行星做橢圓軌道運動周期和能量的證明

2018-08-31 07:49:16張海利

物理通報 2018年9期

張海利侯恕

(東北師范大學物理學院吉林長春 130024)

1 問題引出

在本文的推導中需要引入角動量的知識，角動量是描述物體轉動狀態(tài)的物理量，角動量是參考點到質(zhì)點的位置矢量與質(zhì)點動量的叉乘，是矢量．角動量的方向一定垂直于位置矢量與質(zhì)點的動量所構成的平面，表達式為L=r×mv，大小為L=mvτr,其中L是行星角動量的大小，vτ是垂直于徑向方向的速度，r是行星到太陽之間的距離[2]．

2 公式推導

行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，軌道如圖1所示，行星和太陽的連線在相等的時間間隔內(nèi)掃過的面積相等．

圖1 行星角動量沿橢圓軌道運動

設行星的質(zhì)量為m，行星到太陽之間的距離為r，其在dt時間內(nèi)掃過的面積為

單位時間內(nèi)掃過的面積為

(1)

式中L為行星角動量的大小．

如圖2所示，A和B分別為行星的遠日點和近日點，v1和v2分別表示在遠日點和近日點的速度，下面對行星做橢圓軌道運動的周期和能量做一證明.

圖2 遠日點和近日點及其速度

由圖2中的幾何關系可知

r1=a+cr2=a-c

其中r1+r2=2a

r1·r2=a2-c2=b2

(2)

行星運動總機械能E等于其動能與勢能之和，設行星到太陽之間的距離為r，角動量的大小為L，近日點和遠日點的機械能和角動量可表示為

(3)

L=mvr

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

對式(5)變形得

(6)

r1和r2為方程(6)的解，結合式(2)并由韋達定理有[3]

(7)

(8)

由式(7)推得

(9)

由式(8)推得

(10)

由式(1)推得行星運動的周期為

(11)

式中πab為橢圓的面積．

將式(9)及式(10)代入式(11)得到

(12)

由式(12)可得

則行星做橢圓軌道運動的周期和能量為

其中M是太陽的質(zhì)量，G是引力常數(shù)，a是半長軸．

行星做橢圓軌道運動周期和能量的公式在解決問題中有很大的用處，下面的典型問題就是公式的實際應用．

3 解題應用

3.1 典型問題1

要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r2的預定軌道上繞地球做勻速圓周運動，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運動．如圖3所示，在A點，實際使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進入一個橢圓的轉移軌道上，當衛(wèi)星到達轉移軌道的遠地點B時，再次改變衛(wèi)星速度，使它進入預定軌道運行，試求在橢圓軌道上A點，B點的速度和衛(wèi)星從A點到達B點所需的時間，設萬有引力恒量為G，地球質(zhì)量為M．