二次曲線的共形擴充

任新安

摘要：共形擴充是數學物理中一個重要的方法，本文考慮最簡單的二次曲線的共形擴充。

關鍵詞：二次曲線；共形擴充；圓錐面

近年來，物理學家們利用共形擴充的方法將de Sitter不變狹義相對論、愛因斯坦的狹義相對論和anti-de Sitter不變狹義相對論統一起來[1]，狹義相對論是定義在Lorentz空間上的，歐氏空間上能否有共形擴充呢？這是一個很有意思的問題。本文研究了最簡單的歐氏空間——二次曲線。眾所周知，有三種二次曲線，即：橢圓曲線、拋物線和雙曲曲線，我們可以作一個伸縮變換將這些二次曲線可以變為如下形式

， ，

，

其中 分別表示三種曲線的弧長微分，而 。下面我們討論這三種曲線上的共形擴充，對于圓 ，在坐標片 上，引入局部的Beltrami坐標

，這樣 ， 令 （1）

這時圓的方程變為

這是圓錐面，也就是說對于一個圓，如果我們作一個共形擴充（1），我們就得到了一個圓錐面，這也是Dirac所定義的共形空間[2]，這時我們再考慮弧長微分，這時

我們再考慮雙曲線 ，在坐標片 上，引入局部的Beltrami坐標 ，這樣 ， 。

令 （2）

這時雙曲線的方程變為

這也是圓錐面，也就是說對于一個雙曲線，如果我們作一個共形擴充（3），我們也得到一個圓錐面，這時我們再考慮弧長微分，這時

我們再考慮拋物線的共形擴充，令

，在坐標片 上，再令

則弧長微元變為 ， .

下面我們用文獻[3]的方法給出二次曲線上的共形變換，首先考慮拋物線上的共形變換。在上述變化下，圓錐面變為

考慮射影變換

其中 滿足 ，而 如下定義

很顯然，該變換保持圓錐面不變。令

引入局部坐標

則在局部坐標下，該變換為

在該變換下，弧長微元的變換為

其中

這說明，圓錐面上的等距變換限制在拋物線上時就是拋物線的共形變換。

下面我們來看圓的情形。假設圓錐面上的變換為

其中 滿足 ，而 如下定義

很顯然，該變換保持圓錐面不變。令

引入局部坐標

則在局部坐標下，該變換為

在該變換下，弧長微元的變換為

其中

這種討論對于雙曲線的情形也是成立的，由于這兩者差別不大，所以這種情形我就省略了。

參考文獻：

[1]H. Y. Guo， B. Zhou， Y. Tian， Z. Xu， The triality of conformal extensions of three kinds of special relativity[J]， Phys. Riev. D， 75 （2007） 026006.

[2]P. A. M. Dirac， Wave equation in the conformal space[J]， Ann. Math. 37（1936），171-201.

[3]華羅庚，從單位圓談起，科學出版社，1977.