談不定積分計(jì)算的方法

王淑伶

摘要：不定積分是導(dǎo)數(shù)（微分）的逆運(yùn)算，高職學(xué)生普遍學(xué)習(xí)起來(lái)吃力，怵頭。本人通過(guò)多年的教學(xué)積累，談?wù)剬?duì)于這部分教學(xué)的領(lǐng)悟。

關(guān)鍵詞：不定積分；計(jì)算；方法

不定積分的計(jì)算是定積分的計(jì)算、微分方程的求解及二重積分計(jì)算的基礎(chǔ)，不定積分計(jì)算熟練對(duì)于定積分的計(jì)算，微分方程的求解，二重積分的計(jì)算起到事半功倍的作用。因此，教師在不定積分計(jì)算教學(xué)上不能一帶而過(guò)，要肯下工夫，分析學(xué)生出錯(cuò)的原因并及時(shí)糾錯(cuò)，抓住學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)強(qiáng)化練習(xí)。

一、弄清不定積分的概念

（一）導(dǎo)數(shù)公式、運(yùn)算法則，微分的概念及微分的運(yùn)算法則是學(xué)習(xí)不定積分的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)不定積分之前要先復(fù)習(xí)這些內(nèi)容。不妨出下列練習(xí)。

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

y=2，y=x，y=x2 ， ， ， ， ，

2、以下面兩個(gè)例子引入不定積分的定義

例1設(shè)物體以速度 作直線運(yùn)動(dòng)，且當(dāng) 時(shí) ，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

例2已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，并且該曲線上任意點(diǎn) 處的切線斜率為 ，求這條曲線的方程。

學(xué)生通過(guò)解決這兩個(gè)問(wèn)題，弄清這兩個(gè)問(wèn)題都是：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這個(gè)函數(shù)。對(duì)不定積分有初步的了解——導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。

（二）理解不定積分的符號(hào) 的含義

講清符號(hào)的來(lái)源，求 =？，求的 。 表示f（x）的所有原函數(shù)。

（三）不定積分公式熟悉，熟用

多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)只憑感性認(rèn)識(shí)，看表面，忽視本質(zhì)。比如 ，套了這個(gè)公式 。只看到被積函數(shù)的形式符合，忽視積分變量是誰(shuí)。教師和學(xué)生一起分析錯(cuò)誤的原因，達(dá)到對(duì)公式 認(rèn)識(shí)到“ ，（）是相同的變量”程度。教師要求學(xué)生對(duì)每個(gè)公式再認(rèn)識(shí)，重視積分變量。

二、不定積分的方法

（一）直接積分法

直接積分法是直接用公式和用法則求積分的方法，它是最簡(jiǎn)單的方法。練習(xí)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，根據(jù)問(wèn)題分析總結(jié)。

（1）求1、 ，2、 ，3、 ，4、 ，5、 ，6、 ，7、 ，8、 （最簡(jiǎn)單，直接代公式）

（2）求 （稍復(fù)雜）

（3）求 （再?gòu)?fù)雜）

在（2）題的基礎(chǔ)上，學(xué)生自然知道（3）把被積函數(shù)化和。強(qiáng)調(diào)把被積函數(shù)化和是求積分的一個(gè)首要想法。

（4）求 （較難）

學(xué)生知道把被積函數(shù)化和化和，讓學(xué)生自己先變形，可能五花八門(mén)，然后教師總結(jié)：把被積函數(shù)化和是求積分的一個(gè)變形手段，目的是能代入某個(gè)公式。不要為化和而化和。

（二）湊微分法

直接積分法是其它積分方法的基礎(chǔ)，湊微分法是積分法的關(guān)鍵。學(xué)生對(duì)湊微分法非常頭疼。

1、對(duì)基本積分公式的再認(rèn)識(shí)

定理設(shè) ，且 為可微函數(shù)

則

它表明：在基本積分公式中，自變量x換成任意可微函數(shù) 后公式仍成立。

讓學(xué)生做練習(xí)，加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)。

= = = =

2、用微分公式 換積分變量，常用湊微分公式熟悉熟用。

； （x>0）

； ；

3、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜講解練習(xí)。

（1）求 （簡(jiǎn)單）

學(xué)生很容易知道靠公式 ，把積分變量換成3x，用到微分公式 （講清怎么從左變到右）。

（2）求 （較難）

讓學(xué)生辨認(rèn) 是否相等，說(shuō)出理由。教師和學(xué)生共同總結(jié)出：題型 要用到這個(gè)微分公式 換積分變量。學(xué)生再做 ，體會(huì)整個(gè)過(guò)程。

（3）求 （較難）

先讓學(xué)生考慮能否用直接積的方法解決，然后讓學(xué)生觀察x與 的關(guān)系： 的導(dǎo)數(shù)-2x與x就差個(gè)常數(shù)，用公式 換積分變量為 ，來(lái)達(dá)到符合公式的條件。

總結(jié)：題型 要用到 ，換積分變量。學(xué)生再做 ，領(lǐng)悟。最后練習(xí)

從練習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題，找出癥結(jié)，針對(duì)問(wèn)題強(qiáng)重點(diǎn)講解，攻破難點(diǎn)。讓學(xué)生體會(huì)用微分公式 換積分變量，在微分運(yùn)算熟練，積分公式熟悉的基礎(chǔ)上，才能知道用哪個(gè)微分公式換積分變量，達(dá)到符合積分公式的要求。

（三）根式換元法

1、學(xué)生在做題時(shí)，選擇積分的方法（根式換元法，湊微分法）上迷茫。通過(guò)練習(xí) ， ，來(lái)辨認(rèn)積分的方法，知道 不能用直接積分法和湊微分法，需用根式換元法。

2、根式換元易出現(xiàn)的問(wèn)題換不對(duì)，積分變量不換或換不對(duì)。以例 講解。

設(shè) ，讓學(xué)生換進(jìn)去，通過(guò)出現(xiàn)的問(wèn)題—— ，提示點(diǎn)撥：， ， ，學(xué)生體會(huì)換元以后，就化為直接積或湊微分。換積分變量為換元的變量，仍離不開(kāi)微分公式 。

（四）、分部法

分部公式 = -

1、分步法與湊微分法在選擇上容易出錯(cuò)。通過(guò)比較 與 ，得到 不能用湊微分解決，需用分步法分部法。

2、選u，dv關(guān)鍵對(duì)于初學(xué)者，選u，dv，容易出錯(cuò)。教師結(jié)合實(shí)際例題與學(xué)生探討。

例求 U，dv的選擇情況（1） （2） （3） 。先讓同學(xué)按第一種選擇去做，然后按第二種選擇再試試（教師在黑板上扮演），課下再讓學(xué)生按第三種選擇試試。學(xué)生體會(huì)到U，dv的選擇，不能隨意。

例求 ，學(xué)生多數(shù) ，發(fā)現(xiàn)v找不到，應(yīng)該 。通過(guò)前面兩例題得出選u，dv的依據(jù)和方法。

選擇u和dv依據(jù)：（1）v容易求得；（2）右邊的積分∫vdu比左邊積分 容易。

選u，dv方法按著口訣“反對(duì)冪三指”選。意思是，當(dāng)這幾個(gè)類型的函數(shù)相乘時(shí)，取U的順序就按這個(gè)來(lái)，誰(shuí)排在前面，就

選誰(shuí)當(dāng)做U。比如說(shuō)：求， ，應(yīng)設(shè) U=arctanx，dv=xdx，這樣才能求出來(lái)。

三、一題多解

求

解法1 （化和，湊微分法）

解法2（換元法）

令t=1+x，則x=t-1，dx=dt

解法3（根式換元法）

令 ，則 ，dx=2tdt

解法4（分部法）

選擇不同的積分方法，答案不同，可以用求導(dǎo)驗(yàn)證都對(duì)。應(yīng)選擇最簡(jiǎn)便的方法為佳。

四、做相似的題，學(xué)選擇方法

有的學(xué)生學(xué)完不定積分的計(jì)算，總是往某個(gè)題上去套，一些表面看著差不多的題不能辨別區(qū)分，不知選擇什么方法，怎么去分析。教師可以出相似題目讓學(xué)生練習(xí)。

例如（1）求 ， ， ，

（2） ， ，

通過(guò)做相似題目，學(xué)生在選擇積分的方法上有了更深刻的認(rèn)識(shí)。選擇的順序一般是直接積分法，湊微分法，（換元法，分部法）。

能選擇正確的積分方法，達(dá)到運(yùn)用方法自如，計(jì)算熟練。首先要基礎(chǔ)知識(shí)（導(dǎo)數(shù)、微分運(yùn)算）扎實(shí)，其次要多練習(xí)，從做題過(guò)程中悟出真諦。