臨近空間高超聲速滑翔彈跟蹤模型

喻晨龍，譚賢四，王紅，曲智國，謝非

(1.空軍預警學院a.研究生管理大隊；b.防空預警裝備系，湖北 武漢 430019；2.長江勘測規劃設計研究院，湖北 武漢 430019)

0 引言

臨近空間高超聲速滑翔彈因其“飛行速度高”、“巡航高度高”、“突防能力強”、“打擊距離遠”、“可重復使用”的特點倍受青睞[1-2]。針對這一類殺手锏武器的防御目前可行手段是以反導預警系統為依托，米波雷達、凝視雷達等新型裝備為補充協同探測，盡早盡快發現和捕獲目標并維持較高的跟蹤精度，為后端火力系統提供信息支撐。臨近空間高超聲速滑翔彈與彈道導彈在飛行器構型、飛行器運行環境、飛行器受力和飛行器控制方式上存在極大差異，如何實現連續穩定跟蹤，成為亟待解決的關鍵問題[3]。

濾波器是最常用的跟蹤手段，主要分2個部分：一是把目標運動和傳感器量測當作隨機過程描述，二是通過濾波算法把兩者關聯[4]。隨機過程的描述方法有2類：一是從飛行受力的角度考慮，結合推力模型、氣動力模型、大氣模型等建模得到目標運動學方程。這種基于動力學的機動模型較少，文獻[5-8]對再入飛行器的氣動力進行了深入分析，提出把氣動力投影到速度坐標系實現解耦，然后利用非線性Kalman濾波器進行狀態估計。另一個是在彈道分析的基礎上，對目標的某些運動參數變化規律合理假設，對隨機過程噪聲加以描述[9-12]。文獻[13]指出臨近空間高超聲速滑翔目標的軌跡曲線呈現明顯的周期特性，用正弦自相關隨機過程來描述目標的加速度變化規律建立Sine Wave模型。

運動參數的統計規律在時域上表現為自相關函數，在頻域上表現為功率譜密度，通過傅里葉變換把它們對應起來。在基于運動參數統計規律建立模型時，可從2個角度考慮：一是基于目標位置規律建立坐標解耦模型，通常假設加速度滿足某一隨機過程；二是根據目標運動的角度規律建立空間模型，可以假設角度的變化率滿足某一隨機過程，并把角度關系映射到位置維度。

當前用于臨近空間高超聲速目標跟蹤的位置模型的研究十分深入。張翔宇針對Singer模型進行了系統的改進：在文獻[14]中提出基于經度-緯度- 高度坐標系的三維投影跟蹤算法，將目標量測分別投影到經緯平面和高度平面，在經緯平面采用線性濾波器，在高度平面采用IMM(interactive multi-model)。在文獻[15]中針對強機動和加速度突變提出一種地心直角坐標系下的基于目標特性分析的修正強跟蹤濾波算法，針對強機動問題，結合衰減記憶理論提出控制預測協方差和模型參數，針對加速度突變問題，提出加速度檢測和加速度補償。

當前用于臨近空間高超聲速目標跟蹤的空間模型研究較少，現有的文獻多是針對協同轉彎CT(coordinate turn)模型進行改進。文獻[16]提出了轉彎機動目標的兩層交互多模型跟蹤算法，文獻[17-19]對笛卡爾坐標系擴維轉彎機動模型、極坐標系擴維轉彎機動模型、動力學約束轉彎模型、機動中心轉彎模型進行了總結。值得注意的是，由于狀態量增廣，系統的狀態模型通常是非線性。

非線性是臨近空間高超聲速目標跟蹤和彈道導彈跟蹤中面臨的突出問題，具體包括狀態模型的非線性和量測模型的非線性。雷達傳感器的量測模型通常是非線性的，其表示形式為極坐標系下的距離和角度。當狀態模型是非線性的時，只能用近似方法來解釋非線性，這包括采用非線性函數近似，如extend Kalman filter(EKF)，modal KF[20]等，或者概率密度函數的非線性變換，如UKF(uncharted Kalman filter)[21]和CKF(capacity Kalman filter)[22]等。但是，當狀態模型是線性和高斯的時，可以采用轉換量測濾波，系統將變為線性，從而使用線性濾波器[23]。因此系統的狀態模型線性是關鍵。

本文從航跡傾角的變化率入手建立了目標跟蹤的機動模型，首先分析了目標的運動特性，觀察到航跡傾角具有明顯的周期性，但是航跡傾角在雷達測量直角坐標系不可見，由于傾角變化率和航跡傾角變化率具有相似的變化規律，提出用傾角代替航跡傾角，將傾角變化率描述成零均值正弦自相關過程，建立角度域的Markov模型。為了輸出目標的位置和速度，把角度關系映射到位置維度得到與協同轉彎模型一致的空間模型。將前端的角度子濾波器輸出的角度變化率輸入到后端的位置子濾波器，通過2個線性的濾波器聯合跟蹤，使得系統總體狀態模型線性，從而提高跟蹤精度。最后，設置了一個仿真場景，通過一系列的仿真實驗驗證了模型的固有參數的取值范圍，并與其他模型進行了比較。

1 目標運動特性

臨近空間高超聲速飛行器屬于典型的再入式航天器，滿足三自由度運動方程，假設地球為均勻圓球，不考慮自轉影響，有[3]：

式中：r，χ，φ分別為目標在地心直角坐標系ECEF(earth centered earth fixed)下的地心距、經度和緯度；v，γ，ψ分別為航跡坐標系下的速度、航跡傾角和航向角；m為目標的質量；g為重力加速度；σ為控制量傾側角；D，L分別為飛行過程中所受阻力和升力。

式中：CD為阻力系數；CL為升力系數；ρ為大氣密度；S為參考面積。

基于(1)-(6)可得到目標的高度、速度、航跡傾角和航向角的變化規律，其中航跡傾角具有明顯的周期特性，如圖1所示。

然而，航跡傾角在雷達測量直角坐標系是不可見的，當在雷達測量直角坐標系下跟蹤時，航跡傾角不能直接用來建立跟蹤模型，需要尋找替代量。

如圖2為目標的彈道剖面，其中其中O為地球球心，P為目標質心，Q為雷達站位置，(x,y)為目標位置。QxSyS為雷達測量直角坐標系，(r0,θ)為測量距離和角度。(γ,φ,β)為航跡傾角、傾角和航程角。υ為目標速度矢量，r為地心距。在彈道剖面有如下關系：

(9)

對式(9)的第1個式子求導：

從式(10)可知航跡傾角變化率、傾角變化率、航程角變化率之間存在加法關系。這3個角的變化率如圖3所示。

2 跟蹤模型與算法

在建立機動模型時，把傾角變化率描述為零均值正弦自相關隨機函數，構造了角速度正弦波- 協同轉彎AVSW-CT(angular velocity sine wave-coordinate turn)模型。系統的輸入為目標的觀測序列，系統包含2個子濾波器：前端的角度子濾波器，狀態模型為傾角變化率的Markov模型；后端的位置子濾波器，狀態模型為CT結構的空間模型。角度子濾波器輸出傾角角速度，輸入到位置子濾波器，驅動其跟蹤濾波，最后輸出目標的位置和速度。

2.1 角度子濾波器

(1) 角度子濾波器的狀態模型

角度濾波器的狀態模型也就是AVSW模型。假設目標的傾角變化率為一零均值的正弦隨機信號，其自相關函數為

(12)

這是一有色噪聲信號，其功率譜密度為

(13)

式中：F(·)為傅里葉變換；ξ為角頻率。

傾角變化率的二階時間相關模型：

(15)

或

式中：Fω為狀態轉移矩陣；Gω為過程噪聲驅動矩陣；Xω為狀態向量。連續時間狀態方程簡化為一階線性齊次微分方程組，解方程得：

(17)

因此離散時間狀態模型為

(18)

Xω(k+1)=AωXω(k)+νωc(k).

(19)

利用拉普拉斯變換方法求Aω，有

對式(20)進行拉普拉斯逆變換，取采樣間隔為T，有

過程噪聲協方差：

式中：

(2) 角度子濾波器的量測模型

在跟蹤時得到的原始量測信息是雷達測量直角坐標系下的距離和角度，它們不能直接用于角度模型的跟蹤，需要提前轉換成角度格式，然后輸入到角度子濾波器中。角度子濾波器的等效量測方程為

Zω,k=HωXω,k+κω,k，

(24)

2.2 位置子濾波器

(1) 位置子濾波器的狀態模型

位置子濾波器的狀態模型也就是CT模型，是圖2中角度關系在位置維度的映射，在圖2中有

(25)

位置的連續時間狀態方程為

(26)

或

Xa(k+1)=AaXa(k)+νac(k)，

(28)

(29)

過程噪聲協方差：

式中:

(31)

(2) 位置子濾波器的量測模型

這里采用無偏轉換[15-17]，實現極-直坐標轉換。位置子濾波器的等效量測方程為

Za,k=Ha,kXa,k+κa,k，

(32)

2.3 跟蹤算法流程

綜上所述，跟蹤算法的步驟如下：

步驟1量測預處理

將觀測數據從極坐標系轉換成直角坐標系，得到位置格式的量測序列{za,k}。根據式(9)第2個式子，將位置格式的量測序列轉換成角度格式的量測序列{zω,k}。

步驟2角度子濾波器跟蹤

假設k-1時刻角度濾波器的狀態量為Xω,k-1|k-1，協方差為Pω,k-1|k-1。

(34)

(35)

步驟3驅動位置子濾波器跟蹤

(1) 提取角度濾波器的狀態量中的角度變化率ω(k-1)=Xω(2,k-1)，生成位置濾波器的狀態轉移矩陣Aa,k-1和過程噪聲矩陣Qa,k-1。

(2) 假設k-1時刻位置濾波器的狀態量為Xa,k-1|k-1，協方差為Pa,k-1|k-1。

(36)

(37)

(38)

3 仿真校驗

3.1 仿真場景假設

參考美國官方公布的HTV-2的基本試驗情況，本文假設如下仿真場景：升力式滑翔目標由火箭助推至80 km高空后在E110°N0°處釋放，分離時Ma數為16，傾角和航向角為0°，通過控制系統微調控制量攻角和傾側角，使其在大氣層中維持在最大升阻比附近平穩飛行，滑翔時間600 s。在E110°N10°處部署了一部陸基遠程預警相控陣雷達，陣地高度為0，探測距離為2 000 km，數據率為0.1 s，距離測量誤差為100 m，角度測量誤差為0.2°。由于地球曲率影響，目標在雷達觀測坐標系下只能顯示部分軌跡，如圖4。

從圖4可看出，目標在距雷達陣地水平距離1 000 km 遠處滑翔至地平線以上進入視線范圍，飛越頂空后，滑翔至700 km遠處進入地平線以下離開視線范圍。由于地球曲率影響，目標在雷達視線的內的軌跡不是規則的跳躍形式。

3.2 模型參數設置

假設AVSW-CT模型中角度子濾波器的角度分布的誤差標準差為10-8，位置子濾波器的位置分布的誤差標準差為103，參數α0分別為10-1，10-2，10-3，10-4，10-5，進行100次蒙特卡羅仿真，得到結果如圖5，6所示。

圖5為角度子濾波器的輸出誤差，圖6為位置子濾波器的輸出誤差。從圖5和圖6的對比可知，當α0小于10-2時，2個字濾波器的輸出狀態估計更準確。因此模型參數α0小于10-2。

3.3 模型精度對比

假設參與比較的模型分別為：Singer(σa=0.1，α=1/20)，Sine Wave[13](σa=0.1，α=1/18)，VSW-CT(α0=10-2，σω=10-8，σa=103)，IMM(Singer + CA +CV)。進行100次蒙特卡羅仿真，得到結果如圖7所示。

圖7為系統的輸出誤差。從圖中的對比可知，在文中所設參數場景下，AVSW-CT模型具有更好的跟蹤效果。

4 結束語

本文從航跡傾角的變化規律入手開始分析，最終構造了一種新的用于在雷達測量直角坐標系下跟蹤的機動模型。通過角度域的Markov模型和位置域的空間模型相組合，使得系統的狀態模型線性，alman濾波器得以采用，提高了跟蹤精度。通過與其他常規模型的比較，表明該模型在跟蹤臨近空間高超聲速滑翔目標時具有較好的跟蹤效果。