考慮制造商庫存約束的動態供應鏈網絡均衡模型構建

房成哲 馮志芳 博士生 劉杰

中圖分類號：F724 文獻標識碼：A

內容摘要：本文建立了一個帶有時間參量的動態閉環供應鏈模型，由制造商、零售商和消費市場組成，其中制造商存在庫存能力約束，且授權下游零售商回收相應消費市場中的廢舊品，自身只負責生產和再制造活動。本模型中，消費者需求具有波動性，故引入時間參量t。隨著需求的不斷波動，生產商庫存出現變化，進而影響到自身利潤。同時，生產商用于生產的原材料和廢舊回收品數量也在不斷發生變化。本文運用改進的變分不等式和動態投影系統，建立了整個閉環供應鏈的均衡條件，并進行模擬分析，為企業決策者提供指導建議。

關鍵詞：庫存約束 動態供應鏈 均衡分析 變分不等式

引言

隨著科技的迅猛發展，大量淘汰產品及廢棄物使得環境保護問題變得愈發重要，引起了政府和企業的高度重視。然而，這些淘汰產品和廢棄物并非全無價值，經過回收處理還可作為“二次材料”進入再制造環節。因此，考慮再制造的閉環供應鏈引起了學者乃至制造企業的極大關注。閉環供應鏈是指將廢舊品回收活動加入傳統的前向供應鏈網絡，也就是將逆向物流與正向物流結合，經過退貨、再利用、維修、再制造、再循環或廢棄處理等，形成的物流、資金流和信息流的閉環系統。其中，再制造是指通過必要的拆卸檢修和零部件更換等，將廢舊產品恢復得如同新產品的過程。Fleischmann等曾將閉環供應鏈中對廢舊產品的回收渠道劃分為三種形式：零售商回收、制造商回收和第三方回收，學者們基于此三種模式先后進行了相關研究。值得注意的是，以往研究供應鏈多是針對靜態供應鏈網絡模型，研究在某一個時刻最優狀況下供應鏈整體所要達到的理想狀態，實際上供應鏈時刻都處于動態調節的模式中，商品的生產、銷售量、單價等都可能隨時間變化。因此，對動態供應鏈的研究應運而生。

Beckman和Wallace最先提出供應鏈隨時間變化的動態現象，并建立了時間依賴下的網絡均衡模型。Daniele把時間量引入交通網絡均衡模型問題中，此外還建立了一個時間依賴下的空間價格均衡模型。馬軍在2013年針對需求的動態變化，構建動態供應鏈超網絡均衡模型，網絡中由多個生產商和零售商完成產品生產和零售，并基于時變需求和彈性時變需求分別進行研究。彭向研究了基于時變需求的供應鏈網絡動態均衡模型，在靜態模型中引入時間變量，描述供應鏈網絡各成員訂單、庫存和價格的時變特征，并基于歷史訂單、采購和銷售價格等信息，給出各成員考慮訂單提前期和庫存成本的訂單生成策略的數學描述。隨后，馮志芳提出一個帶有時間參量t的閉環供應鏈超網絡模型，考慮消費者對商品的需求是隨季節變化的，從而研究在波動函數影響下的各決策者行為。王莎莎對動態閉環供應鏈進行研究，將動態供應鏈與移動通信以及逆向物流聯系起來，建立由原材料供應商、生產商、零售商、需求市場、回收商組成的閉環供應鏈模型，并進行相關分析。

基于供應鏈在時間方面的動態性，可以圍繞兩個基本方向：時間離散型研究和時間連續型研究。本文在模型中引入時間參量t表示需求的動態性波動，但是供應鏈中庫存波動及回收廢舊品行為顯然呈現的是時間離散變化現象，故本文屬于時間離散型研究。

此外，庫存問題在很大程度上制約了供應鏈，同樣引起很多學者的關注。自2012年起，張桂濤分別研究了隨機需求環境下的庫存問題、多期閉環供應鏈中產品庫存和制造商庫存能力約束問題，本文同樣也考慮到庫存約束這一現實問題。

本文在模型中設定制造商采用不同的生產材料（原材料和回收的廢舊品）進行生產，導致最終產品存在差異，因而消費者對不同產品具有不同的動態需求函數，且制造商在生產過程中考慮庫存限制。在數值模擬中主要研究隨著時間波動，制造商處原材料采購數量和回收廢舊品數量在生產過程中的占比關系，以及這種比例關系變化對制造商庫存成本和盈利情況的影響，并由此對企業決策者提出相關建議。

模型構建與符號說明

（一）模型構建

本文建立了如圖1所示的帶有庫存約束的動態閉環供應鏈網絡，共包含三層決策者：制造商i∈（1，…，M）、零售商j∈（1，…，N）以及需求市場k∈（1，…，L）中的消費者。其中，制造商i不僅采購原材料進行商品生產，而且要承擔再制造的責任，即從消費者手中回收廢舊品，對其中具有再利用價值的廢棄材料進行再制造。且制造商i只負責生產、再制造活動，授權零售商進行回收活動。且設定1個零售商滿足1個消費市場的需求，同時零售商只負責回收對應消費市場中的廢舊品。消費市場中消費者對不同商品存在一定偏好，同時消費者對產品的需求受季節性影響較大，呈周期性變化。

圖1中的縱向虛箭頭代表時間流，即隨著時間的推移，各決策者的狀態變化情況，其中制造商的庫存轉移變化由縱向弧線箭頭表示。

由于再制造問題的復雜性，為便于分析，本文作如下假設：

假設1：消費市場中回收的廢棄物僅在制造商處進行檢測、分揀等處理活動，其中無法再利用的廢舊部分將運輸至填埋場進行處理，為便于分析，這部分運輸費用不予考慮；假設2：制造商生產及再制造產品為同一、同質產品，投放在相同的消費市場，但由于再制造產品的低成本及消費者偏好，同一市場上兩種商品售價并不相同；假設3：為便于集中回收和節約成本，1個零售商只負責回收對應消費市場中的廢舊品（零售商回收單價為ρb2），但返回給多個制造商（制造商回收單價為ρb1），ρb1>ρb2；假設4：模型中涉及的生產函數、采購成本函數和庫存函數均為連續可微凸函數。

（二）變量和符號說明

T：一個規劃周期；t：任意時間點，且t=t`∈[0，T]，t=t`+△t∈[0，T]，△t為規定的時間間隔；i：某一制造商，i∈（1，…，M）；j：某一零售商，j∈（1，…，N）；k：某一消費市場，k∈（1，…，L）；βr、βu：原材料轉化率、回收的廢舊品再制造轉化率；qri（t）、qui（t）：t時刻制造商i用于生產的原材料數量、用于再制造的廢舊品數量，所有qri（t）記為列向量qr∈RMT+，所有的qui（t）記為列向量qu∈RMNT+；qrij（t）、quij（t）：t時刻制造商i批發新產品、再制造產品給零售商j的交易量，所有qrij（t）記為列向量Qr1∈RMNT+，所有quit（t）記為列向量Qu1∈RMNT+；qrjk（t）、qujk（t）：t時刻零售商j銷售新產品、再制造產品給對應消費市場k中消費者的交易量，所有qrjk（t）記為列向量Qr2∈RNT+，所有qujk（t）記為列向量Qu2∈RNT+；qbij（t）：t時刻零售商j轉移給制造商i的廢舊品數量，所有的qbij（t）記為列向量Qb1∈RMNT+；qbjk（t）：t時刻零售商j從對應消費市場k回收的廢舊品數量，所有的qbjk（t）記為列向量Qbk∈RNT+；Ii（t）：t時刻制造商i的庫存量，所有的Ii（t）記為列向量I∈RMT+，其上界為Bi（常數）；ρr1ij（t）、ρu1ij（t）：t時刻制造商i批發新產品、再制造產品給零售商j的交易價格；ρr2jk（t）、ρu2jk（t）：t時刻零售商j銷售新產品、再制造產品給對應消費市場k中消費者的產品單價；ρrk（t）、ρuk（t）：消費者購買新產品、再制造產品的需求價格，所有的ρrk（t）記為列向量ρr∈RLT+，所有的ρuk（t）記為列向量ρu∈RLT+；hi、hj、hk：交易過程中，制造商i、零售商j、消費者k承擔的單位交易費用，為一常數；ρj：零售商j對商品的陳列成本，為一常數；ρb1、ρb2：生產商與零售商之間、零售商j從對應消費市場回收廢舊品的單價，為一常數，且ρb1>ρb2；fri（qr（t），βr）：t時刻制造商i利用原材料生產時的生產成本函數；fui（qu（t），βu）：t時刻制造商i利用回收材料生產時的再制造成本函數；fri（qri，t）：t時刻制造商i的原材料采購成本函數；Hi（Ii，t）：t時刻制造商i的庫存成本函數；αk（Qbk，t）：t時刻消費者將廢舊品賣給零售商的負效用函數；Drk（ρrk，ωr，t）、Duk（ρuk，ωu，t）：消費者k對新產品、再制造產品的需求函數，ωr、ωu為價格敏感度因子。

決策者行為分析

（一）制造商最優行為

制造商i以生產、再制造并出售商品成品來獲利。其材料來源既有從供應商處采購的原材料，還有由消費市場處回收的廢舊產品轉化而來的可重復利用材料。此外，由于市場需求的波動和生產計劃的制定并不完全同步，制造商需考慮庫存管理問題。各制造商間是非合作競爭關系，則y時刻制造商i的利潤最大化目標函數可表示如下：

（1）

（2）

Ii（t）≤Bi （3）

而且qrij（t）、quij（t）、qri（t）、qbij（t）和Ii（t）≥0，t∈[0，T]，i，j。

式（2）表明當期產品庫存加上批發給零售商的所有產品量，等于采用原材料的生產量、采用廢舊品的再制造量與上期轉移到當期的庫存量之和；式（3）是制造商的庫存能力約束。

根據前述，制造商的最優狀態可以描述如下：

可行域滿足：

其中，λ1（t）=（λ1i（t）i=1，…，M），λ2（t）=（λ2i（t）i=1，…，M）為拉格朗日乘子。

（4）

（二）零售商最優行為

零售商的主要工作為銷售新產品和再制造商品給對應的消費市場，并從消費市場回收廢舊品銷售給制造商。所需承擔的成本包括向制造商批發商品的費用、與消費者的交易費用、商品的陳列展銷費用以及回收廢舊品成本。則t時刻零售商j的利潤最大化函數表示為：

（5）

（6）

（7）

而且，qrjk（t）、qujk（t）、qrij（t）、quij（t）、qbjk（t）和qbij（t）≥0，t∈[0，T]，i，j，k。

式（6）為零售商購銷約束限制；式（7）表明零售商從消費市場回收的廢舊品數量與銷售給制造商的廢舊品數量一致。

假定零售商是非合作競爭關系，其最優狀態可以描述如下：

可行域滿足：

其中，υ1（t）=（υ1j（t）j=1，…，N），υ2（t）=（υ2j（t）j=1，…，N）為拉格朗日乘子。

（8）

（三）消費市場最優行為

消費者需求具有波動性，本文以需求隨時間作周期性變化為例，研究消費者需求對供應鏈整體的影響。

Drk（ρrk，ωr，t）=（Dr-ωrρrk（t））·（1-RArd·cos（2π（t+φrd））） （9）

Duk（ρuk，ωu，t）=（Du-ωuρuk（t））·（1-RAud·cos（2π（t+φud））） （10）

消費市場是連接正向供應鏈和逆向供應鏈的節點，因此本文從兩方面進行分析：在正向供應鏈中，零售商j與消費市場k中的消費者進行交易時的均衡狀態可描述如下：

（11）

（12）

（13）

（14）

在逆向供應鏈中，消費市場k中的消費者愿意把廢舊品賣給零售商的前提是其面對的不利因素能夠得以補償。

（15）

s.t. qbjk（t）≤qrjk（t）+qujk（t） （16）

而且，qrjk（t）、qujk（t）、ρrk（t）、ρuk（t）和qbjk（t）≥0，t∈[0，T]，j，k。

式（16）表明消費市場k中回收的廢舊品數量不能超過其從零售商處購買的商品總量。

將正向供應鏈與逆向供應鏈的情形結合起來考慮，得出消費市場k中消費者的行為分析，可以描述成如下的變分不等式：

可行域滿足：

其中，ζ（t）=（ζk（t）k=1，…，L）為拉格朗日乘子。

（17）

考慮制造商庫存約束的動態供應鏈網絡均衡狀態

考慮制造商庫存約束的動態供應鏈網絡均衡狀態就是能夠有效連接正向物流與逆向物流，使得各層決策者的交易量與價格均滿足均衡狀態（4）、（8）、（17）之和。

為便于下文的性質分析，本文將整合后的變分不等式改寫成標準形式，即存在X*∈K，使得：

〈F（X*），X-X*〉≥0，X∈K （18）

其中，K=（K1×K2×K3）t∈[0，T]，且本文中F（X）是均衡狀態（4）、（8）、（17）整合后相應的部分集合。變分不等式（18）解的存在性和唯一性的證明可以參考Nagurney A，Dong J，Zhang D（2002）。

數值模擬

本節提出了帶有2個生產商、3個零售商和3個需求市場的閉環供應鏈網絡。模型求解中所需的參量設置為：hi=10、hj=10、hk=5、βr=0.7、βu=0.5、ρj=8、Bi=150、Dr=Du=1000、wr=1.1、wu=1.3、RArd=RAud=0.3。

生產商的生產成本函數：

fri（qr（t），βr）=（βr·qri（t））2+（βr）2·qr1（t）·qr2（t），i=1，2，t∈[0，T]

fui（qu（t），βu）=（βu·qui（t））2+βu·qui（t），其中，i=1，2，t∈[0，T]

生產商的原材料采購成本函數：

fri（qri，t）=（qri（t））2+qr1（t）·qr2（t）+2·qri（t），i=1，2，t∈[0，T]

生產商的庫存成本函數：

Hi（Ii，t）=2·Ii（t），i=1，2，t∈[0，T]

消費者對廢舊品賣出的負效用函數：

αk（Qbk，t）=0.5·（qbjk（t）），k=1，2，3，t∈[0，T]

為便于分析，本文設定規劃期T為一年，其中，△t為一個固定值0.1年，即把一年劃分為10個等間隔時間段來研究。由于函數設置的原因，2個生產商的情況一致，因此本文選取生產商1的數據作為分析依據。

圖2給出了生產商1用于生產的原材料數量和用于再制造的可利用廢舊品數量關系。從圖中可以看出，在初始階段（即t=0）生產商1尚未從需求市場上回收廢舊品，因而生產用材料來源于上游采購的原材料。隨著經濟活動的繼續，市場上的消費者在回收價格的激勵下會主動出售廢舊品，從而使得生產商1處的可利用廢舊品數量qui=1（t）有所增長。但需要注意的是，由可利用廢舊品轉化的再制造商品數量無法滿足市場需求，所以原材料的采購量依然不低，但在一定程度上達到了節約資源的目的。

圖3給出了生產商1的庫存變化情況。可以看出，生產商1的庫存量從t=0.6時開始增加，意味著市場需求有所下降（或生產供應大于市場需求），結合圖2可知，生產商1采購的原材料數量出現一定幅度的下滑，而此時的回收廢舊品數量反而有所上升，說明生產商1可通過調節購入的原材料數量和回收的廢舊品數量來生產商品，以保障市場需求及利潤最大化。

圖4給出了生產商1的利潤變化情況。可以看出，在t=0.6之前生產商的利潤波動不大，基本處在較為平穩的范圍。當t≥0.6時，生產商利潤出現較大幅度增長，而后出現下滑趨勢，而在此時間段內恰逢生產商庫存開始出現并有所增長（見圖3）。在庫存小幅增長時（即0.6≤t≤0.8），生產商1的利潤雖然有波動，但整體上還是比之前（0≤t≤0.5）有更多盈利，這說明在一定的庫存成本影響下，生產商通過調節采購的原材料數量和回收的廢舊品數量確實可以達到盈利的目的，而且適當的庫存對生產商也有利。但是當庫存增長幅度過快（即t≥0.8）時，生產商1的利潤也出現斷崖式下跌，尤其當t=1.0，此時庫存已接近極限值（Bi=150），與此對應的是利潤處于最低點。這就說明較大的庫存對企業盈利影響較嚴重，一味調節原材料采購數量已不能控制自身較大的成本支出，為此建議企業在庫存管理方面應采取多種有效處理手段（如JIT生產、準確預測等）。

參考文獻：

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