淺析一些多角度解題的技巧

錢文華

摘要：本文主要考慮從另一學科角度考慮某個學科內問題的時候對所考慮的對象可以得到不同的描述，很多時候使得結構更加簡潔，也更容易被理解。

關鍵詞：代數；冪集；交換群；Sylow定理、

一、引言

我們將通過具體例題的方式來說明，在解決某個學科內問題時候，如果我們從另一個角度出發，將能對所研究的對象的結構得到一個更簡潔與清晰的認識。

假設 為一個集合，我們記 為 的冪集，亦即 所有子集所組成的集類。我們回顧 代數的概念[1]：假設 滿足以下條件： ；

如果 ，則 ；其中 為 的補集；

如果一列集合 ，則 ；

則稱 為一個 代數。

二、多角度考慮問題的一些技巧

我們考慮以下問題：

例題：假設 為一個集合， 是一個 代數。已知 中僅有有限個集合，求證存在正整數 使得 中集合個數為 。

從概念上來看，我們很自然地覺得這是一個實變函數課程中出現的問題，我們先看一個常規做法。

證明1：我們首先在 中定義極小元概念：假設 。我們稱 是 中的極小元，如果 且 蘊含著 或者 ；亦即 中不存在 的非空真子集。

因 中僅有有限個元素，故 中顯然有極小元存在。假設 是 中的極小元且 。因 為一個 代數，我們有 。而又有 。故而 或者 ，亦即 中任一集合都包含 或者與 不交。進而可得 中任意兩個極小元都不交且 中任一集合都是其中有限個極小元的非交并。反之因 為一個 代數，故 中任意有限個極小元的非交并仍然在 中。不妨假設 中有 個極小元，則可得 中集合個數為 。證畢。

以下我們給出一個代數中群論角度的證明。

證明2：我們在 中定義如下計算：

因 為一個 代數，可得該運算是封閉的。且易見對任意 ， 以及 。因此可得 是一個群，其中 為群的單位元且對任意 ， 的逆元為它自身。顯然，我們還可以得到 是一個交換群。因為 是一個有限群，故根據Sylow定理[2]，我們可得 同構于一些有限循環群的直和。而又有對任意 ， 的逆元為它自身，即 中每個非單位元的階數都為2，因此 同構于一些 的直和。故存在正整數 使得 中集合個數為 。證畢。

參考文獻：

[1]徐森林，薛春華；實變函數論；清華大學出版社；2009。

[2]杜奕秋，程曉亮；近世代數；北京大學出版社；2013。