對一道江蘇高考題自洽性的探討

(江蘇省常州市第三中學，江蘇 常州 213000)

1 問題的提出

電磁感應是高中選修3-2模塊的重點內容,涉及的知識面廣，對學生的能力要求較高，所以這一類問題經常出現在各地的高考或模考計算題中。縱觀近幾年的江蘇高考物理試題，涉及電磁感應的計算題通常情境新穎，很好地考查了學生的物理學科素養。同時，在這些情境新的考題中不乏嚴謹性欠缺的試題。在各地高考和模考試卷中，命題者為了能讓高中生可以處理一些復雜的電磁感應問題，常常在題設條件中給出一些不自洽的已知條件。本文以2014年江蘇高考第13題為例，談談電磁感應類試題中的自洽性問題，期望命題者在命制這類問題的過程中注意科學性，避免出現差錯。

2 原題呈現

圖1

如圖1所示,在勻強磁場中有一傾斜的平行金屬導軌，導軌間距為L，長為3d，導軌平面與水平面的夾角為θ，在導軌的中部刷有一段長為d的薄絕緣涂層。勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向與導軌平面垂直。質量為m的導體棒從導軌的頂端由靜止釋放，在滑上涂層之前已經做勻速運動，并一直勻速滑到導軌底端。導體棒始終與導軌垂直，且僅與涂層間有摩擦,接在兩導軌間的電阻為R,其他部分的電阻均不計，重力加速度為g。求：

(1) 導體棒與涂層間的動摩擦因數μ;

(2) 導體棒勻速運動的速度大小v;

(3) 整個運動過程中,電阻產生的焦耳熱Q。

此題的參考答案如下：

(1) 導體棒在絕緣涂層上受力平衡，mgsinθ=μmgcosθ，解得μ=tanθ。

3 自洽性討論

這道江蘇高考題的情景新穎，在傾斜導軌上增加了絕緣涂層的新情景，但是細致分析會發現，此題仍然是學生常見的導體棒切割磁感線的物理模型，學生可以從容地利用勻速時的平衡方程和全過程的能量守恒解決此問題。筆者在課堂測驗中給學生做了這道題，發現絕大多數學生能夠按照參考答案的思路作答。筆者初做這個問題時，也感覺此題的解題思路并不復雜，只是常規模型的一些創新，經仔細思考，發現這道高考題的題設條件存在明顯的自洽性問題。

題設條件指出導體棒從頂端靜止釋放，在滑上涂層前已經勻速運動；筆者不禁產生疑問：導體棒從靜止下滑達到勻速需要運動多大距離？能否在圖中給定的d內達到勻速？畢竟從實際出發，圖中畫出的間距d肯定是一個有限的數值，否則此題的情境圖就沒有物理意義了。帶著這個疑問，筆者對導體棒在光滑傾斜導軌上下滑的過程進行了深入分析。

圖2

很明顯，只有當t→時，速度才趨近于最終勻速時的速度也就是說導體棒只能無限接近最終的穩定速度，卻無法在有限時間內達到這一速度。為進一步說明，可以畫出導體棒下滑過程的速度-時間圖像如圖2所示，容易發現：導體棒只有通過足夠長的時間后，才能無限接近勻速時的速度，且無法達到這一速度。進一步思考，既然時間是無限長？位移是不是也是無限大？筆者又把速度對時間進行積分運算，有：最終化簡得到：

容易發現，當t→時，物體的位移也是趨近于無窮大，說明導體棒由靜止滑下至最終達到穩定速度運動的位移也為無窮大，由速度-時間圖像的“面積”也可定性看出。

綜上所述，導體棒從靜止下滑至達到最大速度的過程，運動的時間和位移都是無窮大，平衡時的速度只能無限趨近，而無法達到。所以這道高考題中給定導體棒滑上涂層前已經勻速的條件只有在d為無窮大的理想條件下才能達到，所以本題的題設條件其實是不準確的。

4 結語

在各地的高考試卷和高三模考卷中，有很多導體棒或者導體框在恒定外力作用下由靜止開始運動的問題，這一類問題中常常給出與此高考題相類似的初始條件，例如運動一段距離后作勻速直線運動。其實這些給定的初始條件都存在自洽性問題，希望命題者在今后的考試命題中能夠引起足夠的重視，避免此類問題的再次出現。