衰落信道下的信源數(shù)目估計(jì)方法

王艷溫,郭 楠

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.陸軍航空裝備發(fā)展辦公室，北京 100012)

0 引言

信源數(shù)目估計(jì)[1]對(duì)盲信號(hào)分離和超分辨測(cè)向的性能影響較大。盲信號(hào)分離方法[2-3]一般是以信源數(shù)目已知為前提，但實(shí)際應(yīng)用中信源數(shù)目未知，需要進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)信源數(shù)目欠估計(jì)時(shí)，只能分離出部分信號(hào)，導(dǎo)致信號(hào)信息的丟失；當(dāng)信源數(shù)目過(guò)估計(jì)時(shí)，導(dǎo)致盲分離算法失效，無(wú)法正確地分離信號(hào)。因此信源數(shù)目估計(jì)在盲信號(hào)分離中起到了十分重要的作用，它直接關(guān)系到盲分離算法的正確性和穩(wěn)定性。在超分辨測(cè)向中[4-5]，信源數(shù)目估計(jì)也是必須的。信源數(shù)目過(guò)估計(jì)時(shí)，源信號(hào)子空間的維數(shù)高于實(shí)際值，使得之后計(jì)算出的空間譜出現(xiàn)偽峰；源信號(hào)數(shù)目欠估計(jì)時(shí)，源信號(hào)子空間的維數(shù)低于實(shí)際值，使得之后計(jì)算出的空間譜的譜峰消失；這樣導(dǎo)致了源信號(hào)子空間與噪聲信號(hào)子空間同樣不再正交，最終估計(jì)的空間譜與實(shí)際的信號(hào)之間出現(xiàn)較大偏差。

信源數(shù)目估計(jì)不單單在盲信號(hào)分離和超分辨測(cè)向中有重要的作用，在戰(zhàn)場(chǎng)、刑偵、檢測(cè)及圖像等實(shí)際問(wèn)題中，同樣具有很大的應(yīng)用價(jià)值。而現(xiàn)有較成熟的基于信息論、最大似然及線性預(yù)測(cè)等信源數(shù)目估計(jì)方法均是利用白噪聲信號(hào)模型推導(dǎo)出來(lái)的，僅適用于白噪聲條件。但在實(shí)際中，由于多徑干涉、外界環(huán)境等各種因素的影響，導(dǎo)致接收信號(hào)的幅度相位出現(xiàn)較大程度的抖動(dòng)，接收信道[6-7]不再是理想的高斯白噪信道，而變成衰落信道。在衰落信道下現(xiàn)有信源數(shù)目估計(jì)方法的性能下降嚴(yán)重。因此，對(duì)衰落信道下的信源數(shù)目估計(jì)方法進(jìn)行研究有著十分重要的理論和實(shí)際意義。

1 瑞利平坦衰落信道下信源數(shù)目估計(jì)方法

對(duì)于瑞利平坦衰落信道[8-11]下的信源數(shù)目盲估計(jì)，其問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用噪聲分布已知的特性來(lái)進(jìn)行判斷。較為成熟的算法有AIC、MDL和PET算法[12-13]。AIC、MDL算法雖然不需要人為設(shè)定判決門(mén)限，但是其利用噪聲滿足高斯分布的特性，估計(jì)收斂性較差。PET算法在性能上較之前兩種有很大改進(jìn)，但是它需要人為設(shè)定判決門(mén)限。根據(jù)這些經(jīng)典算法已有的固有缺陷，本文提出了基于Wishart矩陣[14-15]最大特征值分布特性的估計(jì)算法(WME)，該算法利用高斯隨機(jī)矩陣特征值以較快的收斂速度漸進(jìn)服從精確的TW分布這一特點(diǎn)，進(jìn)行信源數(shù)目盲估計(jì)，并可獲得較好的性能。

利用陣元個(gè)數(shù)為M的天線陣列接收數(shù)據(jù)計(jì)算協(xié)方差矩陣，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解得到特征值并按降序排列，利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摌?gòu)造檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，求解判決門(mén)限，確定檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量屬性，估計(jì)得到信源個(gè)數(shù)N。

天線陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R：

式中，E[·]表示數(shù)學(xué)期望，上標(biāo)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，X(i)表示第i次快拍的天線陣列接收信號(hào)，L表示快拍數(shù)。

對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征值分解，得到M個(gè)特征值，滿足：

λ1>λ2≥…≥λM-1>λM。

設(shè)置虛警概率Pfa，并令k=1；

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Uk：

計(jì)算判決門(mén)限γk：

式中，F(xiàn)TW2(x)表示第二類(lèi)Tracy-Widom分布函數(shù)[16]的逆函數(shù)，μM-N,L和εM-N,L為歸一化參數(shù)，其表達(dá)式如下：

在計(jì)算判決門(mén)限時(shí)，需要計(jì)算分布函數(shù)FTW2(x)的逆函數(shù)。目前在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，Tracy-Widom分布函數(shù)的閉合表達(dá)式是很難得到的。在實(shí)際工程應(yīng)用中，F(xiàn)TW2(x)的逆函數(shù)計(jì)算結(jié)果大多是通過(guò)查表的方式獲得。

判決：

如果Uk<γk，則lk∈Ls，k=k+1，重新計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Uk+1；

如果Uk>γk，則信源個(gè)數(shù)N=k-1。

2 頻率選擇性衰落信道下信源數(shù)目估計(jì)方法

以上所提到的一系列經(jīng)典算法包括WME算法都只適用于瑞利平坦衰落信道環(huán)境，而頻率選擇性衰落信道[17-19]更貼近于實(shí)際的通信環(huán)境，因此有必要對(duì)在頻率選擇性衰落信道條件下的信源數(shù)目估計(jì)算法進(jìn)行研究?；诖颂岢隽艘环N基于對(duì)噪聲功率精確估計(jì)的假設(shè)檢驗(yàn)[20]估計(jì)算法(FKN)。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：計(jì)算天線陣列接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣R：

步驟2：構(gòu)造檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量

Ⅰ 對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征值分解，并將分解得到的特征值按降序排列：λ1>λ2≥…≥λM-1>λM，其中,λk表示按照降序排列的第k個(gè)特征值，1≤k≤M。

步驟3：求解判決門(mén)限值γk

γk=F-1(1-Pfa)εL,Nr-k+μL,Nr-k，

式中，F(xiàn)-1(1-Pfa)表示第二類(lèi)Tracy-Widom分布的逆累積分布函數(shù)，Pfa表示預(yù)先設(shè)定的虛警概率，歸一化系數(shù)為：

步驟4：確定檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量屬性

如果檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Uk大于判決門(mén)限γk，則將檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Uk判定為信號(hào)統(tǒng)計(jì)量；

如果檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Uk小于判決門(mén)限γk，則將對(duì)應(yīng)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Uk判定為噪聲統(tǒng)計(jì)量。

步驟5：確定信源數(shù)目N。

3 仿真驗(yàn)證分析

3.1 瑞利平坦衰落信道

在瑞利平坦衰落信道條件下，對(duì)信源數(shù)目估計(jì)經(jīng)典算法AIC、MDL、PET與所提WME算法的正確估計(jì)概率進(jìn)行了對(duì)比。仿真條件如下：

·信源數(shù)目：4；

·陣元數(shù)：16；

·噪聲特性：瑞利分布色噪聲；

·信噪比范圍：-10～5 dB；

·采樣點(diǎn)數(shù)：50～600；

·蒙特卡洛次數(shù)：1 000次。

WME算法的估計(jì)概率隨信噪比變化曲線如圖1所示，WME算法的估計(jì)概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線如圖2所示。

圖1 WME算法估計(jì)概率隨信噪比變化曲線

由圖1可以看出，WME算法在低信噪比條件下的正確識(shí)別率要高于PET和MDL算法，稍遜于AIC算法，但是由于AIC算法是非一致算法，在較高信噪比條件下無(wú)法收斂于1。

圖2 WME算法估計(jì)概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

由圖2可以看出，WME算法在樣本數(shù)40以上的性能優(yōu)于MDL算法，在更少的樣本數(shù)下優(yōu)于AIC和PET算法。

3.2 頻率選擇性衰落信道

在頻率選擇性衰落信道條件下，對(duì)提出的FKN信源數(shù)目估計(jì)算法的性能進(jìn)行了仿真分析。仿真條件如下：

·工作頻段：1.5～30 MHz；

·信源數(shù)：2～4；

·陣元數(shù)：8；

·信道條件：多徑數(shù)為3、最大延時(shí)≤0.05 ms、最大反射系數(shù)為1的頻率選擇性衰落信道；

·信噪比：-8 ～8 dB；

·采樣點(diǎn)數(shù)：10～300；

·蒙特卡洛次數(shù)：1 000次。

FKN算法的估計(jì)概率隨信噪比變化曲線如圖3所示，F(xiàn)KN算法的估計(jì)概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線如圖4所示。

圖3 FKN算法估計(jì)概率隨信噪比變化曲線

圖4 FKN算法估計(jì)概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

由圖3可以看出，在頻率選擇性衰落信道中FKN算法在低信噪比條件下能夠達(dá)到較高的估計(jì)概率，且隨著信源數(shù)目的增加，達(dá)到估計(jì)概率100%所需的信噪比越高。

由圖4可以看出，在頻率選擇性衰落信道條件下，F(xiàn)KN算法的估計(jì)概率高于AIC和MDL，且樣本數(shù)在50以上就能達(dá)到100%的估計(jì)概率。

4 結(jié)束語(yǔ)

在瑞利平坦衰落信道和頻率選擇性衰落信道中，針對(duì)現(xiàn)有信源數(shù)目估計(jì)方法在低信噪比條件下估計(jì)效果差、高信噪比條件下容易出現(xiàn)過(guò)估/欠估、算法收斂較慢的特點(diǎn)，提出了具有快速收斂特性的基于小樣本的信源數(shù)目估計(jì)算法，通過(guò)仿真分析所提算法具有較好的估計(jì)性能。本文的研究成果可用于短波、超短波等偵測(cè)系統(tǒng)的盲信號(hào)分離和測(cè)向處理中，能夠有效提高偵測(cè)性能。