基于子空間投影的加權DOA算法*

王華奎,陳 峰,王 彪

(1.水聲對抗技術重點實驗室,廣東 湛江 524022;2.江蘇科技大學電子信息學院,江蘇 鎮江 212003)

一直以來,高分辨DOA估計都是陣列信號處理的熱點問題,許多專家學者都對此進行了深入研究[1-3]。DOA估計算法大體可以分為以下兩類:一類是以常規的CBF(波束形成)和MVDR[4](最小方差無畸變算法)等為代表的傳統算法;一類是以MUSIC[5-6](多重子空間分類算法)、ESPRIT(旋轉不變子空間算法)為代表的超分辨算法。相比于傳統的波束形成算法,超分辨算法擁有更高的分辨率以及更精準的估計性能,但在低信噪比、小快拍條件下,此類算法的估計性能急劇下降甚至失效。為此文獻[7-9]對MUSIC算法進行深入研究,文獻[7]將加權之后的信號子空間引入傳統MUSIC算法之中,充分利用信號子空間的抗噪性,提高了算法在低信噪比、小快拍下的穩健性。文獻[8]提出一種利用加權偽噪聲投影的MUSIC算法,利用偽噪聲子空間的投影對基于噪聲子空間投影的MUSIC空間譜進行加權處理,使得算法在小快拍和弱信號條件下的估計性能大幅提升。文獻[9]利用峰值處符號的變化提出了一種基于二階導數的空間譜函數,此方法在小角度差、低信噪比條件下依然可以得到了比較尖銳譜峰,在一定程度上提高了算法的分辨率。

以上這些算法,雖然都在一定程度上提高了算法的性能,但是卻都沒有充分利用數據矩陣的特征信息。因此,本文提出一種充分利用數據特征信息的加權MUSIC算法。算法首先利用噪聲特征值對噪聲子空間投影進行加權,然后結合加權子空間投影算法,形成一種新的空間譜算法。此算法既保留了MUSIC算法的高分辨特性,同時引入了信號子空的抗噪性,使得此算法更加適用于低信噪比、小快拍的條件。最后文章對所提算法聯合MVDR進行估計,經過計算機仿真實驗說明了所提算法的優越性。

1 MUSIC算法信號模型

假設遠場波導條件下有k個窄帶信號源入射到M個水聽器組成的均勻線陣上,其入射角度為θ,θ={θ1,θ2,…θk},每個陣元之間的距離為d,故其陣元接收數據模型如下:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

式中,

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]

(2)

a(θk)=[1,e-j2πdsin(θk)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θk)/λ]T

(3)

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…nM(t)]T

(5)

假設每個陣元上的噪聲均為零均值的高斯白噪聲,且相互獨立,接收數據的協方差矩陣用R表示,則R可由下面表達式求得

R=E[X(t)XH(t)]

=E[A(θ)S(t)SH(t)AH(θ)+N(t)NH(t)]

=A(θ)RSSAH(θ)+σ2I

(6)

其中,符號H表示共軛轉置運算。由式(6)知,可將R看作是由信號子空間和噪聲子空間構成,其表達式:

(7)

其中,ΛS=diag(λ1,λ2,…,λk)是由較大的特征值構成的信號特征值矩陣,ΛN=diag(λk+1,λk+2,…,λM)是由較小的特征值構成的噪聲特征值矩陣,在理想的情況下認為λk+1=λk+2=…=λM,但是實際情況下,由于快拍數有限,噪聲特征值不可能相等,即λk+1>λk+2>…>λM。US=[e1,e2,…,ek],span(US)=span(A)稱為信號子空間,UN=[ek+1,ek+2,…,eM],span(UN)稱為噪聲子空間。由于span(US)⊥span(UN),所以可以得到span(A)⊥span(UN),故而AHUN=0,R. Schmidt利用這個性質構建了經典MUSIC算法空間譜:

(8)

2 改進算法描述

眾所周知,經典MUSIC算法是基于信號相互獨立的前提下提出,然而在實際的聲場環境下,相干源的存在是一個不可避免的問題,在相干源條件下的MUSIC算法性能急劇下降甚至失效。為獲得目標方位角,實現解相干,涌現出了許多解相干方法。其中SSMUSIC、FBSS、MMUSIC是幾種最常用的解相干方法,前兩種方法都屬于降維方法,它們都以損失陣列的有效孔徑為代價來實現解相干,相對于MMUSIC來說，估計性能略差。MMUSIC算法具體步驟如下。

假設對式(1)進行變形:

Y=JX(t)*

(9)

其中X*(t)表示為X(t)的復共軛,J為M×M維置換矩陣,其副對角線上元素均為1,其余各元素均為0的矩陣,表達式如下:

(10)

由此可求得樣本Y的協方差矩陣Ry=E[Y(t)YH(t)]=JR*J,令RR=R+Ry=R+JR*J,用RR來取代原算法中R進行MUSIC算法運算,便可實現對兩個相干源的分辨。MMUSIC實質是FBSS的一種特殊形式,它以本身作為一個子陣進行前后平滑,保證了陣列的有效孔徑不會減小,使得算法的分辨率優于FBSS算法。為了進一步提升MUSIC算法的解相干能力,本文提出了一個新的平滑方式：

Rxy=E[X(t)YH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(11)

Rxx=E[X(t)XH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(12)

Ryy=E[Y(t)YH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(13)

=RR+E[X(t)YH(t)]+3Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(14)

假若式(8)是一個理想的空間譜,理論上是可以進行對任何小角度差的信源進行估計,然而實際中,由于快拍數的有限使得UN并不能獲得精確值,因此算法估計性能有所下降,為此文獻[10]算法利用噪聲特征值的冪數級對相應的UN加以修正:

(15)

(16)

雖然此算法可以在一定程度上提高算法的分辨率,但是卻沒有給出效果最好時的n值。通過查閱文獻和大量的仿真實驗,得知0<|n|≤1時,此算法的分辨率較高。n過大,整體空間譜值會變小,可能產生欠估計問題。式(16)的算法在一定程度上提高了算法的分辨率,但是依然沒有擺脫MUSIC算法的局限性,算法的實質依舊是利用噪聲子空間在導向矢量上的投影來構造空間譜,沒有考慮信號子空間的信息,在低信噪比條件下,估計性能依舊不佳。這是由于噪聲子空間在小快拍、低信噪比的條件下受影響起伏較大,而信號子空間在此種條件下受影響較小,為此,本文選取一種加權信號子空間的投影方式:

(17)

由上式可得,當m取不同值時,所對應的物理意義不一樣,當m=-1時,表示采用主特征值的倒數對信號子空間的投影進行加權,其實質是弱化了最大特征向量的投影,使得其他方向信號的特征向量投影得以加強,從而提高小角度下的信源分辨性能。與之相反,當m=1時,表示采用主特征值對信號子空間的投影進行加權,其實質是放大了最大特征向量的投影,從而使得此方向上的空間譜值更加突出。當m=0時,表示對直接采用信號子空間在A(θ)上的投影,對每個信號的特征向量均用1進行加權。為了獲得更加明顯的空間譜值,本文選取m=1來構建式(17),然后結合式(16)來構建一種新的空間譜函數

(18)

由式(18)可知,新的空間譜函數是利用功率譜對式(16)的整體加權。式(17)取m=1其物理意義就是信號的功率譜。因此式(17)在m=1可被用來做功率估計。

依據MVDR的本質是在整體功率最小的情況下,讓信號處的增益最大,為了讓式(18)優勢更加明顯,穩健性更強,本文使用MVDR空間譜函數和式(18)進行聯合估計。為此得到式(19)：

(19)

由上式的物理意義知,相比于式(18)利用式(19)進行DOA估計時信號增益方向將被進一步增強,峰值將會更加尖銳,而旁瓣將會被進一步壓制,說明此方法的穩健性更強。仿真實驗對算法優越性進行了驗證。

3 算法復雜度分析

本文將所提的基于子空間投影加權的加權MUSIC算法式(18)稱為算法1、它的聯合估計譜式(19)稱為算法2,對三種算法復雜度進行分析。

MMUSIC算法復雜度:計算協方差矩陣RR=R+Ry=R+JR*J其運算復雜度為O(L(M2+2M))其中L代表快拍數,計算R復雜度為O(LM2)對其進行特征值分解其運算量為O(M3),故而其總運算量為O(M3+LM2+2LM)。

所提算法2,較之于算法1增加了一個矩陣求逆過程,算法2復雜度增加O(M3),故而算法2的總復雜度可以表示為O(2M3+2LM2+2LM)。

4 仿真實驗

4.1 三種算法的對比實驗

假設3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分別為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,本文取信噪比為0 dB,快拍數為100、n=1,陣元間距為半波長,進行三種算法空間譜對比實驗,其結果如圖1所示。從圖1中可以看出三種算法均可在波達角方向形成尖銳的譜峰,但是,與算法1相比,算法2譜峰更加尖銳,增益更大,從而說明算法2較之算法1有更好的DOA估計性能,旁瓣壓制更低,說明所提的方法擁有更好的魯棒性。而MMUSIC算法相比于另外兩種算法增益較小,說明MMUSIC在無論是相干源的估計還是獨立信號的估計上,估計性能整體弱于另外兩種算法。

4.2 三種算法的成功率分析

實驗條件:3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分別為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,本文取信噪比從-10 dB按2 dB的間隔增加至10 dB,快拍數為100、n=1,陣元間距為半波長,進行100次獨立計算機仿真實驗,當偏差在1°內認定算法成功,得到三種算法在不同信噪比下的成功率,其結果如圖2所示。從圖2中可以得出,三種算法在信噪比等于-10 dB時,成功率都為0,但是隨著信噪比的提升,三種算法的成功概率也隨之提升,但是在除-10 dB外的任何一個信噪比條件下,算法2的成功率均高于其他兩種算法。由此說明算法2性能最優、算法1性能次之,側面說明所提兩種算法更加適用于低信噪比條件下。

保持上述實驗條件不變,取快拍數從10按20的間隔增加至200,設置信噪比為0 dB進行100次獨立計算機仿真實驗,其結果如圖3所示。從圖3可以得出,在小快拍條件下三種算法的成功率都隨著快拍數的增加而增加,在快拍數200時三種算法成功率大致相同。但是在其他快拍數時,三種算法中算法2的成功率最高,MMUSIC算法成功率最低,說明所提兩種算法更加適用于小快拍的條件下。

接下來分析陣元數對三種算法的影響,取快拍數為100,信噪比為0 dB,陣元數由4個每次增加2個陣元一直增加到16個陣元,其他實驗條件保持不變,對其進行分析,其結果如圖4所示。由圖4可知,隨著陣元數目的增加,三種算法的成功率也隨之增加,但是明顯可知,算法2的成功率明顯高于MMUSIC算法,說明算法2性能是優于MMUSIC,從而說明所提兩種算法有一定優越性。

4.3 三種算法的偏差分析

實驗條件:3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分辨為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,取信噪比從-10 dB按2 dB的間隔增加到0 dB,快拍數為100、n=1,陣元間距為半波長,進行100次獨立計算機仿真實驗,其結果如表1所示。由表1可知三種算法的標準差都隨著信噪比的增大而減小,其中算法2在三種算法中標準差是最小的,MMUSIC是最大的,說明所提兩種算法優于MMUSIC。

表1 三種算法在不同信噪比下的標準差

保持上述條件不變,將信噪比設置為0 dB,快拍數由120按20的間隔增加到220,其結果如表2所示。

表2 三種算法在不同快拍下的標準差

4.4 三種算法的復雜度分析

假設M=12,快拍數L從1開始每次增加50至301時,三種算法復雜度其復雜如圖5所示。從圖中可以算法1和算法2運算量相當,隨著快拍數的增加算法1和算法2的計算量間的差值將會越來越大。

假設快拍數L=100,陣元數由8變化到20時,三種算法的運算量如圖6所示,算法1和算法2運算量相當,對比圖6和圖5可知,陣元數對計算量的大小是起決定性作用,因為陣元數和復雜度是呈立方關系。雖然本文所提的兩種算法的復雜度都隨著快拍數和陣元數的增加而增加,但是結合圖3、4、5、6可知在陣元數14,快拍數140時,算法1、2性能遠高于MMUSIC,而此時本文所提兩種算法的復雜度和MMUSIC算法相當。側面反映了相較于MMUSIC算法,本文所提算法在陣元14、快拍140時能取得最優工作狀態。

5 結束語

為了解決傳統的MUSIC算法在小快拍、低信噪比的條件下估計性能急劇惡化的問題,本文利用噪聲所對應的特征值對噪聲子空間進行加權,并將利用主特征值加權信號子空投影和加權后的噪聲子空間投影進行結合,構造一種新的空間譜函數,利用MVDR算法對信號有最大增益的特點,對所提算法與MVDR空間譜進行聯合DOA估計。為了使算法能夠適用于相干源條件下,進而提出一種新的解相干方法,將這種解相干方式與所提的兩種算法相結合,有助于提高解相干性能。最后通過計算機仿真實驗證明:本文所提兩種算法信噪比在-10 dB至4 dB時,性能是優于MMUSIC; 本文所提兩種算法陣元數在6至16時,性能是優于MMUSIC。