開放型題的歸類解答

文/劉 頓

責任編輯：王二喜

開放型題能培養我們的創新思維能力，是近幾年中考數學命題的一個新熱點.開放型題可分為條件開放題、結論開放題、條件與結論開放題.請看下面的例子.

一、數與式中的開放題

例1三個代數式：①a2-2ab+b2；②3a-3b；③a2-b2.從中任意選擇兩個代數式構成分式，然后進行化簡，并求當a=6，b=3時該分式的值.

分析：答案不唯一.

二、方程與不等式的開放題

例2一元二次方程x2-5x+c=0有兩個不相等的實數根且兩根之積為正，若c是整數，則c=.（只需填一個）

分析：∵一元二次方程x2-5x+c=0有兩個不相等的實數根且兩根之積為正，

∴Δ＞0，c＞0，即Δ＝（-5）2-4×1×c=25-4c＞0，

又∵c是整數，

∴c的值為1，2，3，4，5，6.

答案不唯一.如填1.

三、函數開放題

分析：答案不唯一.只要k＜0就符合題意.

四、三角形與四邊形的開放題

例4正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連接DF，BF，如圖1.

（1）若α=0°，則DF=BF，請加以證明；

（2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；

（3）對于（1）中命題的逆命題，如果補充一個條件后，能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由.

圖1

圖2

圖3

分析：（1）如圖2，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，

∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，

∴DG=BE，

∴△DGF≌△BEF，∴DF=BF.

（2）圖形（反例），如圖3.

（3）答案不唯一.

如，F在正方形ABCD內，或α＜180°，若點F在正方形ABCD內，DF=BF，則旋轉角α=0°.

五、圓與相似形的開放題

例5如圖4，OB是已O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB，若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數可以是（寫出一個即可）.

分析：不妨設AB與CD交于點E，

∴∠BOE=30°，∠OBE=60°.

當點P與點O重合時，∠PAB=∠OAB=∠OBA=60°；

當點P與點D重合時，連接OA，則∠OAB=60°，∠AOC=30°，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=15°，∠PAB=75°，

當點P在線段OD上移動時，60°＜∠PAB＜75°.

故答案不唯一.

如，∠PAB的度數可以是70°.

圖4

六、統計與概率的開放題

例 6 已知A組數據如下：0，1，-2，-1，0，-1，3.

（1）求A組數據的平均數；

（2）從A組數據中選取5個數據，記這5個數據為B組數據.要求B組數據滿足兩個條件：①它的平均數與A組數據的平均數相等；②它的方差比A組數據的方差大.

（2）答案不唯一.

A組數據的平均數為0，B組數據的平均數也為0，去掉的2個數的和為0即可.

如，選取的B組數據是：1，-2，-1，-1，3.

所以數據1，-2，-1，-1，3符合題意.