基于雙光柵法的充液容器共振規律研究

張若彤， 姜天舒， 劉 萍， 方愛平， 宇文子炎

(1. 西安交通大學電氣工程學院，陜西 西安 710049; 2. 西安交通大學電子與信息工程學院，陜西 西安 710049;3. 西安交通大學理學院，陜西 西安 710049)

0 引 言

共振是常見的自然現象，對人類的生活、工作和安全等有重要影響。合理利用共振現象可以給人類的生活和工作帶來極大的便利，比如利用機械共振原理可以制造地震儀，工業生產中的振動式壓路機和打夯機等也是利用了共振原理[1]；但同時共振也會引起結構很大的變形和動應力，甚至造成破壞性事故，如共振引起橋梁倒塌事件、次聲波與人體器官發生共振后造成大量人員傷亡、機床共振后影響加工精度等事件屢見不鮮[2]。近年來，隨著我國經濟發展和戰略方針的重大調整，特別是亞投行投資下油氣運輸的發展、“一帶一路”促進下商貿物流的繁榮，大型油船、儲油罐以及原油管道等裝有部分液體的容器在外界激勵作用下共振現象越來越引起關注，共振會導致油船內液體劇烈晃蕩，甚至會引起船體傾覆和輸油輸氣管道斷裂[3-6]。但目前對裝有部分液體的容器共振現象的研究不系統，大多集中于對振動模式的探究，而較少關注共振頻率與共振振幅。在理論研究中，French等[7]建立了圓柱面型玻璃杯裝有液體時共振頻率和振幅的解析模型，Jundt等[8]對旋轉拋物面型玻璃杯的振動模式進行了探究。在實驗研究方面，目前尚無對于裝有部分液體的容器振幅測量的系統報道。因此亟需開展類似問題的研究，發展能精確測量充液容器共振參數的實驗技術，在此基礎上進行系統的研究，分析影響充液容器共振規律的控制因素。

本文利用常見的大學物理實驗教學設備，采用改進的雙光柵法系統研究了盛有液體玻璃酒杯的共振規律，重點分析了容器內液體的高度、粘性以及容器幾何尺寸等參數對共振頻率和振幅的影響。結果表明，實驗結果能較好的與French模型吻合，研究成果可用于類似工業和民用容器的工程設計和共振規律的研究。

1 理論基礎

物體一般存在多個振型，不同振型所對應的頻率不同，振型駐點個數越多，所對應的頻率就越高，振幅也越小。根據文獻[7]的研究成果，可假定容器（杯子）的振型為在杯口形成一個有4個駐點的圓形駐波，在豎直方向上產生只有1個駐點的駐波，駐點在杯子最下端固定處，在給定能量的情況下，可建立能量方程：

Δ——振幅；

t——時間；

m、k——常數，ω2=k/m，ω表示振動頻率。

從而可給出空杯動能和勢能方程：

式中：K、U——空杯的動能和勢能；

ρg——玻璃密度；

a、H、R——杯壁厚度、高度、內徑；

z——高度的垂直坐標；

Y——玻璃楊氏模量；

Δ0——共振振幅；

f(z)——振幅系數，在不同玻璃杯基準形狀下

描述不同高度杯壁的振幅大小。

玻璃杯振動時，在頂部自由，在底部被夾緊，故f(z)是一個單調增函數，z=0時f(z)=0，z=H時f(z)=1。根據文獻[9]的研究成果，f(z)的表達式為

其中A、B、β都是常數。因不同玻璃杯基準形狀不同，根據文獻[8]，對旋轉拋物面酒杯，其振幅系數可為：

根據文獻[7]，對圓柱面酒杯，其振幅系數可為：

當杯子中裝有液體時，與軸線距離為r的單位體積液體的徑向位移δr和橫向位移δt滿足：

式中：ρl——液體密度；

h——液面高度。

故當杯子中有液體時，系統的動能與共振頻率滿足：

式中：ν0——空杯共振頻率；

νh——液面高度為h下的系統共振頻率。

從而可以推出，對于旋轉拋物面的杯子，共振頻率νh與 振幅Δ0分別為：

圓柱面杯子的共振頻率νh與 振幅Δ0分別為：

2 實驗研究

選用拋物面形和圓柱面形兩種不同形狀玻璃杯，通過改變容器中液體高度和粘度系數分析各主要控制參數對容器共振規律的影響。利用50VA揚聲器及功放設備作為信號源，SDG1020頻率發生器用于調節發聲頻率，VM99雙光柵微弱振動測量儀與SDS1062D數字示波器用于瞬態信號采集并用于判斷共振頻率和測量共振振幅，實驗設備實物照片見圖1。

圖1 實驗裝置實物

微弱振動測量儀是物理實驗教學中測量音叉振動幅度的常見儀器，一般采用兩片完全相同的光柵平行緊貼，一片靜止固定在底座上，另一片固定在音叉上隨音叉振動而上下運動，通過兩者相同運動產生多普勒頻移效應測量音叉相對位移[10]。為測量杯子振動的微振幅，對傳統的微振動測量儀進行改進，將原本安裝在音叉振動幅度最大一端的光柵拆下安裝至玻璃杯杯口的位置，使其與靜止光柵平行。當玻璃杯接收到揚聲器發出的基于共振頻率的聲波時，玻璃杯上粘著的光柵將會相對于靜止光柵運動，此時令一束激光光束通過這樣的雙光柵，移動光柵由于多普勒效應產生了頻移光，而靜止光柵產生非頻移光。這兩束光疊加形成光拍，通過光電檢測器測量差頻信號，就可以精確測定微弱振動的位移，此位移與示波器中顯現的光拍中包含的波峰數成正比。

為確定固有頻率的大致范圍，用木棍敲擊玻璃杯上部，利用裝置采集聲波，通過Cool Edit軟件對其進行頻譜分析，其中能量分布最為集中的頻率范圍即為固有頻率的大致范圍。在此基礎上利用雙光柵法進行精確測量：在該頻率附近，調節頻率發生器頻率，找到在0.1 Hz的精度下能使玻璃杯振動幅度最大的頻率，即為此種情況下的振動頻率。為了避免所測共振是由二次諧波引起的，對該頻率的1/2和1/3等的頻率及其倍頻進行實驗研究。實驗結果表明，只有當揚聲器發出的聲音在該頻率上有顯著分布的時候，玻璃杯才會發生共振，從而排除了出現二次諧波的可能性。

玻璃杯共振振幅，可以直接通過雙光柵法測得，其與示波器中顯現的光拍中包含的波峰數成正比。而玻璃杯處的聲強測量，也可以通過在玻璃杯附近的收聲器收聲，在Cool Edit中頻譜分析求得在該共振頻率下的聲強分布。

基于以上實驗技術，本文系統開展了不同玻璃杯中液面高度玻璃杯中液體粘滯系數、聲強，以及杯子的形狀等參數對共振頻率和振幅影響的實驗研究。

3 實驗結果分析

3.1 旋轉拋物面酒杯

3.1.1 水面高度對共振頻率的影響

為研究水面高度對共振頻率的影響，測量不同水面高度時系統的共振頻率，實驗結果與式（9）對比見圖2，其中ν0=1 122 Hz，ρl=1 g/cm3，ρg=2.5 g/cm3，R=69.744mm，a=1.903 mm，H=82.6 mm，擬合所得系數ε=0.5，式（9）與實驗數據吻合較好。

3.1.2 不同水面高度與聲強對振幅的影響

在雙光柵法測量振幅的方法中，振幅測量可以轉化為對半包絡周期內波峰個數nλ測量。液面高度2.50～4.50 cm范圍內所對應的聲強級LI與半個包絡周期內波峰個數實驗結果見圖3。實驗結果表明，水面高度越高，所對應的半周期波數就越小，即在相同聲強下振幅越小；相同水面高度的實驗結果則表明聲強越大所對應的振幅就越大。

圖2 共振頻率隨水面高度變化規律實驗值與理論曲線對比

圖3 不同水面高度振幅隨聲強級變化規律實驗結果與擬合曲線對比

根據系統振動總能量E與聲強級LI之間的關系，有：

式中：LI——聲強級（dB）；

I——聲強；

I0——基準聲強；

E0——基準能量。

因nλ與Δ0成線性正比關系，將式（13）帶入式（10）則有：

其中C(h)為僅與h有關的系數。根據圖3的數據，對式（14）擬合，可得h分別為2.50 cm、3.00 cm、3.50 cm、4.00 cm和4.50 cm時，系數C(h)分別為35.010 9、32.962 3、29.529 8、26.485 5和22.431 1。

為消除液面高度h影響，引入相對聲強級和相對振幅的概念，兩者之間具有如下關系：

式（15）與實驗數據對比見圖4，兩者能較好地吻合。

圖4 相對聲強級與振幅實驗結果與理論值對比

3.1.3 粘滯系數對共振頻率和振幅的影響

相同密度不同粘滯系數的液體，在相同液面高度下共振頻率及振幅的實驗結果如表1所示。在本文所選用的粘滯系數范圍內，共振頻率和振幅相差不大，即粘滯系數對共振的影響可以忽略。

表1 粘滯系數對共振頻率及振幅的影響實驗數據

3.2 圓柱面酒杯

為研究容器形狀對共振規律的影響，選擇圓柱面酒杯開展了相同的共振實驗研究，限于篇幅，本文中只給出液面高度對共振頻率影響以及不同液面高度下聲強對振幅影響的實驗結果。圖5為不同液面高度的共振頻率實驗結果，并給出利用式（11）以及參數a=1.720 mm，ρl=1 g/cm3，ρg=2.5 g/cm3，R=54.703mm，H=14.66 cm，ν0=1 815 Hz擬合所得結果，其中擬合系數ε=0.3，擬合值與實驗結果吻合較好。圖6為利用式（15）所示的相對聲強級與振幅關系和實驗結果對比，其變化規律也與拋物線杯子相同，能較好地與式（12）吻合。研究結果表明容器形狀對共振規律的影響可通過在式（7）和式（8）中引入振幅系數f(z)來體現，同時也表明式（7）和式（8）具有一定普適性，其對共振頻率和振幅的預測可以較好地推廣到其他形狀的容器。

圖5 圓柱面酒杯共振頻率隨水面高度變化規律實驗結果與理論曲線對比

圖6 圓柱面酒杯相對聲強級與振幅實驗結果和理論值對比

4 結束語

本文提出一種改進的雙光柵測量共振參數的實驗技術，針對部分充滿液體容器在外界激勵下強迫振動問題，利用簡單實驗設備即可方便準確地測量共振頻率和振幅等參數。系統開展了實驗研究，分析了主要控制參數對共振頻率和振幅的影響，取得如下主要結論：

1）所提出改進的雙光柵法能方便地用于裝有部分液容器共振頻率和振幅的精確測量；

2）現有的French共振模型與實驗結果較好吻合，驗證了實驗結果的科學合理性，研究成果可推廣至工程應用，以進行裝有部分液體容器的共振參數計算和結構設計；

3）容器形狀不同給共振規律帶來的影響可以通過修改振幅系數來描述，因此本文研究結論可推廣至其他形狀的容器共振現象分析。