基于齒輪箱故障診斷的AR模型中Burg法的優(yōu)化

郭幸胥飛

（上海電機學院電氣學院，上海201306）

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)設備功能越來越多，結(jié)構(gòu)也越來越復雜，設備傳動部分的故障診斷技術得到了廣泛的應用。復雜的工作環(huán)境下齒輪箱的振動信號變得復雜無規(guī)律，齒輪出現(xiàn)微小的瑕疵會在振動信號中產(chǎn)生諧波，使得信噪比變低，幅值成分增多。所以高分辨率、高抗噪能力的功率譜估計法在處理復雜振動信號的領域尤為重要[1]。現(xiàn)代功率譜估計法為基于參數(shù)模型的方法，其中基于AR模型的功率譜估計是現(xiàn)代功率譜估計中常用的一種方法[2]。

1 AR模型的建立

在功率譜估計的參數(shù)模型法中，隨機信號x（n）可看作是一個白噪聲u（n）經(jīng)過一個線性系統(tǒng)得到的輸出。AR（P）模型可用如下差分方程來表示[3]：

式中，u（n）是均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲序列；P是AR模型的階數(shù)；ap（i）是P階AR模型的參數(shù)。

在利用AR模型進行功率譜估計時，必須計算出AR模型的參數(shù)和激勵白噪聲序列的方差。

2 AR模型參數(shù)估計的Burg法

在實際應用中，根據(jù)信號的有限個取樣值來估計AR模型的各階參數(shù)，應用較多的主要有以下三種方法：Yule-Walker法、協(xié)方差法、Burg法。Burg法使用的準則是前向預測誤差功率估計和后向預測誤差功率估計的平均值最小準則，表示為：

式中，ε是前向預測誤差功率估計和后向預測誤差功率估計的和n）2是P階的前向預測誤差功率估計n）2是P階的后向預測誤差功率估計。

當前預測誤差與前向后向預測誤差的關系為：

在式（2）中對ε求γp的偏導數(shù)并令其為0，求得反射系數(shù)γp為：

3 對Burg法的優(yōu)化

文獻[4]提出了二階（PEF）系數(shù)倒推法，基本思想是從二階PEF平均誤差總功率入手，先計算二階PEF系數(shù)，再倒推回來計算一階PEF系數(shù)即一階反射系數(shù)γ1）；文獻[5]對前向、后向預測誤差進行加權(quán)運算，從而提高估計精度。它們分別從減小估計參數(shù)的誤差和減小前后向的誤差角度入手，實現(xiàn)對Burg法的優(yōu)化。

在進行參數(shù)估計計算時，每一階的參數(shù)都是從前一階參數(shù)估計而來，由于每階的計算都存在預測誤差，導致累積誤差越來越大。為減小這種累積誤差，本文對式（3）、（4）中P階前后向預測誤差的計算方法做如下修改：將P階的前后向預測誤差計算中的相鄰階預測誤差替換為P階之前所有階的預測誤差的平均值。這樣就避免了相鄰階預測誤差過大時，對下一階的預測值波動造成較大的影響，提高了功率譜估計的計算精度。

因此，式（3）、（4）可改寫為：

現(xiàn)將反射系數(shù)γp重新推導如下：

已知式（2）、（6），在式（2）中對ε求γp的偏導數(shù)并令其為0，得：將式（6）代入式（7）求得優(yōu)化后的反射系數(shù)：

4 實驗與結(jié)果分析

實驗采用QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機械振動實驗平臺系統(tǒng)，該實驗平臺可模擬滾動軸承故障和齒輪故障。主要參數(shù)為：0.75 kW馬達，最大轉(zhuǎn)速1 450 r/min；大齒輪3只（正常、點蝕、斷齒），齒數(shù)75；小齒輪3只（正常、點蝕、斷齒），齒數(shù)55。本次實驗使用點蝕大齒輪做實驗對象，轉(zhuǎn)速為880 r/min，分兩次采集輸出軸負載側(cè)軸承的加速度信號，采樣頻率為1 kHz。

將實驗采集數(shù)據(jù)導入Matlab，分別使用Burg法和優(yōu)化后的Burg法繪制同一信號的功率譜。為避免階次誤差對對比結(jié)果產(chǎn)生影響，統(tǒng)一采用FPE準則進行AR模型階的估計。在同一采樣頻率和同一階次的情況下對比兩種方法所得的結(jié)果，圖1為原始振動信號，圖2為兩種方法的功率譜估計結(jié)果。

由圖2可知，采樣頻率為1 kHz時，在FPE準則定階下，傳統(tǒng)的Burg法得到的功率譜含有較多的邊頻成分；優(yōu)化后的Burg法在體現(xiàn)出真實譜峰的情況下，邊頻成分明顯減少，譜分辨率提高。實驗表明，優(yōu)化后的Burg法在齒輪箱故障診斷應用上能夠得到較好的結(jié)果。

圖1 振動信號

圖2 功率譜圖

5 結(jié)語

AR模型作為功率譜估計方法中最常用的方法之一，多年來不斷得到完善和發(fā)展，廣泛應用于航行軌跡、特征提取、故障識別、負荷預測等工程實際問題[6]。但由于其自身固有特性，既要估計模型的參數(shù)，又要估計模型的階次，因此很難評價一個模型的優(yōu)劣。本文將傳統(tǒng)Burg法的P階前后向預測誤差只考慮相鄰階的預測誤差改為考慮所有階次的預測誤差的平均值，不再只關注局部誤差，而是綜合考慮整體誤差，提高了功率譜的譜分辨率，也減小了在迭代過程中因某一階預測誤差過大而對其后面階次的預測誤差產(chǎn)生較大影響，