伯努利方程原理及其應(yīng)用

吳明眼

（運城護(hù)理職業(yè)學(xué)院 山西 運城 044000）

1 伯努利方程原理

設(shè)a2b2與a1b1段液體的體積和質(zhì)量為V和m。a1b1段液體的機(jī)械能為段液體的機(jī)械能為在Δt時間內(nèi)a1a2段液體總的機(jī)械能的增量為

圖1 伯努利方程的推導(dǎo)

右側(cè)的力F2它對流體做負(fù)功，所做的功為

∴兩側(cè)外力對所研究液體所做的功為：

由功能原理得，ΔE=W

上式各項除以V并移項整理后得：

伯努利方程應(yīng)用說明：嚴(yán)格地說，伯努利方程只適用于理想液體做穩(wěn)定流動的情況。對于黏性較小的水、乙醇等液體或流動中密度變化很小的氣體，當(dāng)它們作穩(wěn)定流動時，伯努利方程仍近似成立[1]。

2 伯努利方程的應(yīng)用

2.1 列車進(jìn)站時，要站在兩米安全線外

在乘坐火車時，我們都會在站臺上看到一條長長的黃漆線，每當(dāng)列車快進(jìn)站時站臺工作人員都會要求乘客站在這條黃線后面。這是因為列車進(jìn)站時速度都比較快，高速行駛的列車會帶動車廂兩側(cè)的空氣快速流動。根據(jù)伯努利方程可知，越靠近列車空氣流速越大，人體就會感到一股將人體推向列車的力。下面用伯努利方程定量計算靠近列車時，在人體兩側(cè)產(chǎn)生的壓力差的值，我們稱之為“風(fēng)壓”。

由于空氣密度ρ和重度r的關(guān)系為r=ρg，因此有ρ=r/g。將ρ=r/g代入（1）式，得：

這就是風(fēng)壓公式。在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下空氣重度r=0.0122599（kN/m3），重力加速度g=9.8m/s2，我們得到風(fēng)速估計風(fēng)壓的通用公式：

測算表明，一列時速為250公里的“子彈頭”開起來，在靠近列車車廂兩邊掀起的風(fēng)速v高達(dá)26m/s。根據(jù)計算人體表面積許文生氏公式：

以某乘客身高170cm，體重65kg為例，根據(jù)（4）式，其體表面積計算S約為1.716m2。那么乘客在列車附近感受到時速為250公里的“子彈頭”的風(fēng)的壓力F=ΔPS=362.5N，換算成公斤單位為37公斤。通過以上計算可知，人體靠近高速進(jìn)站行駛的列車時會受到37公斤左右的推向列車的推力，這時非常危險的，很容易發(fā)生意外。因此，列車進(jìn)站時，乘客要站在2米安全線外。

2.2 “香蕉球”原理

在足球比賽罰球時，我們經(jīng)常看到球員將球踢出去之后球并不是沿著直線飛向球門，而是以弧形曲線飛向球門并進(jìn)球。足球史上最著名的“香蕉球”球員非英國的貝克漢姆莫屬。貝克漢姆主罰任意球時，面對前方的人墻，往往不是直接把球射向球門，而是用右腳把球踢向球門外側(cè)，看似不會進(jìn)球，但球往往在飛行的過程中最后卻意外拐彎進(jìn)了球門，令守門員防不勝防。如果我們仔細(xì)觀察貝克漢姆射門時的右腳就會發(fā)現(xiàn)，他并不是用腳尖直接踢球的正中間，而是腳尖偏左側(cè)踢球的右側(cè)一邊。這樣踢球的結(jié)果就是足球在飛行過程中會逆時針旋轉(zhuǎn)著向前飛行，足球右側(cè)由于是逆風(fēng)飛行，球面的旋轉(zhuǎn)方向和風(fēng)向相反，空氣流線疏，足球左側(cè)球面的旋轉(zhuǎn)方向和風(fēng)向相同，空氣流線密。這樣，球面左側(cè)的風(fēng)速大于球面右側(cè)的風(fēng)速，由伯努利方程可知，球飛行過程中空氣會產(chǎn)生向左的推力，足球的飛行軌跡活像一支香蕉，“香蕉球”的由來就是這樣產(chǎn)生的。用伯努利方程作如下分析：

式中，P1，P2為足球球面上對稱兩點的壓強(qiáng)，v0為空氣介質(zhì)流速，v1為旋轉(zhuǎn)足球球面帶動與之相鄰的空氣的流速。

解上面方程式得：P1-P2=2ρv0v1

2.3 風(fēng)掀屋頂

2.4 飛機(jī)的升力

飛機(jī)的重量非常大，飛機(jī)是如何能夠從地面上騰空而起的呢？飛機(jī)之所以能在空中飛行靠的就是飛行中一對機(jī)翼產(chǎn)生的升力。而飛機(jī)機(jī)翼一般都是上表面彎曲，下表面平坦，在飛機(jī)飛行過程中，機(jī)翼將迎面的風(fēng)切割成了上下兩部分，在相同的時間里流過機(jī)翼上下表面空氣流走過相同位移但經(jīng)過不同的路程，也就造成了機(jī)翼上、下表面空氣流速不同致使流過機(jī)翼下表面空氣速度小于流過機(jī)翼上表面空氣速度，機(jī)翼上下表面產(chǎn)生了向上的壓力差，所以飛機(jī)可以克服重力起飛并飛行。

下面定量計算飛機(jī)飛行時機(jī)翼上下表面產(chǎn)生的壓力差。為了計算的簡便，我們采用簡易模型的方法，把飛機(jī)的機(jī)翼橫截面設(shè)計成圓形的一部分（圖2）。設(shè)機(jī)翼上表面弧長對應(yīng)的圓心角為π/3，流經(jīng)飛機(jī)上表面氣流速度為v1，流經(jīng)下表面氣流速度為v2，機(jī)翼上下表面壓強(qiáng)差為Δp。利用伯努利方程可得：。

圖2 飛機(jī)機(jī)翼橫截面圖

2.5 航行中的的兩船不能靠的太近[2]

當(dāng)航行中的兩船彼此接近平行行駛時，兩船之間的水受到兩船的擠壓，兩船之間水的流線比船外側(cè)的流線更密一些，所以兩船之間水流速度比外部大一些，根據(jù)伯努利方程可知兩船之間的水壓比兩船外部的水壓小一些，這樣外部壓強(qiáng)較大的水壓就把兩船逐漸往一塊擠。因此，航行中的兩條船不能靠的太近，必須保持一定的距離。

2.6 風(fēng)速太大導(dǎo)致人呼吸困難

當(dāng)人們站在風(fēng)口時，常會感到呼吸有略微的“困難”，用伯努利方程來解釋這是由于風(fēng)口處空氣氣流較大，導(dǎo)致風(fēng)口處氣壓略微降低，進(jìn)而讓空氣進(jìn)入人體肺部變得困難。

2.7 行駛的列車打開窗戶窗簾會向外飄

列車在高速行駛過程中，當(dāng)打開窗戶時我們發(fā)現(xiàn)車窗窗簾總是呼啦啦往外飄。這是由于列車在高速行駛時車外兩側(cè)的風(fēng)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于車廂內(nèi)部的氣流速度，根據(jù)伯努利方程可知車外兩側(cè)的氣壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于車廂內(nèi)部的氣壓，故打開車窗時，氣流會吹動窗簾往外飄。

2.8 在倒置的漏斗下放一個輕質(zhì)小球不會掉落

在倒置的漏斗下放一個輕質(zhì)小球，用手抵住，在小口中吹氣同時放開乒乓球，我們發(fā)現(xiàn)乒乓球不會掉落。這時由于吹氣時乒乓球上方的空氣流線密，流速大，下方的氣體流線疏，流速小，根據(jù)伯努利方程可知乒乓球下方的氣體大氣壓大于上方的大氣壓，故小球不會落下，只會在漏斗中跳躍。