MATLAB模擬磁懸浮系統的磁場分布

陳鋼 傅吉波

摘要：為了了解單個磁體磁場分布的情況，進而探究磁懸浮系統的磁場分布，利用MATLAB的電磁場模擬功能（即運用PDE工具箱），對磁懸浮系統的磁場分布進行計算機模擬仿真，給出磁懸浮系統磁場分布圖，為更好地實現磁懸浮提供參考。通過對于本課題的研究，可以幫助大家更深層次地認識磁體的磁場分布、磁懸浮穩定條件等許多課外的知識，并對于課內學的知識有更好地認識，同時也能夠提高大家用MATLAB解決實際問題的能力。

關鍵詞：磁懸浮模擬；MATLAB；PDE工具箱

1.引言

上千年來，人類一直夢想著有一天能夠擺脫地球的引力束縛而飛向藍天，人類為之也進行了如熱氣球、飛機等各種嘗試[1]。20世紀以后，人類的目光開始轉向了磁懸浮這個領域。磁懸浮技術最早出現在1922年，德國人赫爾曼·肯佩爾第一次提出了有關磁懸浮技術的概念并申請了相關的技術專利，而這就為今后磁懸浮技術的發展打下了基礎[2]。

磁懸浮技術是一門多門學科交叉，且具有巨大發展前景的學科[3]。磁懸浮技術自上個世紀概念的提出以來，許許多多的大學、企業、研究機構花了大量的資金與精力來進行系統的開發與商業上的應用。隨著當今電磁理論、電子技術學、控制工程學及新型材料學等學科的飛速進步，磁懸浮技術得到了長足的發展[4]。

2.磁懸浮原理

磁懸浮是指利用磁體“同性相斥，異性相吸”的原理，使物體在沒有支撐的情形下能夠實現空中懸浮的現象。雖然這個原理看似簡單，但實現起來卻并不容易，因為根據恩肖定理，穩定的磁懸浮在靜止的磁系統中是不可能實現的[5]。也正是因為這個原因，許多磁懸浮系統不單單是兩個靜止的磁體，有些磁懸浮系統加入了必要的穩定系統才能保持穩定，而這就需要有一個十分精確的控制系統；有些小的磁懸浮系統為了達到穩定，就會使浮子不斷地旋轉，這就是我們常見的旋轉式磁懸浮系統。根據磁懸浮系統浮子的位置的不同，可以分為上拉式和下推式磁懸浮[6]。上拉式磁懸浮的原理是在浮子的上方放置與浮子磁性相反的磁體使浮子受到向上的吸引力并與其受到的向下的重力相抵消，從而達到豎直方向上受力的平衡。而下推式磁懸浮則是在浮子的下方放置與浮子磁性相同的磁體使之受到一個向上的斥力并與重力相抵消，達到豎直方向的受力平衡。上拉式與下推式磁懸浮都需要一個反饋電路來實時檢測磁懸浮系統的變化，當浮子偏離平衡位置時，電路中的霍爾元件會檢測出這個變化并把這個信號反饋，使電路中電流發生改變，進而改變磁場分布，使浮子回到原來的平衡位置。

除了上述兩種常見的磁懸浮模式，還有一種不需要控制系統的靜態穩定的磁懸浮系統，那就是抗磁式磁懸浮。抗磁質是磁介質的一種，它的磁化率是一個負值。這種物質會在外磁場下，在內部激發出一個與外磁場方向相反的磁場，從而使總磁場減弱。在實驗室做抗磁性磁懸浮的實驗時，我們先將一些永磁鐵按照相鄰磁體磁性相反的方式排列，然后將石墨芯（磁化率為-1.6×10-5）放置在永磁體陣列上方的合適位置，石墨被磁化時產生的磁化磁場與永磁鐵陣列產生的磁場方向相反，使豎直向上的斥力與重力達到平衡，水平方向上則因為磁場分布的對稱性而達到平衡[6]。

此次，用MATLAB進行模擬的主要理論原理是閉合環路的電流可以產生磁場（即安培環路積分定理）。我們所模擬的圓環磁鐵與圓盤磁鐵都可看作為磁鐵內部的分子電流沿同一方向流動，從而產生了磁場，磁場的方向可以運用右手定則得到。我們主要用到的是MATLAB里面的用于解偏微分方程的PDE工具箱。

3.建模過程

為了方便起見，我們以通電直導線的磁場模擬為例，介紹PDE工具箱的使用步驟。

步驟一：打開MATLAB，在命令框中輸入“pdetool”，回車，這樣就打開了求解偏微分方程的工具箱；

步驟二：確定模擬的內容。可以在“Options”菜單的“Application”下做出選擇，這里我們選“Magnetostatics”（磁場）；

步驟三：確定邊界范圍。點擊“Draw”菜單欄的子菜單“Ellipse/circle”，做出一個圓形E1，雙擊E1，彈出一個框，并對E1的大小、位置進行調整：“X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：2.5、“B-semiaxes”：2.5；

步驟四：建立幾何模型。點擊“Draw”菜單欄的子菜單“Ellipse/circle”，在邊界范圍內做一個圓形E2，并按上面的方法輸入E2的參數： “X-center”：0、“Y-center”：0、“A-semiaxes”：0.1、“B-semiaxes”：0.1；

步驟五：確定邊界條件。點擊“Boundary”菜單欄下的“Boundary Mond”來定義邊界條件，點選E1的四條邊界，雙擊彈出的命令框中選擇“Dirichlet”（第一類邊界條件）；

步驟六：定義PDE系數。點擊“PDE”菜單，然后分別選中E1、E2，雙擊彈出一個框，輸入PDE系數。在這里我們分別定義：E1（mu=1；J=0）；E2（mu=1；J=800）。PDE系數J指的是環路電流密度；而mu指的是磁導率；

步驟七：三角形網格劃分。點擊“Mesh”內的“Initialize Mesh”，再點擊“RefineMesh”進行細化網格；

步驟八：解的圖形表達。點擊“Plot”菜單內的“Parameters”設置顯示效果。在彈出來的框中，勾選出“Color”、“Arrows”和“Plotin x-y grid”。性質“Property”項都選擇“Magnetic flux density”，“Plot style”項分別選“interpolated shad”、“normalized”、“continuous”，“Colormap”項選擇“jet”，設置完后點擊確定，便可以得到相應的磁場分布圖像；

4.實驗結果

依照上述的步驟，我們首先對于單個磁體（圓盤磁鐵與圓環磁鐵）進行磁場分布模擬，然后以這兩種磁體為基礎，分別對下推式磁懸浮的磁場分布進行了MATLAB的磁場分布模擬。

首先，分別對一塊直徑為180mm、厚度為50mm的圓盤形磁鐵和一塊外徑320mm、內徑為120mm、厚度為30mm的圓環形磁鐵進行二維磁場分布的模擬。

然后，我們將對下推式磁懸浮進行磁場模擬，系統的基底是圓環磁鐵（外徑為320mm、內徑為120mm、厚度為30mm）、浮子是圓盤磁鐵（直徑160mm、厚度為20mm）。懸浮高度分別為20mm。

5.小結

從以上的磁懸浮模擬圖中可以看出，磁場的零點位于浮子中，所以在理論上是能達到懸浮的，雖然由于模擬軟件的限制，在我們的實驗中忽略了重力與懸浮力之間的平衡關系。但是，我們依舊在實驗中模擬出來了磁懸浮狀態下系統的磁場分布并通過不斷地嘗試獲得了比較理想的懸浮高度。

參考文獻：

[1]Zheng J， Li J， Sun R， et al. A magnetic levitation rotating plate model based on high-Tc superconducting technology[J]. Cryogenics， 2017， 86： 1-6.

[2]隋成華，大學物理實驗[M]. 上海：上海科學普及出版社，2012.

[3]紀源，磁懸浮技術原理及其應用[J]. 數字通信世界，2017年08期：1672-7274.

[4]李海洋，陳水橋，陳紅雨等. 大學物理實驗 I[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[5]Cansiz A， Oral E A， Gundogdu O. Optimization of the force modeling between high temperature superconductor and permanent magnet[J]. Physics Procedia， 2012， 36： 1025-1030.

[6]陳鋼，韓英，沈凱，抗磁性物質磁懸浮的實驗設計[J].教育現代化，2016年32期：187-188，195.