基于Hamilton睯acobi睟ellman方程求解保險業最優投資策略

袁遠 施齊焉

摘要 在經典復合泊松模型中，保險公司將資金投入一個風險投資過程和一個無風險投資過程.當索賠的分布確定后，運用隨機控制中的HJB方程最小化保險公司的破產概率，在已知投資規?；蛲顿Y組合的情況下求解二者中的另一項，進而得到最優投資策略并討論各種策略的運用對破產概率的影響.解決保險公司的投資資金分配問題，在實際應用中具有一定的參考價值.

關鍵詞 隨機控制，HJB方程，最優策略

中圖分類號O211.6文獻標識碼A

1引言

在保險公司的經營過程中，一方面要將保費收入用于投資以獲得利潤收益，另一方面要預留一部分資金以備索賠的支付.預留資金過少增大了經營風險，投資結構不合理又影響資金效率.本文從破產概率的角度考量這一問題，為保險公司的投資決策提供便利.

2經典破產概率和帶有依賴于當前

資產的保險金的破產概率

在金融數學和保險數學的范疇內，破產理論是風險理論的核心內容.近年來隨機控制在有限時間內破產問題中的應用取得許多成果[1-3].通過HamiltonJacobiBellman方程，最優解不僅可以被計算出來[4，5]（通常是數值解），而且最優解的光滑性已被證明.

4數值計算結果舉例

實驗3類似的將b從0.7減少至0.55，則需要更多的資金投入才能彌補因風險投資額減少而帶來的總收益損失.此外圖5中可以看出投資額的增加過程是上凹的.綜合實驗2分析，當市場不景氣時為了維持當前的生存水平，保險公司需要將多得多的資金投入風險過程.

5最優投資組合

類似式（3）求得固定投規模a的情況下投資組合b的函數：

而迭代不收斂時則是因為迭代初值遠離最優點，此時應考慮改變投資策略.針對各種可能的情況，得到投資組合及風險結果見表1

6結語

該模型根據索賠分布和津貼分布的變動，能夠

很好地適應現實中多種情況下保險公司最優投資的決策，甚至在投資規模和投資組合都不明確的情況下仍然可以給出最優策略，為保險公司的經營決策提供便利.數值計算求解過程簡單快捷，迭代結果收斂時不論是對于投資規模還是投資組合而言，都能使得破產概率最小.然而仍然存在以下不足：

1）該模型僅從最小化破產概率的角度出發，沒有考慮到諸如最求最大利潤或增加公司品牌效應.

2）迭代結果受到索賠分布的影響，在無法較準確地刻畫索賠分布的情況下，實驗結果的準確性將會降低.

一個較有意義的改動是放寬a和b的邊界，例如允許借貸或資金托管，這將消除由于迭代到達邊界而無法繼續進行下去的缺陷.

參考文獻

[1]C HIPP， M TAKSAR. Stochastic control for optimal new business. [J] Insurance： Mathematics and Economics， 2000（26）： 185-192.

[2]B HOJGAARD， M TAKSAR. Optimal risk control for a large corporation in the presence of returns on investments. [J] Finance and Stochastics， 2001（5）： 527-547.

[3]M TAKSAR， C MARKUSEEN. Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios. [J] Finance Stochastics， 2003（7）： 97-121.

[4]Bernt ksendalStochastic differential equations[M].5th edition. Berlin： SpringerVerlag ， 1998.

[5]Martina T Castillo. Stochastic control theory for optimal investment. [D]New South Wales： University of New South Wales， Faculty of Commerce and Economics， 2005.

[6]Soren ASMUSSEN. Ruin probability[M] 2nd edition. Singapore： Printed FuIsland Offset Printing（S） Pte Ltd， 2001.

[7]Charles KNESSL， Craig Steven PETERS Exact and asymptotic solutions for the timedependent problem of collective ruin. [J] SIAM J APPL MATH， 1996，56（5）： 1471-1521.