淺談閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

王云巍

摘 要：本文主要了解了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)，包括最值的可達(dá)性和有界性，介值性與根的存在性，并對這些性質(zhì)在開區(qū)間上做相應(yīng)推廣。

關(guān)鍵詞：閉區(qū)間；開區(qū)間；連續(xù)函數(shù)；最值的可達(dá)性；有界性；介值性；根的存在性

定義1[1]若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，我們就稱函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù).

連續(xù)函數(shù)所具有的局部有界性、局部保號性等性質(zhì)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)自然都具有，但它既然有閉區(qū)間這個特殊性，又具有哪些自己獨(dú)特的性質(zhì)呢？下面我們就來討論閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)所具有的幾個基本性質(zhì)及其在開區(qū)間上的簡單推廣，以提高大家對這些性質(zhì)的認(rèn)識，擴(kuò)大應(yīng)用范圍。

一、最值的可達(dá)性和有界性

定理1 （有界性定理） 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界.

定理2 （最大、最小值定理） 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上一定有最大值與最小值.

連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的有界性和最值可達(dá)性在很多問題的證明中都起到一個切入點(diǎn)的作用，比如積分第一中值定理和羅爾中值定理的證明。這兩個性質(zhì)固然好，但兩個硬性條件缺一不可，一個是閉區(qū)間，一個是連續(xù)函數(shù)。我們自然會考慮，如果條件有所減弱，這兩個性質(zhì)是否成立呢？下面我們來看開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在什么條件下也具備這兩個性質(zhì)。

推論1 函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且在a點(diǎn)存在右極限，在b點(diǎn)存在左極限，則f（x）在（a，b）上有界.

證明：設(shè)f（x）在a點(diǎn)的右極限為A，在b點(diǎn)的左極限為B，補(bǔ)充定義f（a）=A，f（b）=B，則f（x）在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，從而函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，由定理1知，f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界，因而在開區(qū)間（a，b）上有界。

推論2 函數(shù)f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且存在，則f（x）在[a，+∞）上有界.

證明：由函數(shù)極限的局部有界性知，存在正數(shù)M，當(dāng)X大于M時，函數(shù)f（x）有界，而f（x）在閉區(qū)間[a，M]上連續(xù)，由定理1知，f（x）在[a，M]上有界，從而函數(shù)在區(qū)間[a，+∞）上有界。

推論3 函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，且與都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上有界.

該證明過程與推論2類似，此處省略。

由有界性定理與最值定理的關(guān)系，試想上述三個推論的結(jié)論是否可以換成f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上可以取到最大值與最小值呢？顯然推論1與推論3是不成立的。對于推論1，我們可以很容易地找到一個反例，比如正比例函數(shù)。對于推論3，我們也可以找到反例，比如反正切函數(shù)y=arctanx，在定義區(qū)間上滿足條件，但卻永遠(yuǎn)取不到最值。而對于推論2中的條件，我們有以下推論。

推論4 函數(shù)f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且，則f（x）在[a，+∞）上至少可以取到最大值與最小值中的一個.

證明：此證明分三種情況討論

情況1：f（x）≡A，結(jié)論顯然成立。

情況2：定義區(qū)間中存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）>A，則由函數(shù)極限的局部保號性知，存在正數(shù)M，當(dāng)X大于M時，所有的f（x）都小于f（x0），故函數(shù)f（x）在[a，+∞）上能取到最大值。

情況3：定義區(qū)間中存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）

二、介值性與根的存在性

定理3 （介值性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），則對介于f（a）與f（b）之間的任何實(shí)數(shù)μ，至少存在一點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

定理4 （根的存在性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則至少存在一點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

定理4可看成是定理3的一種特殊情況，從幾何意義上看，根的存在性定理說明若連續(xù)曲線弧的兩個端點(diǎn)位于x軸上下兩側(cè)，則這段弧至少與x軸有一個交點(diǎn)。這兩個定理的應(yīng)用十分廣泛，可用來解決方程根的存在性問題，判斷方程根的個數(shù)和范圍等問題。在此，我們考慮根的存在性定理的一種推廣，以便于我們解決方程根的問題，那么在開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足什么條件可以保證根的存在性呢？

推論5 函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且，滿足，則至少存在一點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

證明：補(bǔ)充定義f（a）=A，f（b）=B，則f（x）在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，從而函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，由定理4知，f（x）=0在（a，b）內(nèi)至少有一根。

通過以上的討論可以發(fā)現(xiàn)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可以延拓到開區(qū)間上，擴(kuò)大了應(yīng)用的范圍。由此我們可以受到啟發(fā)，對數(shù)學(xué)中的很多定理要多加探究，大膽猜測并努力證明，這樣才可以對知識有更深入的了解。由于本人的知識水平和能力有限，對定理的推廣并不是十分深入和全面，還有待提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]華北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.