。因此，利用似然估計法對線性時不變狀態空間模型下的參數進行估計備受人們重視。特別是似然估計法在應用上已經發展得比較成熟，對于線性時不變狀態空間模型的參數估計精度的提高有很大的幫助。

2.2矩法估計

在線性時不變狀態空間模型下參數估計應用最為廣泛的另一種方法是矩法估計。矩法估計與似然估計法相同，需要從樣本中抽取與計算一定數據，才能進行參數的估計運算。不同的是，矩法估計采用的是矩陣計算方法，重點應用到的數字特征是中心矩和原點矩。因此，矩法估計的計算精度要比其它參數估計方法低一些。要想提高參數估計精度，必須采用大容量的樣本。計算成本會成倍增加。

不過計算機系統的應用和發展，為上述問題的解決提供了新的途徑。憑借著計算機系統的數據處理能力，人們可以很方便地實現大容量樣本的矩法估計。而這樣，矩法估計的使用方便、應用面廣的優勢便體現了出來。

線性時不變系統的線性和時不變性，具有很強的邏輯性，與計算機系統的邏輯運算法有很大的相似點。因此，現階段線性時不變狀態空間模型下的參數估計越來越多地應用到矩法估計。通過計算機系統建立線性時不變狀態空間模型，再利用計算機實現高精度的參數估計已經成為了現實。我們相信，未來的矩法估計會在線性時不變狀態空間模型下的參數估計中發揮出更大的作用。

綜上所述，從線性時不變系統的特點方面考慮，參數估計中的似然估計法和矩法估計是目前應用最為廣泛的兩種參數估計方法。而從發展的角度來看，矩法估計有著更好的發展前景。

結束語

線性時不變系統作為信號與系統研究應用中重要的組成部分，其相關的應用研究受到了人們的廣泛重視。為了解決線性時不變狀態空間模型下的參數估計，我們分析了線性時不變系統的六個特點，并從這兩個特點出發，對目前應用最為廣泛的似然估計法和矩法估計進行了相關研究，并對兩者未來的發展進行了總結。這些研究對促進信號與系統的發展有著很好的幫助。

參考文獻：

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