多元函數(shù)微分學(xué)中的一個(gè)注記

賈武艷，王慧蓉

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi).當(dāng)給 x0一個(gè)增量 Δx，x0+Δx∈U（x0）時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果存在常數(shù)A，使得Δy=AΔx+oΔx，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0可微。

定義2設(shè)函數(shù)z=f（x，y）定義在點(diǎn)P0（x0，y0）的某領(lǐng)域 c 內(nèi)。對(duì)于 U（P0）中的點(diǎn) P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy），若函數(shù)f在點(diǎn)P0處的全增量Δz可表示為：

其中 A，B是僅與點(diǎn) P0有關(guān)的常數(shù)，ρ=，則稱函數(shù)f在點(diǎn)P0可微。

定義3 設(shè)D?Rn為開集，x0∈D，函數(shù)f：D→Rm。如果存在線性算子A（只依賴于x0），使得x∈∪（x0）?D 時(shí)，有：

則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0可微。

引理1[1-3]（極限值與函數(shù)值的關(guān)系）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的極限值為A,則存在x0的某領(lǐng)域U（x0）內(nèi)，有f（x）=A+α，其中α→0（Δx→0）。

引理2若函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處的極限值為A，則存在某U（P0），使得在該領(lǐng)域內(nèi)有f（x，y）=A+α，其中 α→0（Δx→0，Δy→0）。

2 主要結(jié)論

定理1函數(shù)y=f（x）定義在點(diǎn)x0可微，存在某U（x0），則在該領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+αΔx其中 A 是常數(shù)，α→0（Δx→0）。

證明：若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0可微，則存在常數(shù)A，使得 Δy=AΔx+o（Δx）.下面說明 αΔx=o（Δx），α→0（Δx→0）。事實(shí)上，，故 αΔx?o（Δx），另外，任取f（Δx）∈o（Δx），則，根據(jù)極限值與函數(shù)值的關(guān)系可知存在ε→0（Δx→0），使得f（Δx）=εΔx。故αΔx=o（Δx）。證畢

定理2函數(shù)z=f（x，y）定義在點(diǎn)P0（x0，y0）可微，存在某P0（x0，y0），則在該領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)增量

Δz=AΔx+BΔy+αΔx+βΔy

其中 A，B 是常數(shù)，α→0，β→0（Δx→0，Δy→0）。

證明：若函數(shù)z=f（x，y）定義在點(diǎn)P0（x0，y0）可微，則存在常數(shù)A，B，使得：

下面說明 αΔx+βΔy= （ρ），α,β→0（Δx，Δy→0）。事實(shí)上，根據(jù)無窮小量和有界量的關(guān)系可知，則α?x+β?y?o(ρ)。另外，任取f(?x,?y)∈o(ρ)，則，根據(jù)極限值與函數(shù)值的關(guān)系可

知，存在ε→ 0 (?x,?y→0)，使得

定理3 設(shè)D?Rn的為開集，x0∈D，向量函數(shù)f：D→Rm在點(diǎn)x0可微，存在線性算子A（只依賴于x0），使得 x∈∪（x0）?D 時(shí)，有

再說明一般情況下，設(shè)向量函數(shù)f：D→Rm在點(diǎn)x0可微，則存在線性算子A（只依賴于x0），使得x∈∪（x0）?D 時(shí)，有：

那么，（1）式等價(jià)于

由上述m=1情況得知，存在Bi，使得

可知，向量函數(shù)f在（1，1）處可微。并且有

3 總結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)微分定義的時(shí)候，常常只注重對(duì)微分推廣公式[1-3]的應(yīng)用，卻往往忽略其證明，并且對(duì)于高階無窮小量的多種形式欠缺思考，文章通過利用函數(shù)值與極限值的關(guān)系重新證明函數(shù)可微下的一個(gè)公式并將其推廣到多元函數(shù)的微分學(xué)[4]中，并讓學(xué)生更加理解高階無窮小量是一個(gè)集合并非一個(gè)確定的函數(shù)。