對小學數學方程教學的理解

鄧富剛

摘要：方程是人類科學家一代接著一代歷經漫長而艱辛的探索研究而完成的偉大成就，是人類文化寶庫中的瑰寶。方程是解決數學問題的基本的、常用的工具，又是最簡潔、最有效的工具，同時方程思想也是學生必須掌握基本數學思想。含有未知數的等式就是方程。讓學生從算術思維向代數思維過渡，準確理解方程的意義，逐步培養學生的方程思想。根據等式的性質解方程是解方程的基本方法，用“四則運算各部分間的關系”解方程有異曲同工之妙。分析實際問題中的數量關系，找出等量關系，列方程。既是教學的重點，也是難點，同時又是列方程解決實際問題的關鍵點。

關鍵詞：方程；等式性質；解方程；解決問題

人教版義務教育教科書《數學》五年級上冊第五單元“簡易方程”。在用字母表示數的基礎上，安排了四個內容：方程的意義、等式的性質、解方程、實際問題與方程。

一、方程的發展

教科書在“方程的意義”后面這樣描述：“早在三千六百多年前，埃及人就會用方程解決數學問題了。在我國古代，大約兩千年前成書的《九章算術》中，就記載了用一組方程解決實際問題的史料。一直到三百多年前，法國的數學家笛卡爾兒第一個提倡用x、y、z等字母代表未知數，才形成了現在的方程。”

這樣描述我總覺得似乎還差點什么。借助網絡平臺獲知：古代的中國是世界上數學領先的國家，算術、代數、幾何、三角各方而都十分發達。公元前一世紀已有多元方程組、一元二次方程、不定方程。比希臘丟番圖方程要早三百多年。三次方程，唐代王孝通“緝古算經”已有記載，十一世紀的賈憲發明數字方程解法，十三世紀秦九韶在這方面也有偉大的貢獻。數學史上對方程的原始記載有著不同的形式，中國天元術簡潔明了，四元術是天元術發展的必然產物。“周髀算經”、“九章算術”都談到算術級數和幾何級數。元代朱世杰的級數計算，歐洲在十八、九世紀的著作內才有記錄。方程的英語equation就是“等式”的意思。清朝初年中國的數學家把equation譯成“相等式”，到清朝咸豐九年才譯成“方程”。從這時候起，“方程”就表示含有未知數的等式，劉徽在《九章算術》中說的“方程”其實“方程組”。

縱觀人類對方程漫長而艱辛的探索研究歷程。它是古埃及人、巴比倫人、阿拉伯人、中國人、印度人、西歐人的科學家們，一代接著一代完成的偉大成就，讓我們對“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分”有更深的感悟。

二、方程教學的意義

《課標》說：“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具。”而應用方程解決數學問題，可以免去逆向思維的不容易，直接正向思維地列出包含欲求解的量的等式，從而達到解決數學問題目的。所以方程是解決數學問題的基本的、常用的工具，又是最簡潔、最有效的工具，同時方程思想也是學生必須掌握基本數學思想。

三、方程教學之我見

（一）方程的意義

1、在“方程的意義”的教學中。教科書給出的定義是“像100+x=250，3x=2.4……這樣，含有未知數的等式就是方程。” 讓學生記住這句話并不難，但讓學生真正建立方程思想又確實不容易，這需要一個體驗、理解、感悟的過程。然而這又正是我們的教學重點和必須達成的目標。在這里要注意突破兩個關鍵點，一個是等式（表示等號兩邊相等關系的式子，即等量關系），另一個是未知數（要經過運算才能確定的數，簡言之還沒知道的數字）。

2、回顧我們的小學數學學習經歷，其實，對方程的體驗、理解、感悟已有四年的歷程，只是沒有明確提出“方程”這個詞而已。從一年級開始我們就在做：數的分與合、7+□=16、15-□﹦5、□+8=12、□-6=4、5+8=6+7=□+□=□+□、6+□×5=40、男生人數+20=50、20+□=100、Δ=9 Δ-6=☆ □+☆=10……這些類型的題目，它們不就是方程嗎？其中：7、16、15、、8、、20、50、100……像這些都知道的數，數學上給它們一個名稱：已知數；□、Δ、☆、（）、男生人數等等不知道的數，數學上也給它們一個名稱：未知數。

由此可見：一年級我們就開始學習方程了。同時，也說明未知數不等價于字母，并不是只有x、y、z這些字母是未知數，x、y、z這些字母也不一定就是未知數，它們也可以表示已知數。我們用字母表示數、表示未知數，目的是為了使數量之間的關系更加簡明，更具有普遍意義，使思維過程簡約化。

（二）等式的性質

經歷了“方程意義”的建模學習后，來學習等式的性質就容易多了，在這里采用課件天平進行教學容易掌控、方便快捷，通過天平平衡原理的演示就可以那把等式基本性質直觀地表現出來。

教科書64～65頁的四組情境圖設計得好，但需要我們把它蘊藏的等式含義充分挖掘出來。仔細觀察演示過程：第一組圖中的第一圖，天平左邊放了一把壺，右邊放了兩個杯子，天平保持平衡，這說明：一把壺的質量和兩個杯子的質量相等，即一把壺的質量=兩個杯子的質量；第一組圖中的第二圖，天平左邊放了一把壺和一個杯子，右邊放了三個杯子，也就是在第一圖的基礎上，天平的兩邊同時再放上一個杯子，天平仍然保持平衡，這說明：一把壺的質量加上一個杯子的質量和三個杯子的質量相等，即一把壺的質量+一個杯子的質量=三個杯子的質量。

回顧演示過程并比較：從“一把壺的質量=兩個杯子的質量”到“一把壺的質量+一個杯子的質量=三個杯子的質量”的演示過程，就是在“一把壺的質量=兩個杯子的質量”這個等式的兩邊同時加上“一個杯子的質量”，仍然是等式“一把壺的質量+一個杯子的質量=三個杯子的質量”。把這個過程用數學形式表達出來就是：若用x表示壺的質量、y表示杯子的質量，我們得到等式“x=2y”，在“x=2y”這個等式的兩邊同時加上“y”，即x+y=2y+y，得到的仍然是等式“x+y=3y”，也就是等式的兩邊同時加上同一個數，左右兩邊仍然相等。

依據第一組圖的演示過程和思想方法，略加調整進行后面三組的學習。

從第二組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時減去同一個數，左右兩邊仍然相等。即在“x+y=4y”這個等式的兩邊同時減去“y”，即x+y-y=4y-y，得到的仍然是等式“x=3y”。

從第三組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時乘同一個數，左右兩邊仍然相等。即在“x=y”這個等式的兩邊同時乘“2”，即x×2=y×2，得到的仍然是等式“2x=2y”。

從第四組圖的演示中我們得出：等式的兩邊同時除以同一個數，左右兩邊仍然相等。即在“2x=6y”這個等式的兩邊同時除以“2”，即2x÷2=6y÷2，得到的仍然是等式“x=3y”。

引導學生歸納小結出：等式的性質1和等式的性質2。在這里要提醒學生注意兩點：一是等式的性質2中的“不為0”，因為任何數乘0都為0，而除以0則無意義；二是“左右兩邊仍然相等”，用數學形式表達出來就是“左邊=右邊”，那么“右邊=左邊”也就順理成章了，這其實就是等式的性質3--等式的對稱性。

（三）解方程

解方程的教學關鍵是引導學生探索解方程的方法和步驟，讓學生經歷解方程的完整過程，體會解方程背后所蘊含的化歸思想。化歸都依據等式的性質進行，首先把方程化歸成“x±b=c”或“ax=b”的形式，再化歸成“x=a”的形式，使方程得解。在“ax±b=c”形式的方程中，聯系“ax”在題中的實際含義，把“ax”看作一個整體，將方程“ax±b=c”看成“□±8=12”的形式。

例題講解要精準簡潔，提醒學生注意兩點：書寫格式規范和養成檢驗的好習慣，檢驗過程可以不寫出來，但一定要檢驗。下面簡要說一說我對例題講解：

例1 x+3=9

解： x=9-3

x=6

講解：x+3=9求x，根據等式的性質，等號兩邊同時減去3，結果仍是等式。即x+3-3=9-3，x=6。檢驗：左邊=6+3=9右邊，所以x=6是原方程的解。

例2 3x=18 （講解：根據等式的性質，等號兩邊同時除以3。即3x÷3=18÷3，x=6。檢驗：左邊=3×6=18右邊，所以x=6是原方程的解。）

例3 20-x=9 （講解：首先根據等式的性質，等號兩邊同時加上x，結果仍是等式。即20-x+x=9+x，20=9+x；再根據等式的對稱性得：9+x=20；第三步根據等式的性質，等號兩邊同時減去9。即9+x-9=20-9，x=11。檢驗：左邊=20-11=9=右邊，所以x=11是原方程的解。其實，“a-x=b”和“a÷x=b”形式的方程我們還可以用“四則運算各部分間的關系”來解讀，減數=被減數-差，也就是x=20-9。這給我們一個啟示：兩種方法有異曲同工之妙，我們的思維方式和解題方法要靈活，也應該靈活。）

例4 3x+4=40 （講解：首先，把“3x” 看作一個整體，根據等式的性質，等號兩邊同時減去4，即3x+4-4=40-4，3x=36；再根據等式的性質，等號兩邊同時除以3。即3x÷3=36÷3，x=12。檢驗：左邊=3×12+4=36+4=40=右邊，所以x=12是原方程的解。）

例5 2（x-16）=8（講解：方法一：首先，把“（x-16）” 看作一個整體，根據等式的性質，等號兩邊同時除以2，即2（x-16）÷2=8÷2，x-16=4；再根據等式的性質，等號兩邊同時加上16。即x-16+16=4+16，x=20。方法二：首先根據乘法分配律去括號，2x-32=8；再根據等式的性質，等號兩邊同時加上32。即2x-32+32=8+32，2x=40。第三步根據等式的性質，等號兩邊同時除以2。即2x÷2=40÷2，x=20。檢驗：左邊=2×（20-16）=2×4=8=右邊，所以x=20是原方程的解。）

（四）實際問題與方程

數學來源于現實生活，又應用于現實生活。“實際問題與方程”的教學，就是把我們學會的方程和解方程的知識，應用于解決現實生活中的數學問題。教科書在例1和例2的學習之后，歸納了三點：“1、找出未知數，用字母x表示；2、分析實際問題中的數量關系，找出等量關系，列方程；3、解方程并作答。”歸納得非常精準。要學生記住這三點不是難事，然而，讓學生把這一解題的方法步驟用于實際問題的解決，又確實不容易。下面談談我對這三個解題步驟的理解。

1、找出未知數，用字母x表示。在解題時，嚴格遵循“求什么就設什么，并用字母x表示出來”的解題規律，當我們用字母x表示未知數后，就把x同已知數一樣看待，讓未知數參與進已知數中進行思考問題，應用到具體問題的數量關系中去。

2、分析實際問題中的數量關系，找出等量關系，列方程。

這一環節，既是教學的重點，也是難點，同時又是列方程解決實際問題的關鍵點。數學問題的解決過程實質是一個探索和創新的過程。對于學生來說要解決的每一個數學問題，都是新的問題，要達到解決問題的目的，我們要引導學生根據具體的問題情景，對自已掌握的知識和方法重新組合形成新的策略和方法，去探索和發現解決問題的方法和途徑。這一過程不僅能讓學生獲得初步的創新能力，同時還能培養學生從小養成創新意識和創新思維的習慣，為后續學習打下良好的基礎。那么，怎樣“分析實際問題中的數量關系，找出等量關系”呢？

首先，讀題，正確理解題意，找出題中體現數量關系的“關鍵句”。課本中的例1、小明破紀錄啦！成績為4.21m，超過原紀錄0.06m，學校原跳遠紀錄是多少米？其中“成績為4.21m，超過原紀錄0.06m”就是關鍵句。

其次，把“關鍵句”抽象成數學表達。即“原紀錄+超出部分=小明的成績”、“小明的成績=原紀錄+超出部分”、直接表達為“成績4.21m=原紀錄+0.06m”也未嘗不可。

第三，用數學符號列出方程。“設學校原跳遠紀錄是x米。”則有方程：x+0.06=4.21、4.21=x+0.06，這兩個方程實質是同一個方程，只是表現形式不同而已。

比如：故宮的面積是72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場面積的面積是多少萬平方米？關鍵句是：“72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米”；等量關系是：“天安門廣場面積×2-16=故宮的面積”，或者“72=天安門廣場面積×2-16”；方程是：2x-16=72、或者72=2x-16。

又比如：蘋果每千克5元，媽媽用20元錢能買蘋果多少千克？關鍵句是：買蘋果。等量關系是：單價×數量=總價。方程是：5x=20。常用的數量關系式就是我們列方程的等量關系式。

再比如：學校籃球場的周長是90米，長是30米，寬是多少米？關鍵句是：籃球場的周長。等量關系是：2（長+寬）=周長。方程是：2（30+x）=90。常用的公式也是我們列方程的等量關系式。

另外，在“分析實際問題中的數量關系，找出等量關系，列方程”這個環節，我們也經常用畫線段圖的方法來分析數量關系，找出等量關系，列出方程。把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力的工具。

在教學實踐活動中，這些解決問題方法我們既要教給學生，同時還必須教會學生。直接根據“關鍵句”來分析問題，有利于培養學生的抽象思維能力，而根據線段圖來分析問題，有利于培養學生的形象思維。不同的思維方式和思維習慣，沒有優劣之分，目的不是為了一題多解，而是為了發展學生的思維，培養學生解決實際問題的能力，同時也使學生深刻體會“等量關系”的本質特征。

3、解方程并作答。有了前面的知識和能力儲備，學生都能順利完成，但要格式規范，過程簡潔，結果正確。

總之，在教學實踐活動中，不斷改進與完善自己的教學方法，圍繞學生已有的知識基礎和認知規律展開相應的教學活動。以學生的生活實際為學習背景，學生更容易理解新知識，讓學生體驗學習數學是一件輕松愉快的事，以便學生從算術思維向代數思維過渡，掌握列方程、解方程的知識技能，逐步培養學生的方程思想，豐富學生解決實際問題的策略，提高學生學習數學的自信心，為學生后續學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]義務教育小學數學新課程標準.

[2]解讀《義務教育小學數學課程標準》（2016年版） 黃秀華.