理工科大學生的高等數學教學

羅廣萍

摘 要：高等數學作為理工科大學生學習的一門重要基礎學科，它對幾乎所有后續的專業課，都有直接或間接的重要影響。本文針對現階段對高等數學學生的認識、老師的教授等誤區，給出一些具體的建議，希望能給本科高等數學的教育教學提供有力的參考。

關鍵詞：高等數學教學 教材教法 教學觀念

作為工科大學生，他們進大學的第一門重要的公共基礎課，就是高等數學。在中學及之前的數學知識，是經典的初等數學部分。進大學學的第一門高等數學，是他們學習的第一門現代數學。這時的數學思維、學習方法等都跟過去不一樣。還有，微積分的思想來自于兩位獨立的創始人牛頓和萊布尼茲，他們的思維方式和思維習慣，跟我們東方人的方式和習慣或多或少有些不一樣。因此有相當一部分同學在學習高等數學時，會明顯地感覺吃力，或不知道怎樣學習。他們還沿用中學的辦法來學習，結果會發現根本學不好這門課，甚至上課坐飛機。面對這種情況，專家們一直在呼吁和嘗試對高等數學的教學進行改革，但改革的效果確并不令人滿意。過去大都停留在改進教學方法， 更新教學內容和教學大綱，以及現代教學手段的一些應用等研究較多。這樣，多年來對高等數學教學的改革，人們仍停留在教師在原有數學理論里進行局部的嘗試，沒有很好地認識到學生的思維轉變，可能比一般教學手段更重要。這正是高等數學教學在工科數學教學改革中，難以取得突破性進展的主要原因。

從數學教育的發展歷史看，教學內容的改變是一直要進行下去的，這是因為人們對數學以及現代數學的認識，會隨著時間的推移而更加深入。就近現代而言， 世界上的數學教育改革大體上經歷了以下三個階段：1，六十年代的“新數學運動”；2，七十年代的“回到基礎”；3，八十年代的“解決問題”階段。各個階段的特點不盡一致。“新數學運動”是以追求教學內容的“高、新、全”為目標；“回到基礎”階段則強調以基礎知識和基本技能為主要教學內容，雖然這一階段的改革使受教育者的基本技能有所提高，但仍未解決數學教育與社會發展不相適應的矛盾；“解決問題”階段則以強調培養學生解決實際問題的能力，力求使學生學到現代及不久的將來所需的必要的基礎知識，并有解決實際問題的能力。這正是現在我們大學數學所處的數學教育歷史階段，高等數學的教育教學顯得尤為突出。無論以上的發展經歷是什么，也不管這些改革是在什么條件下發生的， 這些變革都以改變教學內容為根本目標，不改革教學內容就不能促及真正的改革。我們簡單地從以下幾個方面來談談高等數學的教育教學中應該注意的問題。

一、學以致用的原則

在跟學生交談中，隨機抽取幾個學生問一下他們“你認為學習數學的目的是什么？”他們有很多回答，主要有做題和考試，鍛煉思維的邏輯性、完全性等。如果學生是這樣來認識數學的，那他們是學不好數學的。我們要大聲地告訴他們：數學與我們的生活息息相關，現代的科技也好，高科技也罷，無一能離開數學。數學的用處在學生的學習過程中，慢慢來灌輸。在學生學習到不同的知識階段、不同知識點，告訴學生這是什么，用在我們生活中的什么地方。比如學習了函數的連續性，你可以告訴他，可以用函數的連續性來判定兩輛相撞的汽車，如果一輛車被撞破了，另一輛沒破，那就說明破裂的車輛受損更嚴重，因為把它撞得不連續了。有如又一次，一個大學生創新項目的答辯，一個學生在演示無人機從運動場的一端飛到另一端，去抓取一個預先放置好的水杯。無人機很快飛到水杯正上方，然后盤旋了很久，始終無法下降下去抓取水杯。經過了十多次的努力嘗試，最后終于抓取到了水杯。答辯委員中，工科老師說你只是實現了無人機抓取水杯的功能，沒有什么創新。我問他，無人機為什么要盤旋那么久才下降去抓水杯，他說因為信號的精度，無人機沒法準確判斷水杯的具體位置，所以在一次次地嘗試。我問他為什么不提高信號的精度，他說沒學過。我就告訴他，這在高等數學中能找到答案，他表示不相信。在高等數學中，應該較早就學習了泰勒展式，如果你的信號是光滑的，能夠展開成收斂的泰勒冪級數，那么就只需要在信號處理時，多加上幾項多項式就能夠體高精度；如果你的信號不那么光滑，不能展開成收斂的冪級數，那么盡量想辦法把信號延拓成周期函數，然后就用傅里葉展開，將你延拓成周期函數的信號，展開成傅里葉冪級數，你只要在處理信號時，多用幾項三角函數就行了，這樣也可以提高信號的精度。如果我們在講授高等數學時，每講到一定的知識點，告訴學生數學的作用，那學生學習的積極性就會大增。

二、多樣化的教學手段

對于長期從事高等數學教學的老師而言，他們己經習慣了粉筆加黑板的教學方式，當然這種傳統的教學模式，應該是一種行之有效的教學模式，不能否認它的優越性，簡單、直接，并且學生比較容易跟上教師的思路。但是在具體的教學中，過于單一的教學手段，一支粉筆寫到底的方式，往往讓學生疲勞。這樣教師學生都感覺很累。因此建議采用多媒體與板書結合型教學模式。一些概念的引入、圖形拘繪制等。例如重積分的計算部分，尤其是空間區域上的積分，需要將空間區域畫出來。采用純板書式教學既浪費時間，而且很難作得比較準確，學生往往也不容易想象出幾何圖形的空間結構。而多媒體教學的合理引入，甚至可以用PPT文件的形式，就能夠大大改善教學效果，提高學生學習的興趣，關鍵是提高了效率。當然采用多媒體教學只是一種新的教學手段，它不能完全替代傳統的板書教學模式，只能是一種輔助式教學方式。在定理的證明，必要的演算過程中，很不適宜用多媒體，因為板書過程學生會跟上教師的思路，而不單是一個照相機，把老師講解的內容復制下來。只有把傳統的教學模式、教師個人教學特點和多媒體輔助教學有機地結合起來，我們認為教學效果才能真正體現。

三、富于變化的教學形式

在傳統的教學活動中，往往是老師教、學生聽，然后老師評講。學生不要去懷疑老師講的內容。學生往往認為老師講的都是正確的，并且要用來考試，這是他們學習的目的。學生長期以來就養成全盤接受的心理。這種滿堂灌、保姆式的教學活動，這會養成學生對老師的嚴重依賴，更不利于他們創新性思維的培養和養成。創新性產品是現在的產品不盡如人意，通過重新設計改進缺點，達到更完善的地步；或者現實生活中還沒有，從零開始創造出一個全新的產品。如果一個認為別人做出來的都是對的，沒有改進的余地的人，很難想像他能在以后的生活中創造出更合理的創新型產品。針對以往相對較死板的教學模式，我們就需要設計出一種更合理的教學方式，這樣才能培養出創新性人才。總的思想是：學生在教師的引導下，變被動接受知識為主動探尋真相。經過實踐，學生將書本上一些定理原有的證明過程，給出了另外的更為簡單的證明；還從書上的某些定義、定理出發，得到了新的定理。比如將一門課根據內容的難易程度、重要程度等，分為講授課、自學探索課等等。講授課一般是課程中比較經典的、較難較重要的部分這部分有老師講解。經典定理的理解與證明是由教師講授一些基本的現象，讓學生總結出抽象的定理形式。在此基礎上，通過對特殊現象的定理的證明的加工、抽象，就得到所需定理的證明。比如《線性代數》中的維數定理、特征子空間的分解等等。自學探索課一般是學生在前期已經學過類似的課程，或者這部分內容應用比較強，理論較較弱，可以考慮為自學探索內容。在這個環節中，教師擬定專題討論方向，給出一些參考題目，學生通過查閱文獻、收集摘取相關資料，總結后形成自己的觀點。然后按照自愿的方式讓學生發表演講。在這一環節中，要做好兩點，一是控制陳述時間，下限10分鐘，上限15分鐘，既要杜絕敷衍了事，同時也要求學生將豐富的內容濃縮為精華，而不是長篇大論，這是對學生判斷力、概括力等智能的極好開發。在課堂討論中，教師作為教學的組織者、引導著，不能任意干預課堂，從分發揮民主，積極調動學生討論問題的熱情，否則難以培養出學生的創新動力和思想。也要適時的關注討論的情況和走勢，適時點撥、引導，盡可能不要走進死胡同，始終讓討論處于歡快熱烈的狀態。

四、適當學點數學史

偉大的數學家歐拉，在數學的幾乎所有分支中，都有重要的貢獻，我們常常會聽到以歐拉名字命名的歐拉公式、歐拉常數等等。他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。甚至人們認為：沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。法國數學家拉普拉斯則認為：“讀讀歐拉，他是所有人的老師”。我國已故著名數學家、機器證明的發現者吳文俊先生說過：“數學教育與數學史是分不開的。”基于此，在實際教學活動中，適當增加一點數學史方面的知識，對學生在知識理解的深度和廣度方面，將很有幫助，并且也使抽象的數學知識顯得生動而易于接受，使得學生不會認為數學是刻板的，而是活生生的。偉大的數學家也有我們常人一樣的生活、工作情趣。例如，微積分基本公式是數學史上的偉大創造，是由牛頓和萊布尼茲各自獨立的從微積分各種不同側面來思考問題的：一個從物體的瞬時運動如何表達；另一個從幾何的觀點入手，如何表達一條光滑曲線的切線。這樣學生便于理解和運用微積分。

五、分專業的教學模式

工科類大學的專業，大多數是有工程應用背景的。雖然工程專業對數學的要求很高，它們也常常將數學作為一門最重要的公共基礎課，但具體對不同專業，它們也有很多側重點不一樣。比如機械工程專業，工程力學要求很高，對數學的積分以及平面第一、二型曲線積分，空間第一、二型曲面積分要求很高；又比如對經濟類專業，需要宏觀經濟、微觀經濟，以及若干的如布萊克-修爾斯經濟定價模型等等，對微分以及微分方程的學習要求比較高。因此高等數學課應體現數學與學生所學專業的相結合，當然教師需要深入研究各專業的具體教學計劃、課程設置、培養目標、專業能力及知識要點，必要的時候，也可以聽聽各專業的專業基礎課程，做到有的放矢。如在計算機專業講授高等數學課程，可以結合學生所學專業內容，重點講授分段函數、不連續函數以及微積分中的數學思想；在講到微分的幾何意義時，可以在管理專業多介紹一點，因為管理中要涉及到邊際效用函數，這時微分定義出來的概念。

不同專業的學生的興趣、愛好及發展方向各不相同。當然針對所有不同專業，都制定出一個相應的授課計劃，這將也許是最好的教學模式，但實際做不到，因為任何學校不可能有如此充沛的教師資源。但 就大類來講，我們還是有一些辦法的，比如我們可以按照工學、理學、經濟、人文學科等分成大類。針對大類來制定相應計劃。當然也可按國家的大類招生的辦法來制定教學計劃。對某些邏輯思維能力要求較高的專業如計算機專業的學生而言，尤其是學習算法語言時，需要很好的數理邏輯，這為后繼課程打好堅實的理論與實際操作基礎。而對某些側重于應用技術性專業的學生而言，在高等數學的教學上可以適度地降低對思想方法上的要求，但要加強他們在數學的計算能力，這有利于他們以后在計算工件尺度、力的結構承受等都有很多幫助。教學是一門藝術，尤其對高等數學的教學更是這樣。它需要廣大的高等數學教育工作者傾注更多的精力來完成這項工作。

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