轉動參照系在競賽題中的應用實例
——純滾動圓錐問題

孫會剛 袁瓏雨

(廣西柳州市柳州鐵一中學，廣西 柳州 545007)

在物理競賽中,轉動參照系一直是教師和學生比較頭疼的問題,筆者在和教師、學生交流時,發現很多教練員在涉及轉動參照系的問題都是一筆帶過,略而不講,而且大部分的競賽書在這一塊內容要么略提一下,要么所配練習非常少,使得學生無法及時地得到鞏固加強．此外比較暢銷的程稼夫的《力學篇》中習題2-36也只配了答案,沒有詳細的解答過程,在貼吧或者競賽交流群中,時不時就會有學生乃至教師咨詢這道涉及轉動參照系的試題.現筆者就以這條題為例,來談談轉動參考系問題的一般解法．

圖1

例題.高為h、頂角為2α的圓錐體在一平面上繞頂點O作純滾動．已知正圓錐的幾何對稱軸以恒定角速度Ω繞豎直軸z轉動,如圖1所示,求此圓錐底面上最高點A的速度和加速度．

解析:以某一角速度ω在某一平面內繞垂直于平面的軸勻速轉動的坐標系為參照系,這樣的參照系就是轉動系,在轉動參照系中,加速度的一般表達式為a絕=a牽+a相+a科．在本題中,選和圓錐一起繞z軸以角速度Ω轉動的坐標系為參考系,此即為轉動系,設在這個轉動系中圓錐繞OD軸轉動的角速度為ω自,圓錐在地面系中繞瞬時軸OB轉動角速度為ω．

為了求解A點的速度和角速度,我們必須先轉動系中圓錐的自轉角速度ω自,這里給出兩種方法.

圖2

解法1:利用角速度合成法則.

解法2:利用速度關聯.

圖3

現求A點的速度,筆者也給出兩種解法來供大家參考,以幫助大家理解不同參考系下速度、角速度、加速度之間的關聯關系．

解法2:在轉動系中利用速度合成來求解.

現在再求A的加速度.

因為在地面系中,A質點的運動描述比較困難,所以我們只在轉動系中求解A的加速度,在轉動系中,A的加速度表達式為

圖4

所以aA=a牽+a相+a科,

這里有幾個問題和大家討論一下:

(1) 在轉動參考系中,牽連速度和牽連加速度會隨著所研究的點的位置不同而不同.