一類“準等比”數列和不等式的放縮證明

我們知道，首項公比為的等比數列的通項為，前項和。本文把數列（其中均為常數）稱為“準等比”數列，對于這類數列，我們可以將其放縮為等比數列，再求其和的上（下）限，或證明與其和有關的不等式。

例1，求證：

證明：我們可以這樣用放縮法證明：

因為，所以，

證畢。

證法很簡潔清晰，由，

得到。可是，這樣放縮是怎樣想到的呢？難到可以事先知道這個結果再進行配湊的？確實如此，這個放大的結果確實是可以先通過分析推理得出來的！請看下面的分析：

思路一：因為左邊和式無法直接求和，但結構形式與等比數列相似，考慮將左邊和式的各項分別放大為某個等比數列的對應項，這樣就能求和了，顯然這個等比數列的公比應為，也就是猜想，

即猜想，化簡得當時，取最大值3，所以取，即，猜想成立！再按此猜想得到的放大目標寫出放大過程：，最后再完成證明：

，證畢。

思路二：還是將放大為某個等比數列的前n項和，其中，即假設，令，得，所以，經驗證成立，與之前的放縮結果一致。

我們不妨再用這種方法驗證下面問題：已知數列求證：（2006福建理22（3））：

證明：∵

又，令，則，當時，取最大值，所以取，即，明確了放縮的目標，后續的證明自然就水到渠成了：

作者簡介：邱東華（1967.6—），男，漢，籍貫：福建省清流縣，大學學歷，職稱：中學高級，研究方向：解題研究，單位：福建省清流縣第一中學。