時變曲線交點的視覺速度和加速度

吳逸飛 胡雨晨

(武漢市黃陂第一中學 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學院求真學院 浙江 湖州 313000)

在一些競賽輔導資料中，有這樣求運動曲線交點速度的題目．兩個直桿，或者一個直桿一個圓環，或者兩個圓環，它們在運動，求兩桿交點的速度．這種做法其實是沒有物理意義的，交點并不是真實的點，只是視覺意義上的交點．如果從更高維度來看，三維空間相隔一段距離平行放置的兩個桿，從不同角度看，可以有交點，也可以沒有交點．文獻[1～3]利用速度分解合成法和相對運動法，求得了一些簡單運動曲線交點視覺速度．這兩種方法，對于最一般情況下隨時間變化曲線交點視覺速度和加速度，很難推廣．把曲線看作桿(剛體)，那么曲線的變化只有剛體的轉動和平動，但曲線的變化還能是形狀的變化，所以我們要考慮最一般隨時間變化的曲線，而不能局限于運動曲線．其次，文獻只考慮勻速或者勻速轉動的曲線，而沒有考慮到變速運動的曲線，忽略了時變曲線交點的視覺加速度問題．最后，三維空間中3個曲面如果能交在同一點上，那么文獻所用的方法是否能推廣到求交點的視覺速度和加速度？我們發現，跳出文獻所用的框架，另起爐灶，利用時變曲線的隱含數表達式和偏導數的知識，可以求得時變曲線交點視覺速度和加速度的解析表達式．

先考慮兩維曲線，設兩個時變曲線的隱函數表達式為

f(x,y,t)=0g(x,y,t)=0

(1)

式(1)理論上可以求出這兩個時變曲線依賴于時間的交點坐標x=x(t),y=y(t)，由這個形式解，定義交點的視覺速度和加速度為

(2)

但是一般情況下，這個交點坐標的顯式解析表達式很難得到．給定參數，交點的數值解是可以求得的．先定義以下矩陣，其具體含義在下文的推導中可以看出

(3)

定義形式上的曲線速度

加速度為

對式(1)中兩個等式兩邊做全微分，得到

(4)

式(4)中兩個等式兩邊除以dt，再移項，得到

(5)

式(3)可以寫成Av=-vcur

(6)

于是兩個時變曲線交點的視覺速度有形式意義上的解

v=-A-1vcur

(7)

式(5)繼續對時間t求偏導，得到

(8)

(9)

定義一個矢量C=(vTFv,vTGv)， 那么(8)、(9)兩式可以寫成矩陣形式

t=0

Aa=-acur-2Bv-C

(10)

于是兩個時變曲線交點的視覺加速度有形式意義上的解

a=-A-1acur-2A-1Bv-A-1C

(11)

式(7)和式(11)就是兩個時變曲線交點的視覺速度和加速度的一般表達式．

以上處理方法的一個好處是很容易能推廣到3個時變曲面交點的視覺速度和加速度計算，不需要畫圖．我們以一個具體的例子來說明如何計算. 設有兩個時變平面和一個時變球面, 它們的方程是

(12)

上式兩邊對時間求導，得到

(13)

在時間t=0時3個面的交點坐標是(1,1,1)，代入式(13)，解得交點的視覺速度為

(14)

式(13)繼續對時間求導，得到

(15)

代入t=0時交點的坐標和視覺速度，計算得到此時交點的視覺加速度為

(16)

現在數學符號計算軟件非常發達，很容易編程計算以上表達式．有興趣的讀者不妨利用本文的方法和結論來出一些相關的物理競賽模擬題．