基于分形幾何理論的微氣體軸承承載特性研究*

李恒娟 王俊青 石鳳琴

(北京城市學院機械工程系， 北京101300)

隨著微機電系統(MEMS)技術的高速發展，微流體裝置也得到廣泛應用，其中微氣體軸承由于具有摩擦損耗小、精度高、結構簡單等優點，被廣泛應用于精密機床、醫療器械、電子精密儀器等旋轉機械領域[1-2]。然而，微尺度條件下氣體的流動特性與其他宏觀層面的普通流體截然不同[3]。因此，基于超薄氣膜潤滑技術對微氣體軸承流動特性研究將顯得尤為重要。

目前對于超薄氣膜潤滑理論的研究主要基于氣體稀薄效應的影響，從而通過速度滑移模型對Reynolds方程進行修正，但很少涉及表面粗糙度對微氣體軸承潤滑特性的影響[4]。由于微氣體軸承間隙處于微米量級，表面粗糙度的影響效應將不可忽略。因此，綜合考慮表面粗糙度與氣體稀薄的耦合效應對微氣體軸承性能進行研究，將具有重要的理論意義。

本文通過綜合考慮分形粗糙表面與稀薄氣體的耦合效應，推導出引入速度滑移邊界的超薄氣膜潤滑Reynolds方程，并使用有限差分法對其進行離散求解，從而對比研究光滑表面與粗糙表面兩種情況下，不同參數對氣膜壓力分布、承載能力的影響規律。

1 分形粗糙表面的表征

Mandelbrot首先引入分形幾何的概念，其可以用來表征微尺度器件以及工程應用中的隨機和多尺度拓撲結構，并且可以用分形維度來描述物體的隨機性與不規則性[5]。

Majumdar和Bhushan發現實際的工程粗糙表面可以由分形幾何表征，為了闡釋分形粗糙表面的連續性、不可微性以及自仿射性，其表面輪廓用Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函數可表示為[6]：

(1)

式中：G為表面縮放常數；Df為表面輪廓的分形維數(1﹤Df﹤2)；γ為譜密度和自仿射特性的比例參數，一般取γ=1.5；n1為低截止頻率，其值取決于表面輪廓樣本長度Ls，且γn1=1/Ls。

隨著Df幅度的減小或者G的幅度增加，將會產生更加粗糙且無序的表面形貌。由于W-M函數可由無限個頻率模型疊加而成，因此，隨著W-M函數空間頻率ω的變化，可以用平均功率譜密度函數S(ω)表示為：

(2)

功率譜密度函數可以用原子顯微鏡試驗獲得，考慮到粗糙高度與分形維數Df、比例常數G的關聯性，則均方根粗糙高度σ的表達式為：

(3)

式中：ωl為低頻極限，其值取決于表面輪廓樣本長度Ls,ωl=1/Ls；ωh為高頻極限,其值ωh=1/Lr，Lr為掃描儀器分辨率。

根據式(1)對分形粗糙面進行模擬，設置X、Z方向的采樣點個數為200，如圖1所示，對于工程粗糙面樣本，可以通過結構函數來確定分形維數Df，并通過引入輪廓儀掃描的均方根粗糙高度值來確定比例常數G，從而根據Df和G來表征W-M函數。

2 數學模型

2.1 物理模型

本文主要以微機電系統(MEMS)中的微氣體軸承為研究對象，如圖2所示。

2.2 邊界條件

基于超薄氣膜潤滑理論，假設平板沿x方向的相對速度為Uplate，并且沿z方向的速度為零，同時假定氣流溫度是均勻恒定的，并與環境溫度保持一致。則氣流滑移模型沿x、z方向的表達式為[7]：

(4)

其中：

式中：u、v分別為x、z方向的氣流速度；λ為氣體分子平均自由程；?=min[1/Kn,1]，α為調節系數，Kn為努森數(0.01

2.3 修正的Reynolds方程

根據微間隙內氣流流速分布狀態，其潤滑方程可以表示為[8]

(5)

式中：p為氣膜壓力；μ為氣體動力黏度。

結合廣義的速度滑移邊界方程(4)對方程(5)進行積分，則速度場方程分別為

(6)

式中的h表示氣膜厚度，則沿著x方向的氣膜厚度變量h(x)主要由兩部分構成。

h(x) =hs(x)+hr(x,G,Df)

(7)

式中：hs(x)為光滑表面的膜厚度變量；hr(x)基于平均水平的隨機變化測量值。

根據式(6)中的壓力流速的速度分布，可以將歸一化Poiseuille流量QP表示為：

(8)

考慮到微氣體軸承的穩態可壓縮過程，則無量綱Reynolds方程可以簡化為[9-10]

(9)

其中所引入無量綱參數及變量包括：

(10)

其中，

(11)

求解方程(9)時，所引入的邊界條件為：

(12)

2.4 數值求解方法

通過有限差分法對修正的Reynolds方程(9)進行離散求解，并對氣膜內部各節點中差分近似求導，同時采用高斯-賽德爾迭代法進行計算，其中迭代過程中所采用的收斂準則為

(13)

3 計算結果分析

本文在計算中所采用的微氣體軸承初始操作參數如表1所示。

表1 微氣體軸承初始參數

參數數值軸承氣膜長度L/μm10.0軸承氣膜寬度B/μm10.0臺階長度xstep/μm4.0臺階深度hm/μm0.05最小氣膜厚度h0/μm0.1圓角半徑r/μm1.0動力黏度μ/(Pa·s)1.79×10-5轉速n/(r/min)3 000

3.1 不同參數對氣膜壓力分布的影響

圖3、圖4分別示出光滑表面與粗糙表面情況下無量綱氣膜壓力分布圖。經過對比可以發現，當考慮表面粗糙度時，由于分形粗糙面的存在，氣膜壓力產生隨機波動，且在階梯位置X=0.4附近波動較為強烈，且達到最大壓力峰值，其中最大壓力值較光滑表面提升6.7%，同時壓力分布呈現出隨機性和非線性，并相對Z=0.5軸對稱分布。

為了進一步探討粗糙表面下不同結構參數對壓力分布的影響，圖5示出不同軸承間隙、臺階深度以及轉速對氣膜長度方向壓力的影響。通過對比光滑表面與粗糙表面兩種工況發現，表面粗糙度對氣膜壓力分布的影響不可忽略。由圖5a可以看出，隨著軸承間隙的增加，氣膜整體壓力水平有所降低，并且氣膜厚度越小，其壓力波動越強烈。其原因在于：表面粗糙度與氣體稀薄效應耦合時，氣膜厚度減小將導致Knudsen數增加，從而氣體稀薄效應增強，此時表面粗糙度的影響效應也將顯著增強，從而使得壓力產生強烈的隨機性波動。相比于光滑表面工況，當最小氣膜厚度h0分別為0.1 μm和0.3 μm時，其最大壓力值分別提升6.7%、1.2%。從圖5b可知，當表面光滑時，臺階深度對壓力幾乎無影響；當考慮表面粗糙度時，氣膜壓力波動曲線一致，當處于X=0.3 μm附近時，壓力分布出現分界點；當hm分別為0.02 μm和0.05 μm時，對比兩條粗糙度壓力曲線，其最大無量綱壓力值分別為1.21、1.36。通過圖5c可以發現，當考慮表面粗糙度時，轉速對氣膜最大壓力的影響較小，當轉速n=5 000 r/min時，相比于3 000 r/min的工況，其光滑表面時最大無量綱壓力提升11.2%，然而粗糙表面時最大無量綱壓力變化幅度為0.002。

3.2 不同參數對氣膜承載力的影響

圖6示出了光滑表面與粗糙表面兩種情況下，無量綱氣膜承載力隨著不同軸承間隙、轉速及廣度參數的變化規律。從圖中知道，無量綱承載力隨軸承間隙的增大而減小，隨轉速和廣度參數的增大而增大。由圖6a可知，當最小氣膜厚度h0小于0.3 μm時，表面粗糙度的影響效應增強，相比于光滑表面，其承載力有所提升，其中轉速越大，承載力的提升幅度越顯著；隨著軸承間隙的增大，表面粗糙度與稀薄氣體的耦合效應將減弱，氣膜承載力也將減小；當h0=0.1 μm，n=5 000 r/min時，相比于光滑表面，此時無量綱承載力提高7.2%。由圖6b看出，承載力與轉速近似正比例關系，但臺階深度對其承載力的影響不大；當hm=0.05 μm時，相比于光滑表面，其無量綱承載力相對變化幅度最大為0.04。從圖6c發現，隨著廣度參數ε增加，其有效承載區域將增大，承載力也隨之增大，最后趨于平緩；此時軸承間隙越小，其承載力相對變化幅度越顯著。

4 結語

(1)表面粗糙度和稀薄氣體的耦合效應對微尺度氣膜壓力的影響不可忽略，同時壓力分布呈現一定的隨機性。

(2)軸承間隙越小，表面粗糙度的影響效應越顯著，從而氣膜壓力波動愈強烈；臺階深度對光滑表面氣膜壓力幾乎無影響，并且提高轉速能夠改善整體壓力水平。

(3)無量綱承載力隨著軸承間隙的增大而減小，隨著轉速和廣度參數的增大而增大；其中軸承間隙越小，轉速越大，無量綱承載力的變化幅度越顯著。